7-2分离参数法解决不等式恒成立问题

分离参数法解决不等式恒成立问题[典例](2014·天津调研)设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈[eq\f(3,2)，＋∞)，f(eq\f(x,m))－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．[审题视角]本题把函数问题与恒成立问题巧妙的结合起来，解题时先把参数分离，从而把恒成立问题转化为函数最值问题．[解析]依据题意得eq\f(x2,m2)－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈[eq\f(3,2)，＋∞)上恒成立，即eq\f(1,m2)－4m2≤－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1在x∈[eq\f(3,2)，＋∞)上恒成立．即(eq\f(1,m2)－4m2)≤(－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1)min，当x＝eq\f(3,2)时函数y＝－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1取得最小值－eq\f(5,3)，所以eq\f(1,m2)－4m2≤－eq\f(5,3)，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，解得m≤－eq\f(\r(3),2)或m≥eq\f(\r(3),2).[答案](－∞，－eq\f(\r(3),2)]∪[eq\f(\r(3),2)，＋∞)对于给定区间上的不等式恒成立问题，一般可根据以下几步求解：第一步：整理不等式，分离参数；第二步：构造函数g(x)；第三步：求函数g(x)在给定区间上的最大值或最小值；第四步：根据最值构造不等式求参数；第五步：反思回顾，查看关键点，易错点，完善解题步骤．该题需注意两点：①分离参数时一定要搞清谁是参数；②求g(x)最值的常用方法有：二次函数、均值不等式、单调性等．1．(2014·广州模拟)若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，求a的取值范围．解：由4x－2x＋1－a≥0可得a≤4x－2x＋1令2x＝t，则4x＝t2，∵x∈[1,2]，∴t∈[2,4]∴a≤t2－2t，要使关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立只需a≤(t2－2t)min，而t2－2t＝(t－1)2－1∵t∈[2,4]∴t2－2t∈[0,8]，∴a≤0.2．(2014·淄博模拟)若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0,2]恒成立，则a的取值范围为()A．(－∞，eq\f(1－\r(3),2))B．[eq\f(1＋\r(3),2)，＋∞)C．(－∞，eq\f(1－\r(3),2)]∪[eq\f(1＋\r(3),2)，＋∞)D．[eq\f(1－\r(3),2)，eq\f(1＋\r(3),2)]解析：∵x∈(0,2]，∵a2－a≥eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)).要使a2－a≥eq\f(1,x＋\f(1,x))在x∈(0,2]上恒成立，则a2－a≥(eq\f(1,x＋\f(1,x)))max，由均值不等式得x＋eq\f(1,x)≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，即(eq\f(1,x＋\f(1,x)))max＝eq\f(1