信赖区间-推理性的统计量001

01四月2024信赖区间--推理性的统计量[001]01四月2024信赖区间--推理性的统计量[001]1複習母體與樣本之間的差異演練估計信賴區間的方法:平均數(大樣本和小樣本)標準差比例章節目的與用途複習母體與樣本之間的差異章節目的與用途2分析階段:可能取得的成果專案回顧和第一次課程其餘成果確定變異來源:探測性資料分析應用工具:FMEA和用Excel操縱資料

圖表技巧

確定變異來源:統計分析

信賴區間假說檢定與樣本大小

中心趨勢

確定變異來源：變異數分析

實驗設計(DOE)規劃

完成階段總結

結論,問題和下階段任務

分析階段:可能取得的成果專案回顧和第一次課程其餘成果3簡要複習:母體與樣本母體統計數平均數–m標準差–s樣本統計數樣本平均數–

用於標準差的

估計數–s母體-人們想要推斷的事物的整個群體樣本--人們實際從母體中搜集的資料組合簡要複習:母體與樣本母體統計數樣本統計數母體-人們4推論性的統計量–定義母體是實驗者感興趣的所有測量值的集合樣本是母體中挑選出來的測量值的一個子集合.推斷是關於由樣本中所包含的資訊對母體參數的一個陳述兩種類型的推論

估計

作一個民意測驗計劃測定公衆對新的政治醜聞的反應.目的是通過調查一個有代表性的樣本來估計所有美國人的反應.假說檢定

一種已開發的萊姆關節炎疾病疫苗,其副作用的比率爲1.45%.又開發了一種新的疫苗,想瞭解其副作用的比率是否低於1.45%本模組講的是關於估計的問題推論性的統計量–定義母體是實驗者感興趣的所有測量值的集5使用樣本資料對母體平均數的最佳估計值是什麽?樣本平均數樣本平均數與母體平均數的估計有多好?

什麽因素影響樣本資料平均數作爲母體平均值的估計的準確性?想一想:估計與中央極限定理樣本平均數分佈的變異是母體變異和樣本大小的函數.

使用樣本資料對母體平均數的最佳估計值是什麽?估計與中央極限定6信賴區間–圖示法

平均數的分佈(n=5)95%的樣本平均數落在這個區間內如果我們構想一個在樣本平均數左右的寬度爲

的區間,我們有95%的把握說真實平均數是在這個信賴區間內的某個地方

µPopulation＝0

Population＝1信賴區間–圖示法平均數的分佈(n=5)95%7信賴區間–數學模型

95%的X-bar估計誤差上下限是:換句話說,我們有95%的把握說真實的平均數在樣本平均數的

範圍之内.?95%是從哪裡來的?信賴區間–數學模型95%的X-bar估計誤差上下限8實例一個社會工作者對初犯者出獄至第二次被捕入獄在社會上所待的平均時間長短發生興趣.150份監獄記錄的隨機樣本表明前後兩次犯罪之間監外生活的平均時間爲3.2年,樣本標準差爲1.1年(假定非常接近真實的

s).估計平均數

m,即前後兩次犯罪之間監外生活的平均時間.構想一個信賴度爲95%的信賴區間?你能解釋這個區間的意思嗎?實例一個社會工作者對初犯者出獄至第二次被捕入獄在社會上所待的9Minitab中的信賴區間打開Minitab文件Recidivism.mtw中的資料選擇

Stat>BasicStatistics>1-samplet…Recidivism.mtwMinitab中的信賴區間打開Minitab文件Re10Minitab的輸出信賴區間–單一樣本檢定

1Samplet…還記得手工計算嗎?One-SampleT:RecidivismVariableNMeanStDevSEMean95.0%CIRecidivism1503.20191.09490.0894(3.0253,3.3786)Minitab的輸出信賴區間–單一樣本檢定1Sa11大樣本

的區間估計從中央極限定理中我們得知從母體中抽取的樣本平均數的95%將落入這個區間內

或,我們有95%的把握說真實的平均數落入這個區間(信賴區間)內.99.7%的信賴區間是寬還是窄?對於監獄資料,99.7%的信賴區間是多少?對於監獄資料,68%的信賴區間又是多少??怎樣計算99%的信賴區間?大樣本的區間估計從中央極限定理中我們得知從母體中抽取的12平均數的信賴區間對於母體標準差已知或大樣本的信賴區間其基本公式爲:

其數量(1-

)稱之為信賴係數並且公式給出的100(1-

)%的信賴區間Alpha是在你計算的區間内捕獲不到真實的母體平均數的機率.的95%信賴區間是多少?的99%信賴區間是多少?Z/2

是什麼?平均數的信賴區間對於母體標準差已知或大樣本的信賴區間其基本公13數值Za/2是Z中的一個值其常態分佈右側的面積是a/2.或在a距離

右邊的Za/2標準差曲線下的面積為a/2.常用的Za/2值與想應的a:a/2(1-a)Area<.90.9501.65.95.9751.96.98.9902.33.99.9952.58信賴區間取決於機率分佈Za/2數值Za/2是Z中的一個值其常態分佈右側的面積是a/14實例在36所私立小學的隨機樣本中,學生的平均數量爲379.2其標準差爲124.構造教區中各學校學生平均數量的信賴度爲95%的信賴區間.

實例在36所私立小學的隨機樣本中,學生的平均數量爲379.15怎樣用Minitab計算Za/2

從主功能表中選擇

Calc>ProbabilityDistributions>Normal…Minitab輸出:P(X<=x)x0.97501.9600

左邊的面積是(1-a/2)計算面積爲

(1-a)時的

怎樣用Minitab計算Za/2從主功能表中選擇

16練習用Minitab,證明下列表格中的Z值與a值的對應關係是正確的.(1-a)面積<.90.9501.65.95.9751.96.98.9902.33.99.9952.58練習用Minitab,證明下列表格中的Z值與a值17小樣本的信賴區間又是怎樣的呢?如果母體標準差是已知(幾乎從未已知),也使用前面的公式來計算小樣本的信賴區間.如果母體標準差未知(通常是未知):使用標準差的估計數使用t-分配代替常態(Z)分佈.

問:什麽是t-分配?t-分配是鐘型分佈(類似常態)家族之一,其分佈取決於樣本的大小.樣本數n越小,其分佈越扁平.小樣本的信賴區間又是怎樣的呢?如果母體標準差是已知(幾乎從18t-分配n=100(df=99)時的t0.025

n=5(df=4)時的t0.025t-分配n52.781.24102.260.71202.090.47302.050.371001.980.2010001.960.06注意兩個不同的t分配之間的差異看一看樣本大小是怎樣影響信賴區間的寬度t-分配n=100(df=99)時的t0.025n=19信賴度為95%的Z與t

當n>30--兩者之間的差别<5%各樣本大小相對的t及Z

樣本大小

信賴度為95%的Z與t當n>30--兩者之間20實例:用Minitab計算

用10個樣本,計算信賴度爲95%的t-值在主選單中選擇

Calc>ProbabilityDistributions>t…

Minitab輸出:

P(X<=x)x0.97502.2622計算面積爲

(1-a)相應的

左邊的面積為(1-a/2)自由度=n-1實例:用Minitab計算21練習使用Minitab證明下列表格中的t值與n值的對應關係是正確的.n52.781.24102.260.71202.090.47302.050.371001.980.2010001.960.06練習使用Minitab證明下列表格中的t值與n值的22實例高速公路巡邏人員想知道在某一段高速公路轎車的平均速度.一位巡邏人員隨機挑選10輛車,用雷達測量它們的速度.這10輛車的平均速度爲72.6mph,母體標準差的估計量爲6.2mph.請計算信賴度爲95%的平均速度的信賴區間

巡邏人員希望更準確一點,於是收集100輛車的資料,其平均數爲70,標準差爲8.1.請計算平均速度的信賴度爲95%的信賴區間

註：兩組資料皆來自於一個

m

爲71和

s

爲8的常態分佈.實例註：兩組資料皆來自於一個m爲71和s爲823用Minitab直接計算平均數的信賴區間打開MinitabHighway.mtw文件中的資料從主功能表中選擇

Stat>BasicStat>1-Sample-t…

點選

Options選擇一個信賴區間Minitab輸出:VariableNMeanStDevSEMean95.0%CISpeed11072.626.231.97(68.16,77.07)?我們得到了相同的答案嗎?Highway.mtw用Minitab直接計算平均數的信賴區間打開Minita24用Minitab計算信賴區間的另一個方法選擇

Stat>BasicStat>DisplayDescriptiveStatistics…

然後點選

Graphs

並選擇

GraphicalSummary…用Minitab計算信賴區間的另一個方法選擇Stat>25Minitab輸出這個熟悉嗎?這個是怎麽計算出來的??爲什麽標準差的CI是非對稱的?Minitab輸出這個熟悉嗎?這個是怎麽計算出來的??爲什26母體標準差的信賴區間

(CI)標準差的信賴區間是用 卡方分配來計算的c2分配的關鍵參數是自由度

(df=n-1)對於

c2分配來講:

c2

分配不是對稱的,所以:d.f.=4d.f.=8d.f.=20當d.f.>30,卡方分配近似常態分配.母體標準差的信賴區間(CI)標準差的信賴區間是用c2分配的27標準差的信賴區間(CI)--公式卡方分配的兩邊必須輸入這個公式來計算:

和常態及t分配計算方法一樣,Minitab用相同的方法計算卡方機率,.

卡方區間是不對稱的.標準差的信賴區間(CI)--公式卡方分配的兩邊必須輸入28實例:計算標準差的信賴區間

(CI)以Speed1為實例,n=10,s=6.2,計算標準差的信賴區間其信賴度爲95%.實例:計算標準差的信賴區間(CI)以Speed1為實29用Minitab計算X2分配的左側機率Minitab中選擇

Calc>ProbabilityDistributions>Chi-Square…Minitab輸出

P(X<=x)x0.02502.7004計算在d.f.=9a/2=.025條件下的機率

用Minitab計算X2分配的左側機率Minitab30Minitab中選擇

Calc>ProbabilityDistributions>Chi-Square…Minitab輸出

P(X<=x)x0.975019.0228計算在d.f.=9a/2=.975條件下的機率

用Minitab計算X2分配的右側機率Minitab中選擇Calc>Probability31練習手工計算第二組速度資料標準差的信賴度爲95%的信賴區間n=100S=8.1用MinitabHighway.mtw文件中的Speed2資料及Minitab的圖形摘要(GraphicalSummary)功能,證明你的手工計算結果.Highway.mtw練習手工計算第二組速度資料標準差的信賴度爲95%的信賴區32比例的信賴區間

(CI)當滿足某些假設時*,則

比例的CI是: 其中:

例如–將二項式分配作常態分配近似處理,計算200個測試中有5個不合格的信賴度爲90%的信賴區間比例的信賴區間(CI)當滿足某些假設時*,則

比例的33比例和二項式實驗

(ProportionsandBinomialExperiments)比例資料通常是二項式類型實驗的結果二項式實驗(或伯努利試驗)的結果只能有兩個,不是“成功”就是“失敗”.這種類型的實驗機率用二項式分配,一個複雜的分配來描述許多情況下可用常態分配近似二項式分配

nxp>5和nx(1-p)>5=nxp且2=nxpx(1-p)成品率資料是二項式資料嗎?比例和二項式實驗

(ProportionsandBin34用Minitab計算比例的信賴區間

一位檢查員隨機抽樣檢查200件倉庫內的産品.發現5件有缺陷的産品.請計算倉庫中合格品比例的信賴度爲90%的信賴區間.選擇

Stat>BasicStatistics>1-Proportion…

?我們可以使用常態分配近似處理嗎?用Minitab計算比例的信賴區間一位檢查員隨機抽樣檢35Minitab單一比例檢定結果(1ProportionTest)使用常態近似方法:

SampleX NSamplep90.0%CI Z-ValueP-Value

11952000.975000(0.956841,0.993159)13.440.000使用原始的二項式分配:

SampleXN Samplep 90.0%CI P-Value

1195200 0.975000 (0.948157,0.990099) 0.000計算中如果將成功/失敗的數值顛倒將會是什麽結果呢?(將5當作成功而不是用195.)SampleX