第一讲 转化与化归思想在三角函数中的应用（原卷版）

转化与化归思想在三角函数中的应用转化与化归思想:就是把待解决或难解决的问题通过数学方法、数学模型、数学思维、数学运算，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解。使用化归与转化思想的原则是:化难为易、化异为同、化生为熟、化繁为简、化未知为已知。在三角函数学习中，从三角函数的概念建立、推理证明、计算化简到实际问题的解决，始终贯穿着转化与化归思想的运用。如利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用三角函数之间互余关系实现对“正余弦”进行转化，利用同角关系及“1”的妙用可以实现弦切互化。在有关三角函数的最小正周期、三角函数求值、三角函数的图象及性质、三角函数的值域、三角函数的伸缩平移变换及三角恒等变换的问题中，经常涉及到代换思想、类比思想和转化思想等来解决问题，这些均体现了转化与化归思想在三角函数中的重要性及其重要应用。在学习和使用转化与化归思想时，一定要明确转化目标，转化方向，有了转化目标和方向后，接下来的重点思想是如何向我们的目标和方向进行转化。而本文会重点就转化与化归思想在三角函数中的5类应用展开详细讲解。【应用一】转化与化归思想在三角函数求最小正周期中的应用我们在学习三角函数图象及性质及三角恒等变换时，会直接用公式求（）的周期，但有时也会遇到这样一类题，给定的函数解析式包含正弦和余弦，或为高次式，此时则无法用周期公式直接求解；需要对函数解析式进行函数名的统一或降次化简，从而转化为（）的形式，即可求解，变换过程的实质就是“化归”思想。例如下面这道例题：【例1】（四川成都·成都七中校考一模）函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．在我们熟悉的求解最小正周期的问题中，经常遇见给定的函数解析式是可以直接用周期公式求解的，而本题无法直接通过周期公式求解，那该怎么转化呢？这就需要我们利用相关公式把函数解析式化解为一个函数名，要么是正弦、要么是余弦，首先我们要把转化为，则即可计算求解【思维提升】通过本题我们不难发现，对于给定的解析式无法直接用周期公式求解时，我们都可以用转化与化归思想，对函数解析式进行化简来统一函数名，进而用周期公式求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究复杂型的三角函数周期问题【变式1.1】（全国·校联考模拟预测）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【变式1.2】（湖北武汉·校联考一模）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【变式1.3】（2021·全国·统考高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和2【应用二】转化与化归思想在三角函数给值求值及拼凑角中的应用我们在学习三角函数诱导公式及三角恒等变换时，常见的给值求值会比较好化简，常见的拼凑角可以转化成特殊角处理，但有时也会遇到这样一类题，给定的角为非特殊角，需要多次拼凑才能实现特殊转化，需结合诱导公式和恒等变换求解，这样把角通过拼凑来整体转化，其实质就是“化归”思想。例如下面这道例题：【例2】（2019·全国·高考真题）tan255°=A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+在我们求角的三角函数值时，遇到的角如为特殊角，则通过特殊角的三角函数值直接求值即可；而本题的为非特殊角，则解题的关键在于如何把非特殊角通过拼凑转化为特殊角，即可表示为，先用诱导公式进行第一步转化，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步对进行拼凑为，应用两角和的正切公式计算求解．

【思维提升】通过本题我们不难发现，对于给定非特殊角求值问题，我们都可以用转化与化归思想，对待求角进行拼凑转化，结合诱导公式及三角恒等变换公式来作为解题突破口，从而通过学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究三角函数给值求值问题。【变式2.1】（2017·江苏·高考真题）若,则.【变式2.2】（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知角，，则（

）A． B． C． D．【变式2.3】（2023·重庆巴南·统考一模）已知，则（

）A． B． C． D．【应用三】转化与化归思想在三角函数伸缩平移变换中的应用我们在学习三角函数伸缩平移变换及三角恒等变换综合时，会遇到这样一类题，为异名三角函数的伸缩平移变换。这类题型解题关键在于用诱导公式及三角恒等变换公式来统一函数名，通常用进行正弦化余弦，用进行余弦化正弦，进而求解，其实质就是“化归”思想。例如下面这道例题：【例3】（2022·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）若要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度我们在学习三角函数的伸缩平移变换中，经常遇到同名三角函数的相关变换，而本题为异名三角函数的伸缩平移变换，平移前是余弦型函数，平移后是正弦型函数，我们要做的变换首先是把异名三角函数变为同名三角函数，我们不妨把题干简化成：，我们可以对平移前进行变换，，从而转化为的变换；我们同样也对平移后进行变换，，从而转化为的变换，进而求解变换过程【思维提升】通过本题我们不难发现，对于异名三角函数的伸缩平移变换,往往可以利用诱导公式,将其转化为形如同名三角函数的形式，进而结合三角函数伸缩平移变换规则可求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究复杂型的三角函数伸缩平移变换或变换后的图象与性质等综合问题。【变式3.1】（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知曲线，则下面结论正确的是（

）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2【变式3.2】（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【变式3.3】（2022·新疆克拉玛依·统考三模）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【应用四】转化与化归思想在弦切互化中的应用我们在学习同角三角函数基本关系及三角恒等变换时，会遇到这样一类题，已知正切求关于正弦或余弦代数式的值，会有如下几类情况，已知的代数式是一次分式齐次式、次分式齐次式或次整式齐次式，代数形式为：、或，而此时能否做到统一三角函数名，把待求的正弦或余弦，用已知的正切来表示就显得至关重要，这也是解题的核心思想，而在统一函数名用正切来表示的方法就是弦切互化。“弦切互化”的应用中，通常指的是把三角函数中的弦化成切，有时结合具体试题也可以把切化成弦，从而来统一函数名求解。对于中，分子分母同时除以，可得，即可求解，对于中，分子分母同时除以，可得，即可求解，对于中，即，我们需要巧妙使用平方关系“”来等价替换，若，则，即可求解若则需进行齐次转化，像这样把函数名称化为统一，有利于解题的过程，其实质就是“转化与化归”思想。例如下面这道例题：

【例4】（2021·全国·统考高考真题）若，则（

）A． B． C． D．在我们熟悉的弦化切过程中，我们通常看到的分式上下次数是一致的，这时候只需要在分母上下同时除以的若干次方即可，而在本题中，很显然分式上下的次数不一致，那么我们该如何将它转化为一致呢？这就需要我们借助来调节式子的次数，把1换成，其实相当于把一个“零次式”转化为了一个“二次式”，从而起到了调节次数的作用本题中，我们把分子中的换为，结合，分子将变成一个三次式，而分母还是一个一次式，这时候我们需要对分母进行齐次构造，可以借助分母乘以结果不变，把分母调整成三次式，整个式子变为就将我们的题目转化为了一道我们熟悉的题目，从而使用我们的弦化切方法进行求解【思维提升】通过本题我们不难发现，对于已知正切值，要求关于弦的齐次及非齐次类的化简求值类型题，我们都可以用转化与化归思想及弦切互化的方法来作为解题突破口，对于、这类齐次直接除以的化简求值，对于这类齐次式，可借助加分母来构建齐次化简求值，对于加完分母1仍然不齐次问题，可再次借助题干隐藏条件或来调节式子的次数使之齐次。在后续学习中遇到已知正切，来求上述问题时，可利用转化与化归思想来求解。【变式4.1】（2023秋·天津红桥·高一天津市瑞景中学校考期末）已知，则（

）A．4 B． C． D．【变式4.2】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知，则.【变式4.3】（2019·江苏·高考真题）已知，则的值是.

【应用五】转化与化归思想在三角函数最值中的应用我们在学习三角函数图象与性质及三角恒等变换综合时，经常遇到具体的正弦型或余弦型函数的值域和最值问题，可结合性质直接求解，但有时也会遇到这样一类题，给出几个不同函数名的三角函数，要求给定函数的最值或值域。这类题型解题关键在于用诱导公式及三角恒等变换公式来做函数名和角度的统一，进而用三角函数的图象和性质求解，其实质就是“化归”思想。例如下面这道例题：【例5】（2019·全国·高考真题）函数的最小值为．在我们学习三角函数的图象与性质时，我们对于（）或（）的最值可以快速求解，对于（）的最值可以结合二次函数换元求解。而本题函数名包含正弦和余弦，且角度为倍角关系，直接用性质无法求解，需要对利用诱导公式及三角恒等变换公式对原函数进行变形转化为相的同三角函数名和相同的角。首先把转化成，则，第一步转化为了相同的三角函数名；其次把转化成，则，第二步转化为了相同的角，进而换元，结合二次函数的图象与性质即可求解最值。【思维提升】通过本题我们不难发现，对于三角函数的最值问题,往往可以利用诱导公式及三角恒等变换公式,将其进行同三角函数名和同角变形，转化为形如（）或（）等形式，进而结合三角函数图象与性质可求解最值，可通过学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究三角函数的最值或值域等综合问题。【变式5.1】（2016·全国·高考真题）函数的最大值为A．4 B．5 C．6 D．7【变式5.2】（2017·全国·高考真题）函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为A． B．1 C． D．【变式5.3】（2017·全国·高考真题）函数（）的最大值是．巩固练习1．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知，则=（

）A．-7 B． C． D．52．（2023秋·高一单元测试）已知，则等于（

）A．4 B．6 C．2 D．3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．5．（全国·高考真题）为得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位6．（2023·吉林通化·梅河口市第五