核心考点06复数（原卷版）

核心考点06复数考点精讲目录一．虚数单位i、复数（共7小题）二．复数的代数表示法及其几何意义（共9小题）三．纯虚数（共7小题）四．复数的运算（共10小题）五．复数的模（共8小题）六．复数的三角表示（共3小题）七．实系数多项式虚根成对定理（共3小题）考点考向考点考向一．虚数单位i、复数【虚数单位i的概念】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．【复数的运算】①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．【例题解析】例：定义运算，则符合条件的复数z为．解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z＝＝＝3﹣i．这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．二．复数的代数表示法及其几何意义1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．三．复数的运算复数的加、减、乘、除运算法则四．复数的模1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．五．实系数多项式虚根成对定理实系数多项式虚根成对定理：n次多项式f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的系数都为实数，如果方程：f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0＝0有一根x0＝a0+b0i∈C（复数集），其中a0，b0∈R，则＝a0﹣b0i也是方程的根．考点精讲考点精讲一．虚数单位i、复数（共7小题）1．（2022春•虹口区校级期末）已知复数z，则“z+＝0”是“z为纯虚数”的（）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要2．（2022春•浦东新区校级期末）3+4i的虚部是．3．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数z＝10+17i，则Rez＝．4．（2022春•浦东新区校级期末）若i是虚数单位，当n∈N时，的所有可能的取值组成的集合为．5．（2022春•杨浦区校级期中）已知i为虚数单位，则复数2+i的虚部是．6．（2022春•松江区校级期末）设z、z1、z2∈C，则下列命题中的真命题为（）A．若z1＞z2，则z1+z＞z2+z B．若z+＝0，则z为纯虚数 C．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0 D．若z＝z1z2，则argz＝argz1+argz27．（2022春•金山区校级期末）已知复数z1＝2+mi，z2＝tanθ+icos2θ（θ为实数），并且z1＝z2，则实数m＝．二．复数的代数表示法及其几何意义（共9小题）8．（2022春•闵行区校级期末）如果复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2，那么|z﹣1﹣i|的最大值是．9．（2022春•嘉定区校级期末）已知复数z1＝5﹣2022i，z2＝2017+2ai（a∈R），若z1+z2所对应的点在实轴上，则a＝．10．（2022春•虹口区校级期末）已知复平面上有点A和点B，向量与向量所对应的复数分别为﹣1﹣2i与4﹣i，则点B的坐标为．11．（2022春•浦东新区校级期末）求实数m的值或取值范围，使得复数z＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m﹣14）i在复平面上所对应的点Z分别位于：（1）虚轴上；（2）第四象限．12．（2022春•宝山区校级期末）复数3﹣4i和1+i在复平面上所对应的两个向量的夹角的大小为（结果用反三角函数表示）．13．（2022春•徐汇区期末）如图，在复平面上给定平行四边形OABC，其中点A与点C分别对应复数zA＝﹣1+i与zC＝3+2i，则点B所对应的复数为．14．（2022春•宝山区校级月考）复数z＝（a2﹣2a+3）﹣（a2﹣a+）i（a∈R）在复平面内对应点位于第象限．15．（2022春•浦东新区校级月考）设a是实数，关于z的方程（z2﹣2z+5）（z2+2az+1）＝0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a的取值范围是．16．（2022春•闵行区校级期末）在复平面内，设点A、P所对应的复数分别为πi、cos（2t﹣）+isin（2t﹣）（i为虚数单位），则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是．三．纯虚数（共7小题）17．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a＝（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．﹣218．（2022春•宝山区校级期中）已知复数z＝（a2﹣3a+2）+（a2﹣a﹣2）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a＝．19．（2022春•黄浦区校级期末）已知纯虚数z＝（1+i）m2﹣（4+i）m+3，其中i为虚数单位，则实数m的值为（）A．1 B．3 C．1或3 D．020．（2022春•宝山区校级月考）若关于x的方程x2+（t2﹣2t+2tx）i＝0（t∈R）有纯虚数根，则实数t的值为．21．（2022春•闵行区校级期末）已知θ为实数，若复数是纯虚数，则z的虚部为．22．（2022春•闵行区校级月考）（1）当m为何值时，复数是：①实数；②纯虚数；（2）已知z，ω为复数，（1+3i）•z为纯虚数，，且，求复数ω．23．（2022春•浦东新区校级期末）设z为复数．（1）若，求|z|的值；（2）已知关于x的实系数一元二次方程x2+px+q＝0（p、q∈R）的一个复数根为z，若z为纯虚数，求p+q的取值范围．四．复数的运算（共10小题）24．（2022春•浦东新区校级期末）i2022+i2021+…+i+1＝（）A．1 B．i+1 C．i D．025．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数z满足（1+2i）z﹣1﹣i＝0，则z的虚部为（）A． B． C． D．26．（2022春•奉贤区校级期末）关于z的实系数一元二次方程z2+bz+c＝0的一根为，则c＝．27．（2022春•奉贤区校级期末）已知z是虚数，是实数，是虚数z的共轭复数，则的最小值是．28．（2022春•浦东新区校级月考）已知虚数z满足z3+1＝0．则＝．29．（2022春•浦东新区校级期末）设关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的两个虚数根分别为x1、x2，若|x1﹣x2|＝|x1+x2|，则＝．30．（2022春•徐汇区校级期末）已知z为虚数，且z1＝是实数，z2＝也是实数，则z3的值为．31．（2022春•长宁区校级期末）关于x的方程x2+mx+13＝0（m∈R）的两个根为x1，x2．（1）若x1＝﹣3+2i，求实数m的值；（3）若|x1﹣x2|＝3，求实数m的值．32．（2022春•闵行区校级期末）已知z为虚数，若，且﹣1＜ω＜2．（1）求z的实部的取值范围；（2）设，求ω﹣μ2的最小值．33．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数为虚数单位．（1）若，且z1⋅z2为实数，求θ的值；（2）若，复数z1z2对应的向量分别是、，存在θ使等式成立，求实数λ的取值范围．五．复数的模（共8小题）34．（2022春•长宁区校级期末）下列命题中，真命题的个数是（）（1）若复数z1、z2，且z1•z2＝0，则z1＝0或z2＝0．（2）若复数z1、z2，且|z1|＝|z2|，则z1＝±z2．（3）若复数z，则|z|2＝z2．A．0 B．1 C．2 D．335．（2022春•黄浦区校级期末）设a∈R，复数z1＝a+i，z2＝2a+2i，z3＝2a+6i，其中i是虚数单位．若|z1|，|z2|，|z3|成等比数列，则实数a的值是．36．（2022春•长宁区校级期末）若复数z1和复数z2满足|z1|＝6，|z2|＝4，|z1+z2|＝8，则|z1﹣z2|＝．37．（2022春•黄浦区校级期末）已知复数z1＝3cosθ+isinθ，，其中i为虚数单位，θ∈R．（1）当z1、z2是实系数一元二次方程x2+mx+n＝0的两个虚根时，求实数m、n的值；（2）求的值域．38．（2022春•奉贤区校级期末）已知复数z＝a+bi（其中a、b∈R），存在实数t，使成立．（1）求值：2a+b；（2）若，求|z|的取值范围．39．（2022春•浦东新区校级期末）已知虚数z1＝4cosθ+3sinθ•i，z2＝2﹣3sinθ•i，其中i为虚数单位，θ∈R，z1、z2是实系数一元二次方程z2+mz+n＝0的两根．（1）求实数m、n的值；（2）若，求|z|的取值范围．40．（2022春•浦东新区校级月考）设复数数列{zn}满足：|z1|＝1，且对任意正整数n，均有：．若复数zi对应复平面的点为Zi，O为坐标原点．（1）求△OZ1Z2的面积；（2）求|zn+zn+1|；（3）证明：对任意正整数m，均有．41．（2022春•嘉定区校级期末）已知向量，，，在复平面坐标系中，i为虚数单位，复数对应的点为Z1．（1）求|z1|；（2）若复数z满足（为z1的共轭复数），且复数z对应的点为Z，求点Z与点Z1之间的最小距离．六．复数的三角表示（共3小题）42．（2022春•嘉定区校级期末）复数的三角形式（用辐角主值表示）为．43．（2022春•浦东新区校级月考）若复数（i为虚数单位），则argz＝．44．（2022春•浦东新区校级期末）的三角形式是（）A． B． C． D．七．实系数多项式虚根成对定理（共3小题）45．（2022春•普陀区校级期末）若3+4i是关于x的方程x2+bx+c＝0（b∈R，c∈R）的一个虚数根，则c＝．46．（2022春•浦东新区校级期末）若1+2i是实系数方程x2+ax+b＝0的一个根，则a•b＝．47．（2022春•徐汇区期末）已知关于x的实系数一元二次方程x2+kx+3＝0有两个虚根x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1﹣x2|＝2，求k的值．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2022春·上海黄浦·高一上海市向明中学校考期末）设是虚数单位，则的值为（

）A． B． C． D．02．（2022春·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考期末）方程有一个根为，求的值为（

）A．5 B．3 C．4 D．23．（2020秋·高一单元测试）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（

）A．9 B．8 C．6 D．44．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知下列命题：(1)“为实数”的充要条件是“”；(2)若，则；(3)；(4).在复数集中，上述命题正确的个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题5．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）在复平面内，复数对应点的坐标为，则___________.6．（2021春·高一课时练习）已知复平面内的向量对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则＝________．7．（2022春·上海普陀·高一校考期末）是虚数单位，若复数满足，则______．8．（2022春·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）在复数范围内分解因式________．9．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）___________.10．（2022春·上海普陀·高一校考期末）设，则_______.11．（2022春·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）设为实数，复数，（其中i为虚数单位），若为纯虚数，则的值为_______.12．（2021春·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知z是复数,均为实数（i为虚数单位）,且复数在复平面上对应的点在第一象限,则实数a的取值范围是__________．13．（2021春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）负实数在复数范围的平方根是______.14．（2021春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）方程的两个虚根为，且，则实数的值是______.15．（2022春·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期末）若复数满足（为虚数单位），则______．16．（2022春·上海宝山·高一上海市行知中学校考期末）复数和在复平面上所对应的两个向量的夹角的大小为__________（结果用反三角函数表示）.17．（2021春·高一课时练习）为求方程的虚根，可以把原方程变形为，由此可得原方程的一个虚根为______18．（2021春·高一单元测试）______.三、解答题19．（2022春·上海普陀·高一校考期末）已