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第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.4二面角课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知二面角αlβ的两个半平面α与β的法向量分别为a,b,且<a,b>=π6,则二面角αlβ的大小为(A.π6 B.C.π6或5答案C2.如图,设AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若△PAB是边长为2的正三角形,且CO⊥AB,则二面角PACB的正弦值是()A.6 B.427 C.77 D答案B解析如图,取AC的中点D,连接OD,PD,∵PO⊥底面,∴PO⊥AC,∵OA=OC,D为AC的中点,∴OD⊥AC,又PO∩OD=O,∴AC⊥平面POD,则AC⊥PD,∴∠PDO为二面角PACB的平面角.∵△PAB是边长为2的正三角形,∴PO=3,OA=OC=1,OD=22则PD=(3∴sin∠PDO=POPD=3143.正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的角为()A.30° B.45° C.60° D.90°答案B解析如图所示,建立空间直角坐标系,设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).于是AD=(0,1,0),取PD的中点E,则E0,12,1∴AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的法向量,AE是平面PCD∴cos<AD,AE>=∴平面PAB与平面PCD所成的角为45°.4.请根据所给的图形,把空白之处填写完整.(1)直线与平面平行的性质定理(请用符号语言作答).如图①,已知:a∥α,,
求证:.
(2)平面与平面垂直的性质定理的证明.如图②,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD,,,
求证:AB⊥β.证明:在β内引直线,垂足为B,则是二面角的平面角,由α⊥β,知,又AB⊥CD,BE和CD是β内的两条直线,所以AB⊥β.
解(1)已知:a∥α,a⊂β,α∩β=b,求证:a∥b.故答案为a⊂β,α∩β=b;a∥b.(2)如图②,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD,求证:AB⊥β.证明:在β内引直线BE⊥CD,垂足为B,则∠ABE是二面角αCDβ的平面角,由α⊥β,知AB⊥BE,又AB⊥CD,BE和CD是β内的两条相交直线,所以AB⊥β.故答案为AB⊂α,AB⊥CD,BE⊥CD,∠ABE,αCDβ,AB⊥BE,相交.5.已知点O在二面角αABβ的棱上,点P在平面α内,且∠POB=60°.若直线PO与平面β所成的角为45°,则二面角αABβ的正弦值为.
答案6解析如图,过点P作PE⊥β,垂足为E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接OE,PF,则∠POE为直线PO与平面β所成的角,∠PFE为二面角αABβ的平面角.设OP=2a,则在Rt△PEO中,由∠POE=45°,可得PE=a;在Rt△PFO中,由∠POF=60°,可得PF=2a·sin60°=62a;在Rt△PEF中,sin∠PFE=PEPF=a62a=6.在空间中,已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面xOy所成的角为45°,则a=.
答案12解析平面xOy的法向量n=(0,0,1),设平面α的法向量为u=(x,y,z),则-即3x=4y=az,取z=1,则u=a3,a4而cos<n,u>=1a又∵a>0,∴a=1257.如图所示,已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,求二面角CBFD的正切值.解如图所示,设AC与BD交于O,连接OF,以O为坐标原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA=AD=AC=1,则BD=3,所以O(0,0,0),B32,0,0,F0,0,12,C0,12,0,OC=0,12,0,易知OC为平面BDF的一个法向量.由BC=32,12,0,FB=32,0,12,可得平面BCF的一个法向量为n=(1,3,3),所以cos<n,OC>=217,sin<n,OC>=277,所以tan8.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD;(2)设PD=AD,求二面角APBC的余弦值.(1)证明因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=3AD.从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)解如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0),B(0,3,0),C(1,3,0),P(0,0,1).AB=(1,3,0),PB=(0,3,1),BC=(1,0,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=0,n·PB=0,设平面PBC的法向量为m=(a,b,c),则m·PB=0,m·BC=0,即3b-c=0,由图形知二面角APBC大小为钝角,故二面角APBC的余弦值为279.正方体ABCDA'B'C'D'的棱长等于2,E,F分别是B'D',AC的中点.求:(1)直线AB'和平面ACD'所成角的正弦值;(2)二面角B'CD'A的余弦值.解如图建立空间直角坐标系Dxyz,∵正方体的棱长等于2,E,F分别是B'D',AC的中点,∴A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D'(0,0,2),B'(2,2,2),E(1,1,2),F(1,1,0).(1)AD'=(2,0,2),AC=(2,2,0),AB'=(0,2,2),设n=(x',y',z')是平面ACD'则由nz取x'=1,得平面ACD'的一个法向量n=(1,1,1),设直线AB'和平面ACD'所成角的大小为θ,则sinθ=|n∴直线AB'和平面ACD'所成角的正弦值是63(2)D'B'=(2,2,0),D设m=(x0,y0,z0)是平面B'CD'的一个法向量,则由m·D'B'=0,m·D'C由cosθ=n·由图形知二面角B'CD'A的大小为锐角.故二面角B'CD'A的余弦值是13关键能力提升练10.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为()A.150° B.45° C.60° D.120°答案C解析由条件知,CA·AB=0,ABCD=∴|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2AB·=62+42+82+2×6×8cos<CA,BD>=(217)∴cos<CA,BD>=12,即<CA,∴二面角的大小为60°,故选C.11.设三棱锥VABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角PACB的平面角为γ,则()A.β<γ,α<γ B.β<α,β<γC.β<α,γ<α D.α<β,γ<β答案B解析如图G为AC中点,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的投影点D在线段AO上,过点D作DE垂直AE,易得PE∥VG,过点P作PF∥AC交VG于点F,过点D作DH∥AC,交BG于点H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,所以cosα=PFPB=EGPB所以α>β,因为tanγ=PDED>PDBD所以γ>β.故选B.12.如图,将菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C',E点在线段AC'上,若二面角ABDE与二面角EBDC'的大小分别为30°和45°,则AEEC'=(A.12 B.66 C.22答案C解析取BD的中点O,连接AO,EO,C'O,∵菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C',E点在线段AC'上,∴C'O⊥BD,AO⊥BD,OC'=OA,∴BD⊥平面AOC',∴EO⊥BD.∵二面角ABDE与二面角EBDC'的大小分别为30°和45°,∴∠AOE=30°,∠EOC'=45°,∵OC'=OA,∴∠OC'E=∠OAE,由正弦定理得OEsinOEsin∴EC'∴AEEC'=sin3013.如图所示,将边长为a的正三角形ABC,沿BC边上的高线AD将△ABC折起.若折起后B,C'间距离为a2,则二面角BADC'的大小为.答案60°14.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,E为线段BC上一动点,现将△ABE沿AE折起得到△AB'E,当二面角B'AED的平面角为120°,点B'在平面ABC上的投影为K,当E从B运动到C,则点K所形成轨迹是.
答案一段圆弧解析过K作KO⊥AE,连接OB',∵二面角B'AED的平面角为120°,∴∠B'OK=60°,∴KO=12B'O从而原问题就转化为B'O⊥AE,K为B'O中点,求K的轨迹长度,如右图,∵B'O⊥AE,∴O在以AB'为直径的圆上,取AB'中点J,则JK⊥B'K,所以K点的轨迹是以B'J为直径的圆上的一段弧.15.如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.若二面角PACE的余弦值为33,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值解如图,作CF∥DA,交AB于点F,以C为原点,CF,CD,CP分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,1,0).设P(0,0,a)(a>0),则E12CA=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE=12,12,取m=(1,1,0),则m·CA=m·CP=0,所以m为平面PAC的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面EAC的一个法向量,则n·CA=0可得n=(a,a,2),依题意,|cos<m,n>|=|m·n||m||于是n=(1,1,2),PA=(1,1,1).设直线PA与平面EAC所成的角为θ,则sinθ=|cos<PA,n>|=23,即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为216.如图1,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2AD=4,P为AB的中点,对角线AC平分∠DAB,将△ACD沿AC折起到如图2中△ACD'的位置.(1)求证:PD'⊥AC.(2)若二面角BACD'为直二面角,M为线段AB上的点,且二面角AD'CM与二面角MD'CB大小相等,求出AMAB的值(1)证明连接DP,CP,设DP与AC交于点O,如图3所示.∵四边形ABCD是等腰梯形,AB∥DC,∴AD=BC,∠DCA=∠CAB.又AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB=∠DCA,∴CD=AD,结合P为AB的中点,AB=2AD,易证得四边形APCD为菱形,∴AC⊥DP.图3图4如图4,∵AC⊥OP,AC⊥OD',且OP∩OD'=O,∴AC⊥平面D'PO,又PD'⊂平面D'PO,∴PD'⊥AC.(2)解∵二面角BACD'为直二面角,AC⊥OP,∴OP⊥平面ACD',易知OP∥BC,∴BC⊥平面ACD',∴二面角AD'CB为直二面角.又∵二面角AD'CM与二面角MD'CB大小相等,∴二面角AD'CM的平面角为45°,图5以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OP所在直线为y轴,OD'所在直线为z轴,建立如图5所示的空间直角坐标系Oxyz.如图3,在菱形APCD中,易知∠PAD=π3,∴OD=OP=1,OA=OC=3∴A(3,0,0),B(3,2,0),C(3,0,0),D'(0,0,1),CD'=(3,0,1),AB=(23设AM=λAB(0≤λ≤1),∴M(323λ,2λ,0),∴CM=(23(1λ),2λ,0),易知平面ACD'的一个法向量为m=(0,1,0),设n=(x,y,z)为平面MCD'的法向量,则n取x=1,则z=3,y=3(1-λ)λ,得n=1,3(1-λ)λ,3,解得λ=233,满足题意,故AMAB=23317.如图,在四棱锥EABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BE=BC,AE⊥BE,M为CE上一点,且BM⊥面ACE.(1)求证:AE⊥BC;(2)若点N为线段AB的中点,求证:MN∥面ADE;(3)若BE=4,CE=42,且二面角ABCE的大小为45°,求三棱锥CABE的体积.(1)证明∵BM⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,∴BM⊥AE.∵AE⊥BE,BM∩BE=B,∴AE⊥平面BCE.∵BC⊂平面BCE,∴AE⊥BC.(2)证明取DE中点P,连接PM,AP,∵BC=BE,BM⊥AE,∴M为CE的中点,∴MP∥12DC∥AN,且MP=AN∴APMN为平行四边形,∴MN∥AP.∵MN⊄平面ADE,AP⊂平面ADE,∴MN∥平面ADE.(3)解由BE=BC=4,CE=42,得BC⊥BE.∵BC⊥AE,AE∩BE=E,∴BC⊥平面ABE.∴∠ABE为二面角ABCE的平面角.∴∠ABE=45°.∴AE=BE=4.∴三棱锥CABE的体积13×12×42×18.(2021全国乙,理18)如图,四棱锥PABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.(1)求BC;(2)求二面角APMB的正弦值.解(1)连接BD.∵PD⊥底面ABCD,AM⊂底面ABCD,∴PD⊥AM.∵PB⊥AM,PB∩PD=P,∴AM⊥平面PBD,∴AM⊥BD,∴∠ADB+∠DAM=90°.又∠DAM+∠MAB=90°,∴∠ADB=∠MAB,∴Rt△DAB∽Rt△ABM,∴ADAB∴12BC2=1,∴BC=2(2)如图,以D为原点,DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得A(2,0,0),B(2,1,0),M22,1,0,P(0,0,1),AP=(2,0,1),AM=-22设平面AMP的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则m令x1=2,则y1=1,z1=2,可得m=(2,1,2).设平面BMP的一个法向量为n=(x2,y2,z2),同理可得n=(0,1,1).则cos<m,n>=m·n|m||n|=37×2=319.如图,在长方体ABCDA1B1C1D中,已知上下两底面为正方形,且边长均为1,侧棱AA1=2,E为BC中点,F为CD中点,G为BB1上一个动点.(1)确定G点的位置,使得D1E⊥平面AFG;(2)当D1E⊥平面AFG时,求二面角GAFE的平面角的余弦值.解(1)如图,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2).因为E为BC中点,F为CD中点,所以E12,1,0,F0,12,0.由题意得D1E⊥AF,D1E⊥AG,设G(1,1,t).又D1E=12,1,2,AF=1,12,0,AG=(0,1,t).因为D1E⊥平面AFG,则D得12t=0,t=12∴BG=12,即G为BB1的四等分点(2)由题意知,平面AFE的一个法向量为m=(0,0,1),设平面AFG的法向量n=(x,y,z).则AF·n=0,AG·n=0,得-x+12y=0,y由图形知二面角GAFE的大小为锐角.∴二面角GAFE的平面角的余弦值为421学科素养拔高练20.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC⊥平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点.(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明;(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足DQ=12CP,记直线PQ与平面ABC所成的角为θ,异面直线PQ与EF所成的角为α,二面角ElC的大小为β,求证:sinθ=sin(1)解直线l∥平面PAC,证明如下:连接EF,因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC,且AC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.因为l⊄平面PAC,EF⊂平面PAC,所以直线l∥平面PAC.(2)证明如图,由DQ=12CP,作DQ∥CP,且连接PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交线l即为直线BD.以点C为原点,向量CA,CB,CP所在直线分别为x、y、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设CA=a,CB=b,CP
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