立体几何中的截面、折叠问题（解析版）

第页立体几何中的截面、折叠问题一、单选题1．（2020·鄂尔多斯衡水实验中学）将等腰直角三角形沿底边上的高线折成的二面角，则折后的直线与平面所成角的正弦值（）A． B． C． D．【答案】D【详解】将等腰直角三角形沿底边上的高线折成的二面角，如图所示：在等腰直角三角形中，，易知直线与平面所成角为，又，，所以为正三角形，故，所以直线与平面所成角的正弦值为.2．（2020·江西高三）将一边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱椎C—ABD．其正视图与俯视图如下图所示，则左视图的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题中正视图和俯视图，结合折叠前的图，则三棱椎C—ABD，若为的中点，则面，，则左视图为三角形，其面积.3．（2018·广东佛山一中）若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有（）A．0条 B．1条C．2条 D．1条或2条【答案】C【详解】如图所示，四边形为平行四边形，则.平面，平面，平面.又平面，平面平面，.又平面，CD⊄平面.平面，同理，平面，所以与平面(面)平行的棱有2条.4．设四棱锥的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面A．有无数多个 B．恰有个 C．只有个 D．不存在【答案】A【解析】如图由题知面与面相交，面与面相交，可设两组相交平面的交线分别为，由决定的平面为，作与且与四条侧棱相交，交点分别则由面面平行的性质定理得：从而得截面必为平行四边形．由于平面可以上下平移，可知满足条件平面有无数多个．故本题答案选．5．已知正方体的棱长为，点为棱中点，则过点与垂直的平面截正方体所得的截面面积为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】过点与垂直的平面被正方体截得的截面是以中点为顶点，边长为的正六边形，平面，面平面平面，平面，且面积为，6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体，如图，将底面半径都为.高都为的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明圆=圆环总成立.据此，椭圆的短半轴长为2，长半轴长为4的椭球的体积是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵圆=圆环总成立，∴半椭球的体积为，∴椭球的体积，∵椭球体短轴长为2，长半轴长为4，∴该椭球体的体积.

7．已知圆锥顶点为，底面的中心为，过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，设正三角形边长为，则，解得，所以圆锥的高为，底面圆的直径为，所以该圆锥的体积为．8．（2020·宁夏银川二中）在内接于球的四面体中,有,,,若球的最大截面的面积是,则的值为()A． B． C． D．【答案】A【详解】将四面体放入到长方体中,与,与,与相当于一个长方体的相对面的对角线,设长方体的长,宽,高分别是则,，球的最大截面的面积是,球的最大截面即是过球心的大圆,设球的半径为则,,,解得:,9．如图，侧棱长为的正三棱锥中，，过点作截面则截面，则截面的周长的最小值为（）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】如图所示：沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如图（2），则即为截面周长的最小值，且，在中，由余弦定理可得，10．（2020·山西月考）如图四面体中，，截面四边形满足，则下列结论正确的个数为（）①四边形的周长为定值；②四边形的面积为定值③四边形为矩形；④四边形的面积有最大值1A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】因为平面，所以平面，又平面平面，所以.同理，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形.所以③是正确的；由相似三角形的性质得，所以，，所以，所以四边形的周长为定值4，所以①是正确的；，所以四边形的面积有最大值1，所以④是正确的.因为①③④正确.11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB＝4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为（）A．64 B．62 C．34 D．32【答案】A【详解】作图如下:因为是棱的中点,所以,因为平面,平面,所以平面，由线面平行的性质定理知,过直线且过点B的平面与平面的交线平行于直线,结合图形知,即为直线,过B，E，F的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形,因为正方体的棱长AB＝4,所以,所以所求截面的周长为64,12．（2020·福建月考）在三棱锥中，底面，，是线段上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】将三棱锥补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球，记三角形的中心为，设球的半径为，，则球心到平面的距离为，即，连接，则，∴.在中，取的中点为，连接，则，，所以.在中，，由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为，则，所以最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为，所以，，球的表面积为.二、填空题13．已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为_______.【答案】；【解析】由题如图,设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AH∶HB=1∶2,所以.由勾股定理,，又由题意得,故.由球的表面积公式得.14．在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为________.【答案】【详解】连结EG，HF，交点为O，正方形EFGH的对角线EG＝2，EO＝1，则点E到线段AB的距离为1，EB＝＝.SO＝＝＝2，故正四棱锥SEFGH的体积为×()2×2＝.15．（2020·新疆乌市八中高三）正方形边长为，的中点为，的中点为，沿、、将，，折起，使、、三点重合于点，则三棱锥的外接球的体积为__________.【答案】【详解】由题意图形折叠为三棱锥，且由出发的三条棱两两垂直，补体为长方体，即，所以，∴.16．（2021·济南市历城第二中学）在平行四边形中，，，且，以为折痕，将折起，使点到达点处，且满足，则三棱锥的外接球的表面积为________.【答案】【详解】在中，，，且，由余弦定理得，即：，解得：，在四面体中，，，，三组对棱长相等，可将四面体放在长方体中，设长方体的相邻三棱长分别为，，，设外接球半径为，则，，，则，即，所以.所以，四面体外接球的表面积为：.三、解答题17．如图1，在等腰梯形中，两腰，底边是的三等分点，是的中点.分别沿将四边形和折起，使重合于点，得到如图2所示的几何体.在图2中，分别为的中点.(1)证明:平面；(2)求几何体的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:连接，由图1知，四边形为菱形，且，所以是正三角形，从而.同理可证，，所以平面.又，所以平面，因为平面，所以平面平面.易知，且为的中点，所以，所以平面.(2)由(1)可知，几何体为三棱柱，它的体积与以为底面，以为高的三棱柱的体积相等.因为.所以，所以.18．（2019·全国高三月考）如图，在棱长为的正方形中，、分别为，边上的中点，现将点以为轴旋转至点的位置，使得为直二面角．（1）证明：；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：在正方形中，连结交于．连结，如下图所示：则．因为、分别为，边上的中点，所以．所以．在空间几何体中如下图所示：所以在棱锥中，，，所以面，又因为面，所以．（2）设．过作，已知OA，OB，OM两两垂直，如图分别以OA，OB，OM为，，轴建立空间直角坐标系如下图所示：，，，，，，，，所以与面所成角的余弦值为．19．如图，已知菱形的边长为，，.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥.（Ⅰ）若点是棱的中点，求证:平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论.【答案】（Ⅰ）见试题-高考群：611508768-公众号：新课标试卷解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在.【详解】（Ⅰ）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线，.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）由题意，，因为，所以，.又因为菱形，所以，.建立空间直角坐标系，如图所示..所以，设平面的法向量为，则有，即，令，则，所以.因为，所以平面.平面平面的法向量与平行，所以平面的法向量为.，因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值为.（Ⅲ）因为是线段上一个动点，设，，，所以，由得，即，解得或，所以点的坐标为（0，1，2）或.20．以正方形的为一边作三角形，使，如图1所示，将三角形沿着边折起，使得为直二面角，如图2所示，连接，分别记的中点为.（1）求证：平面，并过在几何体的表面画线，使所作的平面域平面平行；（2）若正方形的边长为2，求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）.【详解】（1）连接，由正方形性质可知，与相交于点，所以，在中，，又平面，平面，所以平面，取的中点为，连接，延长交于，则，所以平面，又，所以平面平面，取的中点，因为，，所以，所以四点共面，即为在几何体的表面所画的线.（2）因为，所以为等腰直角三角形，因为为直二面角，平面平面，所以平面，因为，所以，又因为为直二面角，，平面平面，所以平面，所以，因为，所以，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，所以，即点到平面的距离为.21．如图，在多边形ABPCD中（图1），四边形ABCD为长方形，为正三角形，，，现以BC为折痕将折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上（图2）.（1）证明：平面平面PAB；（2）若点E在线段PB上，且，当点Q在线段AD上运动时，求点Q到平面EBC的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】(1)证明：过点作，垂足为O.由于点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上，∴平面ABCD，∴，∵四边形ABCD为矩形，∴，又，∴平面PAD，∴，，又由，，可得，同理，又，∴，∴，且，∴平面PAB，又因为平面PCD，所以平面平面PAB。(2)设点E到底面QBC的距离为h，所以点Q到平面EBC的距离为d，则，由，可知，∴，∵，且，∴，∴，又，，∴.所以点Q到平面EBC的距离为.22．如图1，多边形ABCDEF，四边形ABCD为等腰梯形，，，，四边形ADEF为直角梯形，，，以AD为折痕把等腰梯形ABCD折起，使得平面平面ADEF，如图2．（Ⅰ）证明：平面CD