人教A版高中数学必修2学案3-1-1倾斜角与斜率

3.1直线的倾斜角与斜率倾斜角与斜率学习目标核心素养1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．1.通过倾斜角概念的学习，提升数学建模和直观想象的数学核心素养．2.通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学核心素养．1．倾斜角的相关概念(1)两个前提：①直线l与x轴相交；②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角；③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．思考：下图中标的倾斜角α对不对？[提示]都不对．2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k＝tanα．(3)斜率与倾斜角的对应关系．图示倾斜角(范围)α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°斜率(范围)0(0，＋∞)不存在(－∞，0)(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？[提示]不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为()A．45°B．135°C．0°D．无法计算B[根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.]2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是()A.0°B．45°C．60°D．90°A[∵k＝eq\f(0,4)＝0，∴θ＝0°.]3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是()A.5B．8C．eq\f(13,2)D．7C[由斜率公式可得eq\f(8－m,m－5)＝1，解之得m＝eq\f(13,2).]4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A.eq\f(\r(3),3) B．eq\r(3)C.1 D．eq\f(\r(2),2)A[由题意可知，k＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).]直线的倾斜角【例1】设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A.α＋45°B.α－135°C.135°－αD.当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.eq\a\vs4\al([跟进训练])1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为()A.α B．180°－αC.180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－αD[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]直线的斜率【例2】(1)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为()A.(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8)C.(2，0) D．(0，－8)(2)已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是()A.(－1，0] B．[0，1]C.[1，2] D．[0，2](1)B(2)D[(1)设B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝eq\f(4,3－x)或kAB＝eq\f(4－y,3)，∴eq\f(4,3－x)＝4或eq\f(4－y,3)＝4，∴x＝2，y＝－8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8).(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.]解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决．(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．(2)过原点且斜率为eq\f(\r(3),3)的直线l绕原点逆时针方向旋转30°到达l′位置，则直线l′的斜率为________．(1)－5(2)eq\r(3)[(1)直线AB的斜率k＝tan135°＝－1，又k＝eq\f(－3－y,2－4)，由eq\f(－3－y,2－4)＝－1，得y＝－5.(2)k＝eq\f(\r(3),3)时，即tanα＝eq\f(\r(3),3)，α＝30°，绕原点按逆时针旋转30°到eq\a\vs4\al(l′位置时，xl′＝60°.)这时kl′＝tan60°＝eq\r(3).]直线倾斜角与斜率的综合[探究问题]1．斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？[提示]斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝eq\f(y1－y2,x1－x2).2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？[提示]当k＝tanα＜0时，倾斜角α是钝角；当k＝tanα＞0时，倾斜角α是锐角；当k＝tanα＝0时，倾斜角α是0°.【例3】已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．思路探究：eq\x(作图)eq\o(→,\s\up9(直线与线段有公共点))eq\x(倾斜角介于直线PB)eq\x(与PA的倾斜角之间)eq\o(→,\s\up9(求斜率))eq\x(求斜率范围及倾斜角范围)[解]如图所示，由题意可知kPA＝eq\f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq\f(2－0,3－1)＝1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.将本例变为：已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．[解]如图所示．当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，又kAB＝eq\f(3－2,3－（－4）)＝eq\f(1,7)，kAC＝eq\f(3－（－2）,3－0)＝eq\f(5,3)，所以直线AD的斜率的变化范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3))).1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在．3.eq\f(y2－y1,x2－x1)的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况平行于x轴垂直于x轴α的大小0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k的范围0k＞0不存在k＜0k的增减情况k随α的增大而增大k随α的增大而增大1．对于下列命题：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4C[由倾斜角和斜率概念可知①②③正确．]2．若经过A(2，1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)A[由题意知kAB＞0，即eq\f(m－1,1－2)＞0，解得m＜1，故应选A.]3．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________．eq\f(1±\r(5),2)[依题意：kAB＝kAC，即