河北省石家庄正中实验中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学试题

河北正中实验中学高二第二次月考数学（考试时间：120分钟分值：150分）注意事项：1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位置上。答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带。4.考试结束后，只将答题卡交回。一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合，集合，则A． B． C． D．2．直线x+（1+m）y=2m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为A．1 B． C．1或 D．3．一次选拔运动员，测得7名选手身高（单位：）的茎叶图如图，已知7人的平均身高为，有一名选手的身高记录不清楚，其末位数记为，则的值是A．8 B．7 C．6 D．54．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则等于A． B． C． D．5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A．， B．， C．， D．，6．年月日，某地援鄂医护人员，，，，，共人（其中是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回家乡，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻，而不相邻的排法种数为A．种 B．种 C．种 D．种7．两圆和恰有三条公切线，若且，则的最小值为A．1 B．3 C． D．8．图中长方形的总个数中，含阴影部分的长方形个数的概率为A．B．C．D．二、多项选择题（每小题5分，共20分）9．一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥，取中点与中点，则下列判断中正确的是A．直线面B．与面所成的角为定值C．若面面，则有∥D．三棱锥体积为定值.10．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例数据信息如下：A地：中位数为2，极差为5；B地：总体平均数为2，众数为2；C地：总体平均数为1，总体方差大于0；D地：总体平均数为2，总体方差为3.则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是_______(填A、B、C、D)11．设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是A．数列为等比数列B．数列的通项公式为C．数列为等比数列D．数列的前项和为12．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是A． B．是钝角三角形C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆半径为三、填空题（每小题5分，共20分）13．圆心在轴上，且与直线和都相切的圆的方程为______.14．在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）15．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为__________.16．在三棱锥中，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为_________．四、解答题（17题10分，1822题每题12分，共70分）17．（10分）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足．（1）求角A的大小；（2）若a=3，，求的面积．18．（12分）随着互联网金融的发展，很多平台都推出了自己的虚拟信用支付，比较常用的有蚂蚁花呗、京东白条等．花呗与信用卡有一个共同点就是可以透支消费，对于很多90后来说，他们更习惯提前消费．某研究机构随机抽取了1000名90后，对他们的信用支付方式进行了调查，得到如下统计表：信用支付方式银行信用卡蚂蚁花呗京东白条其他人数300a15050每个人都仅使用一种信用支付方式，各人支付方式相互独立，以频率估计概率.（1）估计90后使用蚂蚁花呗的概率；（2）在所抽取的1000人中用分层抽样的方法在使用银行信用卡和蚂蚁花呗的人中随机抽取8人，再在这8人中随机抽取4人，记X为这4人中使用蚂蚁花呗的人数，求X的分布列及数学期望和方差.19．（12分）已知为等差数列，其前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和.20．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费（万元）和年销售量（单位：）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.（万元）24536（单位：）2.544.536（1）根据表中数据建立年销售量关于年宣传费的回归方程；（2）已知这种产品的年利润与，的关系为，根据（1）中的结果回答下列问题：①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.参考数据：，.21．（12分）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，.（1）求证：平面；（2）为线段上的点，当时，求二面角的余弦值.22．（12分）棋盘上标有第、、、、站，棋子开始位于第站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第站或第站时，游戏结束.设棋子位于第站的概率为.（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋手所走步数之和的分布列与数学期望；（2）证明：；（3）求、的值.高二第二次月考数学答案答案：DAADBDBC9.ABC10.AD11.AD12.ACD14.5715.16.16.【解析】，，故底面三角形外接圆半径为，，，当时等号成立，由，，，当离平面最远时，外接球表面积最小，此时，在平面的投影为中点，设球心为，则在上，故，化简得到，注意到函数在上单调递增，故，所以．17.【解析】（1）∵，可得：，∴由余弦定理可得：，又∵，∴.........5分（2）由及正弦定理可得：，∵，，∴由余弦定理可得：，∴解得：，，∴.........10分18.【解析】（1），所以使用蚂蚁花呗的概率为（2）这8人中使用信用卡的人数为人，使用蚂蚁花呗的人数为5人，则随机变量的取值为1，2，3，4.所以，，，.所以随机变量X分布列为X1234P故，19.【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以.由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.（Ⅱ）由，有，，上述两式相减，得.所以.20.【解析】（1）由题意，，，，.（2）①由（1）得，当时，，.即当年宣传费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25.②令年利润与年宣传费的比值为，则，.当且仅当即时取最大值.故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.21.【解析】（1）证明：因为四边形是矩形，所以，又因为平面，所以平面，因为，平面，所以平面，又因为，所以平面平面，而平面，所以平面.（2）解：因为，，所以，因为平面，故平面平面，作于点，则平面，以为原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由，，，得，，则，，，，所以，由已知，所以，，设平面的一个法向量为，则，取，，，得，又平面的一个法向量为，所以，即二面角的余弦值为.22.【解析】（1）由