广西贺州市2023-2024学年高二数学第一学期期末预测试题含解析

广西贺州市2023-2024学年高二数学第一学期期末预测试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线x+Gy+l=0的倾斜角是

A.30°B.60°

C.120°D.15O0

2.直线/经过两条直线x—y+l=。和2x+3y+2=0的交点，且平行于直线x—2y+4=0,则直线/的方程为（）

A.x-2y-l=0B.尤-2y+l=0

C.2x—y+2=0D.2x+y—2=0

3.设xeR,则“1--<0”是“犬>1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.过抛物线好=》的焦点R的直线交抛物线于不同的两点A,3,则［二+4的值为

\AF\|BF\

A.2B.1

1

C.-D.4

4

5.如图所示，已知三棱锥O—ABC,点N分别为A3,0c的中点，且。4=a，OB=b，OC=c，用a，

b>c表示MN，则MN等于（）

O

/\

AC

M

B

A.——ci—b++C

-Z?+c)D.—+c-Q

6.已知命题p：0,-1-j,sinxvtanx,则「P()

A.VxGf0,—B.3XGf0,方

,sinx>tanx,sinx>tanx

C.3x€f0,—D.Vxf0,-1-\,sinx>tanx

,sinx>tanx

7.已知点P（-2,4）在抛物线丁=2〃%（〃>0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（）

A.(0,2)B.(O,4)

C.(2,0)D.(4,0)

8.动点尸到两定点月（-4,0）,鸟（4,0）的距离和是10,则动点P的轨迹为（）

A.椭圆B.双曲线

C.线段耳工D.不能确定

9.（2016新课标全国n理科）已知入，乃是双曲线及T—2二1的左，右焦点，点M在£上，拉队与X轴垂直,

sin/碎耳=g，则E的离心率为

L3

A.叵B.y

0.73D.2

10.抛物线y2=4x的焦点到直线x+y—3=0的距离d=()

A.交B../2

2

C.lD.2

11.我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层,

红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上

一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为“求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有。盏.

A.192B.128

C.3D.l

X2

12.椭圆二+4=1（a>Z?>0）的右顶点是抛物线V=8x的焦点，且短轴长为2,则该椭圆方程为（）

a~b

22

A.—+y2=lB.±+^=l

4-42

2222

。土+匕=1口土+乙=1

16443

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x+4y-5>0

13.设实数％,y满足x+y-5W0,则z=x+5y的最小值为.

x>l

x—1

14.已知p：-----<0,q：4X+2J—»1<0,若P是g的充分条件，则实数机的取值范围是.

X

JT

15.已知在四面体ABC。中，AB^2AC=3AD=6,ZBAC=ZCAD=ZDAB=-,则=

22

16.已知耳，工为椭圆C：|j+左=1的焦点，点尸在椭圆c上，N£PK=60,则△£尸鸟的面积为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知在等差数列｛%｝中，%=0，4+%=-5

（1）求｛4｝的通项公式;

n

（2）若cn=34,求数列匕｝的前〃项和

18.（12分）如图①，直角梯形A3C。中，AB//CD,ZADC=90°,点、E,尸分别在8,A3上，EF//AD,

CE=2BF=2EF,将四边形AEED沿所折起，使得点A,。分别到达点P,。的位置，如图②，平面瓦

平面BCEb,EF=^PF.

（1）求证：平面平面3CQ；

（2）求二面角C-M-尸的余弦值.

19.（12分）篮天技校为了了解车床班学生的操作能力，设计了一个考查方案；每个考生从6道备选题中一次性随机抽

取3道题，按照题目要求独立完成零件加工，规定：至少正确加工完成其中2个零件方可通过.6道备选题中，考生

2

甲有4个零件能正确加工完成，2个零件不能完成；考生乙每个零件正确完成的概率都是且每个零件正确加工完

成与否互不影响

（1）分别求甲、乙两位考生正确加工完成零件数的概率分布列（列出分布列表）；

（2）试从甲、乙两位考生正确加工完成零件数的数学期望及两人通过考查的概率分析比较两位考生的操作能力

20.（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160,180）,[180,200）,[200,220）,[220,240）,

[240,260）,[260,280）,[280,300]分组的频率分布直方图如图

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为[220,240）,[240,260）,[260,280）,[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取

户居民，则月平均用电量在[220,240）的用户中应抽取多少户？

21.（12分）已知椭圆。：[+）=1（。〉6〉0）的离心率为斗，直线（与椭圆C相切于点打2,1）

（1）求椭圆C的方程;

（2）已知直线与椭圆C交于不同的两点M,N,与直线4交于点。（P,Q,M,N均不重合），记k4的斜率分别

2

为"，若秘2=y1.证明：面IP嬴Q为I定值

22.（10分）已知数列｛4｝是公差不为0的等差数列，数列｛2｝是公比为2的等比数列，%是4,%的等比中项，

b3-a3=39b]=2q.

（1）求数列｛4｝,也｝的通项公式；

（2）求数列｛%,2｝的前,项和S,.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】由方程得到斜率，然后可得其倾斜角.

【详解】因为直线x+gy+l=O的斜率为-g

所以其倾斜角为150。

故选：D

2、B

【解析】联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线平行则斜率相同求出斜率即可.

%-y+l=O1

【详解】由c二c八得两直线交点为（-1,0）,直线/斜率与x—2y+4=0相同，为彳，

则直线/方程为y—0=另（x+1）,即x—2y+l=0.

故选：B.

3、B

【解析】求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可

【详解】由1—/<0得]>1或x<—1,

由d>l得X>1,

因为尤>1或x<T推不出尤>1,但％>1能推出x>1或X<-1成立,

所以“1-必<0”是“三>i”的必要不充分条件,

故选：B

4、D

【解析】本题首先可以通过直线交抛物线于不同的两点48确定直线的斜率存在，然后设出直线方程并与抛物线方

11

程联立，求出%%以及X+%的值，然后通过抛物线的定义将可+西化简，最后得出结果

【详解】因为直线交抛物线于不同的两点A、B,

所以直线的斜率存在，

设过抛物线d=y的焦点R的直线方程为y=kx+^,

|X2=y(1

1「1

由《1可得/一|k2+—y+—=0,

y=kx+—k2-16

因为抛物线的准线方程为y=

所以根据抛物线的定义可知口司=M+；,忸司=%+：，

1

1111X+%—

所以----1----=------1-------------\'-2__=4,综上所述，故选D

上1上1

\AF\IBF%%+](%+%)+：17

14244lo

【点睛】本题考查了抛物线的相关性质，主要考查了抛物线的定义、过抛物线焦点的直线与抛物线相交的相关性质,

考查了计算能力，是中档题

5、A

【解析】连接先根据已知条件表示出OM,ON,再根据MN=QN-求得结果.

【详解】连接。0,如下图所示：

B

因为河为A3的中点，所以。0=！（。4+。8）=，〃+工人，

2、722

又因为N为。。的中点，所以ON=^OC=LC,

22

所以MN=ON-OM=-c-—a--b=—（c-a-b}9

2222、7

故选：A.

6、C

【解析】由全称命题的否定：将任意改存在并否定结论，即可写出原命题P的否定

【详解】由全称命题的否定为特称命题，

sinxNtanx”.

故选：C.

7、C

【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点P（-2,4）在抛物线的准线上，即可求出参数0,即可求出抛物线的焦点.

【详解】解：抛物线y2=2px（p>0）的准线为》=-噂

因为P（-2,4）在抛物线的准线上

.，=-2

2

P=4

：.丁二族故其焦点为（2,0）

故选：C

【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.

8、A

【解析】根据椭圆的定义，即可得答案.

【详解】由题意可得俨E|+|F写|=10>8=忻用|,根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，

故选：A

9、A

【解析】由已知可得LR|-|1必=2a=生-匹=〃j=a=b=d=£=JL故选A.

,aaa

考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.

【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑

思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.由已知可得

.1出|-|班|=2。=史-2=%=。=b=，=£=0，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计

'aaa

算量，提高解题速度.

10、B

【解析】由抛物线y2=4x可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】由抛物线丁=4x可得焦点坐标为(1,0),

|1-3|厂

根据点到直线的距离公式，可得d=M=0,

即抛物线y=4x的焦点到直线x+y-3=0的距离为6.

故选：B.

11、A

【解析】根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解.

【详解】设这个塔顶层有X盏灯，则问题等价于一个首项为8,公比为2的等比数列的前7项和为381,

所以入口-1)=38],解得1=3,

2-1

所以这个塔的最底层有3X27T=192盏灯.

故选：A.

12、A

【解析】求得抛物线的焦点从而求得〃，再结合题意求得6,即可写出椭圆方程.

【详解】因为抛物线V=8x的焦点坐标为(2,0),故可得。=2；

又短轴长为2,故可得26=2,即〃=1；

无2

故椭圆方程为：—+/=1.

4-

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、5

【解析】画出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解

【详解】画出可行域和目标函数如图所示:

根据平移知，当目标函数经过点4(5,0)时，2=2x+y有最小值为5.

故答案为：5.

14、机26

【解析】分别求出小g成立的等价条件，利用P是4的充分条件，转为当OVxWl时，加大于等于4'+2'的最大值,

求出最值即可确定m的取值范围

X—1

【详解】由:—<0,得OVxWl,即P：OVxWl

x

由4X+2X-wiWO得4x+2x^m

因为4*+2'=(2)2+2，=(2*+3)—要使p是g的充分条件，

则当OVxWl时，相大于等于4"+2］的最大值，

令f=21e(l,2］,则y='+J―：在止(1,2］上单调递增，

故当/=2时取到最大值6,所以加26

故答案为：川26

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查函数的最值，考查转化的思想，属于基础题

15、24

【解析】由线段的空间关系有BC5O=(AC-AB)(AO-AB),应用向量数量积的运算律及已知条件即可求

BCBD-

【详解】由题设，可得如下四面体示意图,

B

则BCBb=^AC-A^Ab-AB^=ACAb-ACAB-ABAb+AB9

7t

又AB=2AC=3AD=6,ZBAC=ZCAD=ZDAB=-

39

所以BCBr>=3x2x』-3x6xL-6x2x」+36=24.

222

故答案为：24

167316A

]1K6、-----TTTTy3

33

【解析】设|尸耳|=加,|桃|=〃，然后根据椭圆的定义和余弦定理列方程组可求出加，再由三角形的面积公式可求得

结果

22

【详解】由夫+3=1，得]=25万=16,则。=5力=4,c=V7工=3，

25lo

设|尸制=叫尸引=n,则加+〃=2a=10,

在△耳尸鸟中，,由余弦定理得，

AFXPF2=6Q

■「=|叫2+愿『-2附||*cosqPR，

所以4,=m2+H2—2mncos60°，

36=(m+n)2—3mn

64

所以3w=100—36=64,所以加〃二——，

3

诉EC1•%。164616A/3

所以S=—mnsm60=—x—x——=-----，

"叫22323

故答案为：电1

3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)4=〃-4

⑵§=(2〃-9)x3向+27

n4

【解析】（1）设｛&｝的公差为d,由等差数列的通项公式结合条件可得答案.

（2）由（1）可得%=（“-4）3",由错位相减法可得答案.

【小问1详解】

设｛。“｝的公差为d,由已知得q+3d=0且2q+d=—5,

解得q=-3,d=l,

所以｛«„｝的通项公式为-4

【小问2详解】

由（1）可得%=（九一4）3",

123

所以Sn=-3x3+(-2)x3+(-l)x3+•••+(〃-5)x3”—+(〃一4)x3",

所以3S“=-3x32+(-2)X33+(-1)X34+…5)x3"+4)x3"”,

两式相减得：

234

-2Sn=-3x3*+3+3+3+…+3”—(〃一4)x3"+］，

所以一2S“=—12+(3+3?+33+34+-・+3")—(〃一4)x3'"i

=—12+-%--(“_4)x3"+i

_(9-2/i)x3"+1-27

一2

所以S=（2-9）x3*27

"4

18、（1）证明见解析

⑵—且

5

【解析】（1）根据ZADC=90°,EF//AD,CE=26/=2Eb,易证再根据平面瓦PQ-L

平面BCEF,EQLEF,得到EQJ■平面6CEF,进而得到EQL3C,再利用线面垂直的判定定理证明BC,平

面3EQ即可;

(2)根据(1)知所，EC,EQ两两垂直，以EF，EC，E。的方向分别为x,V,z轴的正方向建立空间直角

坐标系E-町z,分别求得平面的一个法向量相=(x,y,z)和平面？M的一个法向量日=(1,0,0),设二面角

Im,Z7I

C-PB-F的大小为0,由|cos6)|=|cos(m,n)\=-------求解.

\m\\n\

【小问1详解】

解：因为ZADC=9Q°,EF//AD,

所以EFLCE,EF±BF,

又BF=EF,所以班下是等腰直角三角形，即/废尸=45。，

所以/BEC=45°.

由平面几何知识易知ZBCE=45°,

所以NCBE=90。，即BC_LBE.

又平面平面5CEF,平面EFPQc平面BCEF=EF,EQLEF,

所以EQ_L平面BCEb,又BCu平面BCEF,

所以EQ,5c.

又BEcEQ=E,

所以平面BEQ,

又BCu平面3CQ,

所以平面平面3CQ.

【小问2详解】

由(1)知所，EC,EQ两两垂直，以E户，EC，E。的方向分别为x,V,z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系七一孙z,

设砥=1,则£(0,0,0),6(1,1,0),C(0,2,0),尸I,。,*,F(1,0,0)厂(1,0,0),

贝！|CP=1,-2,，BC=(-1,1,0),

设平面BCP的一个法向量为m=(x,y,z)，

({-x+y=0,

由《，得《出，

m-CP=0x-2y+—^-z=0

取x=1,贝!I加=(1,1,V3).

由PF上EF,BF±EF,BFPF=F,

得石尸，平面？BF，

所以平面PBF的一个法向量为n=(1,0,0),

设二面角C—PB-F的大小为0,

,八一,,,\m-n\1V5

贝!11cos61=|cos(m,ri)|=------=/=——,

\m\\n\Vl+1+35

由图可知二面角C-PB为钝二面角，

所以二面角C—PB—F的余弦值为-旦.

5

19、(1)分布列见解析

(2)甲的试验操作能力较强，理由见解析

【解析】(1)设考生甲、乙正确加工完成零件的个数分别为&、〃，则目的可能取值有1、2、3,〃的可能取值有0、

1、2、3,且〃〜台口,：］,计算出两个随机变量在不同取值下的概率，可得出这两个随机变量的概率分布列;

(2)计算出E(&)、E(*、尸(空2)、尸(〃22)的值,比较后(4)、£(〃)的大小，以及产仔22)、尸(〃22)的

大小，由此可得出结论.

【小问1详解】

解：设考生甲、乙正确加工完成零件的个数分别为自、〃，

则J的可能取值有1、2、3,〃的可能取值有0、1、2、3,且

0仁=1)=管=g，依=2)=兽=|，^=3)=||=|

所以，考生甲正确加工完成零件数片的概率分布列如下表所示:

所以，考生乙正确加工完成零件数〃的概率分布列如下表所示:

0123

1248

P

279927

131

【小问2详解】解：E(^)=lx-+2x|+3x-=2,E(〃)=3X1=2,

…三泻，s)K20

=—,所以，P(^>2)>P(77>2),

从做对题的数学期望分析，两人水平相当；

从通过考查的概率分析，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的试验操作能力较强.

20、(1)0.0075；(2)230,224；(3)5

【解析】(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)x20=L解方程可得；(2)由直方图

中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在［220,240)内，设中位数为a,解方程(0.002+0.0095+0.011)

x20+0.0125x(a-220)=0.5可得；(3)可得各段的用户分别为25,15,10,5,可得抽取比例，可得要抽取的户数

试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)x20=1：

x=0.0075,所以直方图中x的值是0.0075..................3分

220+240

⑵月平均用电量的众数是----------=230.5分

2

因为(0.002+0.0095+0.011)x20=0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在［220,240)内,

设中位数为a,

由(0.002+0.0095+0.011)x20+0.0125x(a—220)=0.5

得：a=224,所以月平均用电量的中位数是224.................8分

（3）月平均用电量为［220,240）的用户有0.0125x20x100=25户，

月平均用电量为［240,260）的用户有0.0075x20x100=15户，

月平均用电量为［260,280）的用户有0.005x20x100=10户，

月平均用电量为［280,300］的用户有0.0025x20x100=5户，.................10分

抽取比例=-------------=-,所以月平均用电量在［220,240）的用户中应抽取25x』=5户.一12分

25+15+10+555

考点：频率分布直方图及分层抽样

22

21、（1）土+匕=1；

82

（2）证明见解析.

【解析】（1）根据椭圆离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解方程组可得椭圆的方程；

（2）先根据相切求出直线4的斜率，结合左=-；可得幺=g，再逐个求解|PQ『，|W|，|QN|,然后可证结论.

【小问1详解】

c_

a2a2=8,

41解得b2=2,

解:由题意<=1,

2c2=6.

/=/+c

22

故椭圆C的方程为土+匕=1.

82

【小问2详解】

y—1=匕（x—2）,

证明：设直线人的方程