第六单元正比例和反比例·基础意义篇【九大考点】-2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列（解析版）苏教版

第第页篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但在面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样呢？那这份资料在满足自己教学需求的同时，还能为他人提供参考。本着这样的想法，在结合自己教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。《2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！101数学创作社2024年3月19日2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列第六单元正比例和反比例·基础意义篇【九大考点】专题解读本专题是第六单元正比例和反比例·基础意义篇。本部分内容包括正比例和反比例的认识、判断及图表应用，本部分内容偏于理解，建议根据学生情况选择性进行讲解，一共划分为九个考点，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【考点一】正比例的意义与认识 3【考点二】反比例的意义与认识 5【考点三】判断比例关系其一：直接判断 7【考点四】判断比例关系其二：乘积式或分数式 9【考点五】正比例和反比例的实际应用其一 10【考点六】正比例和反比例的实际应用其二 11【考点七】正比例的图像与实际应用 13【考点八】反比例的图像与实际应用 16【考点九】正比例、反比例与图像的绘制 18典型例题【考点一】正比例的意义与认识。【方法点拨】一、正比例的意义。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，用字母表示为(一定）二、判断两种量是否成正比例关系的方法。先找变量（找两种相关联的量），再看定量（看两种相关联的量中相对应的两个数的比值是否一定），最后作出判断。三、正比例关系图象的特点。正比例关系图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，从图象中可以直观地看到两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。【典型例题】科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表。（1）说一说竿影的长与竹竿的高的变化关系。解析：竹竿的高增加1m，竿影的长随之增加0.4m。（2）写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现?解析：竿影的长/竹竿的高=0.4，不管竹竿的高怎么变化，竿影的长和竹竿的高的比值是不变的。（（3）竹竿的高与竿影的长是不是成正比例?说明理由。解析：竹竿的高与竿影的长成正比例，因为它们的比值一定。【对应练习1】乘船的人数与所付船费如下表。（1）表格中的()和()是两种相关联的量，船费随着()的变化而变化；（2）船费与人数数量中相对应的两个数的比值是()，这个比值实际上表示()；（3）因为每人的()一定，所以()和()成()比例关系。解析：（1）人数；船费；人数；(2)5；每人付的船费；（3）船费；船费；人数；正【对应练习2】乘船的人数与所付的船费为：（1）计算船费与对应人数的比值，说一说哪个量没有变化?（2）乘船船费与人数有什么关系?解析：（1）每张船票的价钱没有变化；（2）正比例关系【对应练习3】观察一辆汽车运货时间和运货吨数统计表：运货时间（时）123456…运货吨数（吨）51015202530…（1）表中变化的量有()和()。（2）()扩大，()也随着扩大。（3）3小时运货()吨，运30吨需要()小时。（4）运货吨数和运货时间这两种量中相对应两个数的比值都等于()，所以表中的两种量成()比例。解析：（1）运货时间；运货吨数；（2）运货时间；运货吨数；（3）15；6；（4）5；正【考点二】反比例的意义与认识。【方法点拨】一、反比例的意义。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，用字母表示为xy=k（一定）。二、判断两种量是否成反比例关系的方法。先找变量（两种相关联的量），再看定量（看两种相关联的量中相对应的两个数的乘积是否一定），最后作出判断。【典型例题】小红看一本书，每天看的页数和所用的天数如下表。（1）表中()和()是两种相关联的量。（2）这两种相关联的量中，相对应的两个数的积是()，这个积表示的是()。（3）由此可知∶()一定时，()和()成()比例关系。解析：（1）每天看的页数；所用的天数；(2)200；这本书的总页数；（3）总页数；每天看的页数；所用的天数；反【对应练习1】某工厂生产一批零件，每天生产的个数与需要的天数如下表。（1）表中有哪两种量?它们是不是相关联的量?（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小，想一想，这个积表示什么?（3）每天生产的个数与需要的天数成反比例关系吗?为什么?解析：（1）有每天生产的个数和需要的天数两种量；是相关联的量；（2）200×30=300×20=400×15=500×12=6000；积6000表示零件总个数；（3）成反比例关系；因为每天生产的个数和需要的天数的乘积一定。【对应练习2】运一批货物，每天运的吨数和需要的天数如下表：每天运的吨数300150100756050需要的天数123456（1）写出几组这两组量中的对应的两个数的积，并比较积的大小。（2）说明这个积表示什么？（3）表中相关联的两个量成反比例吗？为什么？解析：（1）因为积都是300，所以积相等；（2）这批货物的总吨数；（3）反比例关系．因为表中相对应的两个数的乘积一定。【对应练习3】生产240个零件，工作效率和工作时间如下表。工作效率（个/时）12080604840…工作时间/时234…（1）填写上表，工作时间是随着哪个量的变化而变化的？（2）相对应的两个数的乘积各是多少？（3）这个乘积的实际意义是什么？你能用式子表示出它与工作效率、工作时间之间的关系吗？（4）工作效率和工作时间成反比例吗？为什么？解析：生产240个零件，工作效率和工作时间如下表。工作效率（个/时）12080604840…工作时间/时23456…（1）工作时间是随着工作效率的变化而变化的；（2）相对应的两个数的乘积是240；（3）这个乘积的实际意义是生产240个零件，工作效率×工作时间＝工作总量；（4）工作效率和工作时间成反比例。因为工作效率和工作时间是两个相关联的两个量，并且工作时间随着工作效率的变化而变化，工作效率×工作时间＝工作总量（一定），所以，工作效率和工作时间成反比例。【考点三】判断比例关系其一：直接判断。【方法点拨】判断正比例和反比例关系主要有三点：1.是否为相关联的量；2.是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方向相同，反比例关系两种量的变化方向相反；3.比值或乘加是否一定（“商正积反”）：①若两个变量的比值一定，则成正比例；②若两个变量的乘积一定，则成反比例。补充：正比例关系和反比例关系的异同点：【典型例题】报纸的单价一定，订阅的份数和总价成()比例；圆柱的体积一定，它的底面积和高成()比例。解析：正；反【对应练习1】圆的周长和它的直径成()比例；三角形的面积是，它的底和高成()比例。解析：正；反【对应练习2】判断下列句子中的两个量成什么关系。(1)圆的周长与圆的直径成()比例；(2)如果a＝8b，那么a与b成()比例；(3)圆的面积和半径()比例。解析：(1)正；(2)正；(3)不成【对应练习3】在下面括号里填上“成正比例”、“成反比例”或“不成比例”。(1)如果圆柱的底面积一定，那么体积和高()。(2)如果圆锥的体积一定，底面积和高()。(3)如果5x＝y（x、y均不为0），则x和y()。解析：(1)成正比例；(2)成反比例；(3)成正比例【考点四】判断比例关系其二：乘积式或分数式。【方法点拨】已知乘积式，先把乘积式进行转换，看是否能求比值或乘积，最后再判断比例关系。【典型例题1】“乘积式”。x×2＝y（x不为0），x和y成()比例；如果3x＝4y（y不为0），那么x和y成()比例。解析：正；正【典型例题2】“分数式”。若，则m和n成()比例；若（a不为0），则a和b成()比例。解析：正；反【对应练习1】如果5A＝4B（A、B均不为0），那么A∶B＝()，A和B成()比例。解析：4∶5；正【对应练习2】和是两个相关联的量，如果5＝9，那么和成()比例；如果＝15÷，那么和成()比例。解析：正；反【对应练习3】＝C（A，B，C不为0），如果A一定，那么B和C成()比例；如果B一定，那么A和C成()比例；如果C一定，那么A和B成()比例。解析：反；正；正【考点五】正比例和反比例的实际应用其一。【方法点拨】已知正比例或反比例关系，求变量是多少，可以根据正比例和反比例的数量关系进行计算，即正比例是两个变量的商一定，反比例是两个变量的积一定。【典型例题】下面的表格被明明弄脏了，如果x和y成正比例，那么弄脏处的数是()；如果x和y成反比例，那么弄脏处的数是()。x6y1224解析：12；3【对应练习1】用数学的眼光来看“立竿见影”，我们可以知道同一时间、同一地点，竹竿的高和竿影的长成()比例。根据这种关系，完成表格。竹竿的高/m12467竿影的长/m0.81.6()4.8()解析：正；3.2；5.6【对应练习2】下表中，如果x与y成正比例，那么△＝()；如果x与y成反比例，那么△＝()。x94.5y3△解析：1.5；6【对应练习3】如图：ab20当a和b成正比例时，是()；当a和b成反比例时，是()。解析：16；25【考点六】正比例和反比例的实际应用其二。【方法点拨】正比例和反比例的实际应用，一是判断比例关系，二是利用比例关系求值。【典型例题】输队抢运一批生活物资驰授受灾地区。如果要一次把生活物资全部运出，那么车辆的载质量与所需车辆的数量如下表。载质量/吨2.5458…数量/辆48302415…（1）车辆的载质量和所需车辆的数量有什么关系？（2）一次运完这批生活物资用了40辆车，所用车辆的载质量是多少吨？解析：（1）由表格可知，车辆的载质量和所需车辆的数量成反比例。（2）8×15÷40＝120÷40＝3（吨）【对应练习1】买大米的数量和钱数的关系如下表：数量/千克1234……总价元()()10.814.4……（1）将上表补充完整。（2）从表中可以看出，购买大米的数量和总价成()比例。（3）如果用54元，可以买多少千克大米？解析：（1）10.8÷3＝3.6（元）3.6×2＝7.2（元）所以买1千克大米需要3.6元，买2千克大米需要7.2元。（2）因为＝＝＝＝…＝3.6（一定），所以购买大米的数量和总价成正比例。（3）54÷3.6＝15（千克）答：可以买15千克大米。【对应练习2】大米的重量和总价如下表。重量x（千克）123456…总价y（元）9.51928.53847.557…（1）表中有()和()两种量。（2）比值实际上表示()，请用式子表示它们的关系，关系式为：()。（3）表中相关联的两种量成正比例吗？为什么？解析：（1）表中有重量和单价两种量。（2）比值实际上表示单价，请用式子表示它们的关系，关系式为：单价＝总价÷重量。（3）总价∶重量＝9.5，即总价与重量的比值一定，这两种量成正比例。【对应练习3】文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。数量/m12345678…总价/元3.5710.51417.52124.528…观察上表，回答下面的问题。（1）表中有哪两种量？（2）总价是怎样随着数量变化而变化的？（3）相对应的总价和数量的比分别是多少？比值是多少？通过学习我们发现：相对应的总价和数量的比的比值是()。用式子表示它们的关系就是：____________________________。解析：（1）表中的两种量分别为数量和总价；（2）总价和数量是两种相关联的量，总价随着数量的变化而变化，当数量增加时，总价也在增加，数量减少时，总价也在减少，而且总价和数量的比值总是一定的；（3）相对应的总价和数量的比分别是3.5∶1；7∶2；10.5∶3；14∶4；17.5∶5；21∶6；24.5∶7；28∶8；比值是3.5；通过学习我们发现：相对应的总价和数量的比的比值是单价；用式子表示它们的关系就是：（一定）。【考点七】正比例的图像与实际应用。【方法点拨】正比例关系的图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，从图象中可以直观地看到两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。【典型例题】下一根弹簧挂上物体（质量不超过20kg）后会伸长。下图表示弹簧伸长的长度和所挂物体的质量之间的关系。(1)弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成()比例。(2)根据图象判断，如果挂上7kg的物体，那么弹簧将伸长()cm。(3)要使弹簧伸长2.25cm，应挂上()kg的物体。解析：（1）2∶0.5＝4∶1＝4（比值一定）所以物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。（2）7÷4＝1.75（厘米）所以挂上7kg的物体，弹簧应伸长1.75厘米。（3）2.25×4＝9（kg）所以要使弹簧伸长2.25cm，应挂上9kg的物体。【对应练习1】如图是一个水龙头打开后出水量的情况统计。(1)看图填写下表：时间（秒）20()出水量（升）()8(2)这个水龙头打开的时间和出水量成()比例，算一算()秒时出水量是9.6升。(3)20秒的出水量比50秒的出水量少()。解析：(1)

40

4(2)

正

48(3)60【对应练习2】下图是小冬和爸爸爬山比赛情况的统计图，认真观察，回答下列问题。(1)()在途中休息了()分钟。(2)出发()分钟后，两人在距离起点()m处相遇。(3)()先到达终点，早()分钟到达。(4)在比赛的过程中，小冬走过的路程和时间成()比例关系。解析：(1)

爸爸

5(2)

15

300(3)

小冬

2.5(4)正【对应练习3】电信公司推出校园卡业务，下图表示长途电话通话时间与话费的关系，观察下图并回答后面的问题。（1）校园卡每分钟话费是多少?（2）通话1小时需要话费多少?（3）淘气和国外表哥通话花费16.5元，他俩通话了多长时间?解析：（1）0.3元；（2）18元；（3）55分钟【考点八】反比例的图像与实际应用。【方法点拨】从图象中可以直观地看到反比例关系图象中两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另一种量的值。【典型例题】把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形杯子中，杯子的底面积和杯中水面的高度关系的图象如图所示：（1）底面积和水面高度成()比例关系。（2）底面积是10cm²的杯子中，水面的高度是()cm，底面积是30cm²的杯子中，水面的高度是()cm。（3）估计一下，底面积是40cm²的杯子中，水面的高度是()cm。解析：（1）反；（2）30；10；（3）7.5【对应练习1】小丽正在读一本故事书，下图表示的是她读书的天数和每天读书的页数之间的关系。（1）图中的一条曲线，反映了()和()成()比例；（2）由图象判断，整本书有()页，如果20天读完，每天要读()页；如果每天读5页，需要读()天。解析：（1）读书的天数；每天读书的页数；反；（2）80；40；6【对应练习2】下面的图象表示小强从甲地到乙地不同的速度和所对应的时间。（1）在这个过程中，哪种量没有变？（2）速度和所对应的时间成什么比例关系？（3）不计算，观察图象，如果每小时行40km，那么从甲地到乙地大约需要多少小时？解析：（1）路程；（2）反比例；（3）2.5小时【对应练习3】小强用下面的图像表示从甲地到乙地，用不同的速度和所用的时间。把图像所表示的数据填在下面的表内。时间/时速度（千米/时）回答下面问题：（1）在这一过程中，哪个量没有变？（2）速度和时间有什么关系？（3）不计算，从图中观察，如果每小时行40千米，大约用多少小时？解析：填表如下：时间/时1251020速度（千米/时）1005020105（1）路程没有变；（2）成反比例关系；（3）2.5小时【考点九】正比例、反比例与图像的绘制。【方法点拨】正比例、反比例图像应用的解题步骤：1.结合图像观察来确定是正比例还是反比例。2.若是正比例则利用两个量商一定的关系求解；若是反比例就利用两个量积一定的关系求解。【典型例题】淘气借助表格和画图的方法探究当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积和梯形的高之间的关系。梯形的上底和下底长度不变，也就是上底、下底长度的和不变，那么梯形的面积和梯形的高之间的关系如下表。梯形的面积/平方米0246810…梯形的高/米012345…（1）在图中描出梯形的面积与对应高的点，并连线。（2）当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积与梯形的高成()比例，理由是()。（3）根据表格呈现的数据，这个梯形的上底与下底的和是()米。（4）当梯形的高是7米时，对应的梯形的面积是()平方米。解析：（1）如图：（2）当梯形的上底和下底长度不变时，梯形的面积与梯形的高成正比例关系；理由是根据梯形面积公式“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”可得：梯形面积÷高＝（上底＋下底）÷2，上底和下底长度不变时，（上底＋下底）÷2的值不变，所以梯形面积和高成正比例关系。（3）10×2÷5＝4（米）即这个梯形的上底与下底的和是4米。（4）7×4÷2＝14（平方米）即对应的梯形的面积是14平方米。【对应练习1】把相同体积的水倒入底面积不同的杯子中，杯子的底面积和杯子中水面高度的关系如下表所示。底面积/cm2510203060水面高度/cm603015105（1）把表中杯子的底面积和杯子中水面的高度所对应的点描在下面的方格中，再顺次连接。（2）判断杯子的底面积和杯子中水面的高度成()比例关系。（3）照这样计算，底面积是50平方厘米的杯子中，水面的高度是()厘米。解析：（1）如图：（2）5×60＝10×30＝20×15＝30×10＝60×5＝300乘积相等，所以杯子的底面积和杯子中水面的高度成反比例关系。（3）5×60÷50＝300÷50＝6（厘米）底面积是50平方厘米的杯子中，水面的高度是6厘米。【对应练习2】一个工程队每天铺设管道30米，照这样的效率，2天、3……能铺设管道多少米？（1）把下表填写完整。时间/天123456管道长/米3060(