安徽省皖南八校2011届高三第一次联考数学(理)试题

皖南八校2011届高三第一次联考数学试题（理科）考生注意：1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分，考试时间100分钟。2．答题前，请考生务必将答题纸左侧密封线内的项目填写清楚。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上，在试题卷上作答无效。第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集U=R，集合，则等于 （） A． B． C． D．2．设复数等于 （） A． B． C． D．3．命题“对任意直线l，有平面与其垂直”的否定是 （） A．对任意直线l，没有平面与其垂直 B．对任意直线l，没有平面与其不垂直 C．存在直线，有平面与其不垂直 D．存在直线，没有平面与其不垂直4．已知等比数列则q等于 （） A．2 B．—2 C．3 D．—15．设点P是双曲线与圆在第一象限的交点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为 （） A． B． C． D．6．若变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 （） A．—3 B．3 C．—1 D．17．有一种波，其波形为函数的图象，若在区间上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数的最小值是 （） A．3 B．4 C．5 D．68．如右图程序框图，若输出，则输入框应填入 A． B． C． D．9．若函数上不是单调函数，则函数在区间上的图象可能是 （） A．①③ B．②④ C．②③ D．③④10．考察底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱，甲从这9条棱中任选一条，乙从这9条棱中任选一条，则这两条棱互相垂直的概率为 （） A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。11．已知向量=。12．在二项式的展开式中，各项的系数和比各项的二项系数和大240，则的值为。13．在平面直角坐标系中，以O为极点，轴正半轴为极辆，取相同的长度单位，建立1—5BDDAA6—10BCCDC11．-112．413．14．15．②③16．解：（1） 根据正弦正理，得 即（2）由（1）知 由余弦定理，得 …………12分17．解：（1）………4分（2）随机变量X可取的值为0，1，2，3…………5分 当X=0时， 当X=1时， 同理可得 随机变量X的分布列为X0123P …………10分 …………12分18．解：方法一：（1）由题意知，都是边长为2的等边三角形， 取AC中点O，连接BO，DO， 则 平面ACD平面ABC 平面ABC，作EF平面ABC， 那么EF//DO，根据题意，点F落在BO上， ，易求得 所以四边形DEFO是平行四边形，DE//OF； 平面ABC，平面ABC， 平面ABC…………4分（2）作FGBC，垂足为G，连接FG； 平面ABC，根据三垂线定理可知，EGBC 就是二面角E—BC—A的平面角 即二面角E—BC—A的余弦值为…………8分（3）平面ACD平面ABC，OBAC 平面ACD；又 平面DAC，三棱锥E—DAC的体积 又三棱锥E—ABC的体积 多面体DE—ABC的体积为V=V1-V2=…………12分 方法二：（1）同方法一（2）建立如图所示的空间直角坐标系，可求得平面ABC的一个法向量为，平面BCE的一个法向量为 所以 又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E—BC—A的余弦值为（3）同方法一19．解：（1）证明： 数列是等差数列…………3分 由 …………6分（2）由（1）的结论得…………7分 ①…………8分 ，②…………9分 ①-②，得 …………11分 …………12分20．解：（1）设椭圆方程为 由 椭圆方程为…………4分（2）由题意知，直线的斜率存在且不为零 由消去并化简整理，得 根据题意， 解得 同理得…………9分（3）设 那么 同理得 即 ……10分 即的取值范围是…………13分21．解：（1）……61分 ①当恒成立 上是增函数，F只有一个单调递增区间（0，-∞），没有最值……3分 ②当时，， 若，则上单调递减； 若，则上单调递增， 时，有极小值，也是最小值， 即…………6分 所以当时，的单调递减区间为 单调递增区间为，最小值为，无最大值…………7分（2）方法一，若与的图象有且只有一个公共点， 则方程有且只有一解，所以函数有且只有一个零点…………8分 由（1）的结论可知…………10分 此时， 的图象的唯一公共点坐标为 又 的图象在点处有共同的切线， 其方程为，即…………13分 综上所述，存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为…………14分 方法二：设图象的公共点坐标为， 根据题意得①② 即①②