函数的单调性与最值-2021年高考数学（理）一轮复习

数的单调性与最值

基础知识要夯实

1.函数的单调性

（1）单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数/（X）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两

个自变量的值处，X2

当时，都有

定义X1<X2

当X1<X2时，都有八XI）勺（X2）,那么就说函数式X）在区间。八处）次X2）,那么就

上是增函数说函数八X）在区间

。上是减函数

图象描述

自左向右看图象

自左向右看图象是上升的

是下降的

⑵单调区间的定义

如果函数y=/（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=/G）在这一区间上具有（严格的）

单调性，区间D叫做y=/U）的单调区间.

2.函数的最值

前

设函数/（*）的定义域为1,如果存在实数M满足

提

条对于任意xG/,都有人x）WM；对于任意xd/,都有人x）》M；

件

存在xoG/,使得式xo）=M存在xoG/,使得1/Uo）=M

结

M为最大值拉为最小值

论

基本技能要落实

一、判断题（对的打“J”，错的打“X”）

⑴函数yM"1■的单调递减区间是（一8,0）U（0,+8）.（）

x

⑵函数y=/（x）在口，+8）上是增函数，则函数的单调递增区间是口，+8）.（）

⑶如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.（）

（4）所有的单调函数都有最值.（）

【答案】⑴X⑵X（3）义（4）X

二'选填题

1.下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（）

A.j=|x|B.y=3~x

C.y=-D.y=—x2+4

x

【答案】A

【解析】y=3—x在R上递减，y=’在（0,+8）上递减，）=一炉+4在（0,+8）上递减，故选

X

A.

2.若函数火幻=工2—2机x+1在［2,+8）上是增函数，则实数机的取值范围是.

【答案】（-8,2］

【解析】由题意知，［2,+8）,.••根W2.

3.函数一在［2,3］上的最小值为.

x-1

【答案】:

1在［2,3］上单调递减，所以ymin=」一二!

【解析】因为y=

x—13-12

1.设定义在上的函数y=/(x)的图象如图所示，则函数y=/(x)的增区间为

【答案】［—1,1］和［5,7］

【解析】由图象可知函数的增区间为［—1,1］和［5,7］.

核心素养要做实

考点一确定函数的单调性或单调区间

1.(2019•石家庄一模)函数加:)=|X2—3X+2］的单调递增区间是()

33

一,+8B.1,-和［2,4-oo)

22

3D.一二

C.，1］和―，2和［2,+°0)

2I2

【答案】B

x2-3%+2,x<1或%>2,

【解析】j=|x2—3x+2|=<

——3x+2),1<x<2

作出函数图象如图所示，由图可知，B项正确.

2.(2019•大庆模拟)函数加:)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()

A.(—8,—2)B.(-00,1)

C.(1,+8)D.(4,+8)

【答案】D

【解析】函数y=x2—2x—8=(x—1)2—9图象的对称轴为直线x=l,由好一2了一8>0,解得工>4或

XV—2,所以(4,+8)为函数y=%2—2x—8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知，函

数八x)=ln(x2—21-8)的单调递增区间为(4,+8).

2Y"

3.若函数7=二一与y=Iog3(x—2)在(3,+8)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是

x-2

【解析】由于y=log3(x-2)的定义域为Q,+8),且为增函数，故函数y=——-=-^~!----------

x-2x—2

4+々

=21---------在(3,+8)上也是增函数，则有4+«V0,得上V-4.

x-2

答案：(-8,—4)

4.判断并证明函数/(*)=依2+工(其中在［1,2］上的单调性.

X

【解析】函数人工)=依2+J_(1<战3)在［1,2］上单调递增.

X

证明如下：设1<处V"242,

9191

则f(x2)~f(xi)=ax2+——axx——

x2X］

z、1一

=(X2—Xi)Q(再+犬2)------•

再九2

由1WXIVMW2,得必一1：1>0,2<工1+工2<4,

11

1<X1X2<4,-1<-------<——・

x{x24

又因为l<a<3,所以2<〃(修+M)<12,

1

得a(xi+x2)>0

从而八X2）-«Xl）>0,即

故当aG（l,3）时，/>）在［1,2］上单调递增.

【思维升华】判断函数的单调性和求单调区间的方法

定义法一般步骤为设元一作差一变形一判断符号一得出结论

若/（X）是以图象形式给出的，或者/（X）的图象易作出，则可由图象的上升或下降

图象法

确定单调性

导数法先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间

对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增

性质法

+增=增，增一减=增，减+减=减，减一增=减”进行判断

对于复合函数，先将函数/Ig（x）］分解成八。和f=g（x）,然后讨论（判断）这两个函数

复合法

的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断

［提醒I求函数的单调区间时，应先求定义域，在定义域内求解.

考点二求函数的最值

N利用性质求最值kr---

求函数

.的最值,

-（利用换元法求最值J

考法（一）利用性质求最值

［例1］⑴函数_/U）=］g］Tog2（x+2）在区间［-1,1］上的最大值为

x2,x<l,

⑵已知函数yu）=\6则/（幻的最小值是________

xH------6,%>1

【答案】(1)3(2)276-6

【解析】⑴由于在R上单调递减,

y=log2(x+2)在［-1,1］上单调递增，

所以人x)在［-1,1］上单调递减，

故人x)在［—1,1］上的最大值为直-1)=3.

(2)因为)=/在(-8,0)上单调递减，在［0,+8)上单调递增，所以当xWl时，/>)min=_A0)=0.

当X>1时，J=x+—^2A/6,当且仅当》=布时，等号成立，此时Ax)min=2，^—6.

X

X2A/6—6<0,所以/(x)min=2#—6.

【思维升华】函数最值和单调性的关系

⑴若函数在闭区间［。，句上是减函数，则｛x)在［a,句上的最大值是/(a),最小值是八方).

⑵若函数在闭区间［a,句上是增函数，则犬x)在［a,切上的最大值是/(田，最小值是八a).

(3)求函数最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间则不一定有最大(小)值.

考法(二)利用换元法求最值

［例2］函数/(x)=x-Jx+1的最小值为.

【答案】

4

【解析】令Jx+1=f(f20),则x=F—1,

所以y=F—f—i(f20).

又y=F—f—l(f20)的图象是对称轴为直线t=y,开口向上的抛物线的一部分,

所乐.=出-;-l=T

故函数的最小值为-2.

【思维升华】形如求y=疝互+(cx+J)(acWO)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换

元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解.

【迁移应用】

1.若函数八%)="2+〃工+力在区间［0,1］上的最大值是M,最小值是机，则M—皿)

A.与a有关,且与方有关B.与a有关,但与b无关

C.与a无关,且与方无关D.与〃无关，但与力有关

【答案】B

【解析】设xi,必分别是函数於)在［0,1］上的最小值点与最大值点，则机="+的+方，M=xi+ax2

十瓦

:.M—m=x5-x?+a(X2-xi),

显然此值与〃有关，与方无关.故选B.

2.函数y=x+，1-上的最大值为.

【答案】V2

【解析】由1一好20,可得一IWXWL

可令x=cos〃，夕£［0,九］,

则j=cos夕+sin0=A/2sin^+―,夕£［0,n］,

所以一故原函数的最大值为

a,a<b,

3.(2020•石家庄模拟)对于任意实数a,b,定义min{a,b}=<，设函数#x)=-x+3,g(x)

b,a>b.

=log2X,则函数力(x)=min伏x),g(x)}的最大值是

【答案】1

【解析】在同一坐标系中，作出函数/(x),g(x)图象，依题意,

人(“)的图象如图中实线所示.易知点A(2,l)为图象的最高点，

因此/i(x)的最大值为h(2)=l.

考点三函数单调性的应用

考法(一)比较函数值的大小

［例1］已知函数/(X)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当X2>X1>1时，［/,(X2)-/：X1)］-(X2-

处)<0恒成立，设。=/—g,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为(

)

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

【答案】D

【解析】根据已知可得函数/U)的图象关于直线x=l对称，且在(1,+8)上是减函数，因为“=/

5

=f,JL2<—<3,所以8>〃>c.

2

考法(二)解函数不等式O

［例2］已知函数Z(x)=lnx+2X,若八*2-4)<2,则实数x的取值范围是.

【答案】(一小,—2)U(2,45)

【解析】因为函数八x)=lnx+2*在定义域上单调递增，且/U)=lnl+2=2,

所以由人/一4)<2得八好一4)勺(1),

所以Ovt2—4vi,解得一百<x<—2或2<x<A/5.

考法(三)求参数范围O

(3a-l)x+4a,x<1,是定义在上的减函数，则的取值范围为

［例3］若/(x)=<Ra

-ax.x>l

【答案】

［83；

3a—1<0,

【解析】由题意知，<(3a-1)x1+4<7>-a,

a>0.

1

CL<一,

3

a2」,所以“e11

解得《一,一

883

。〉0,

【思维升华】

考法（一）是比较函数值的大小.解决此类问题时，应根据函数的性质（如对称性

等）将自变量转化到函数的同一个单调区间上，利用单调性比较大小.

考法（二）是解函数不等式.求解此类问题，主要是利用函数的单调性将7M符号

看个性脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域以及函数

奇偶性质的应用.

考法（三）是求参数范围，其方法是根据函数的单调性，构建含参数的方程（组）或

不等式（组）进行求解，或先得到图象的升降情况，再结合图象求解

对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，

其思维流程是：

找共性第一步|明确函数在定义域内的单调性

口

第二步|利用函数的单调性，结合题目条件，把要求问题转化为易处理问题

第豆步|求解转化后问题，得出结果

［提醒］讨论分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意分段点处的函数值.

【迁移应用】

1.定义在R上的偶函数人用满足1Ax）=_/U+2）,且在上单调递减，设。=人应），b=f（2）,

={3）,则a,b,c的大小关系是（）

A.b<c<aB.a<b<c

C.b<a<cD.a<c<b

【答案】c

【解析】因为偶函数/(x)满足I/U+2)=/U),

所以函数Ax)的周期为2,则—2),

6=彤)=八0),c=f(3)=j(-l).

因为一1<&一2<0,且函数/U)在［-1,0］上单调递减，

所以6<a<c.故选C.

2.定义在［-2,2］上的函数八七)满足(%1—*2)|/(*1)-/1*2)］>0，X1#X2,且八〃-a)M2a—2),则实数a

的取值范围为.

【答案】［0,1)

【解析】因为函数式X)满足(Xl-X2)lAxi)-/U2)］>0,X1#X2,所以函数在［-2,2］上单调递增，

所以一2<2a—2vz2一解得0Wa<l.

(2—u)x+1,x<1,

3.如果函数八》)=1满足对任意X1#X2,都有八“八2)>0成立，那么。的

x

a,x>\xx-x2

取值范围是.

【答案】1,21

【解析】对任意X1WX2,都有:(玉)—/(/)>0,

xx-x2

所以y=«A”)在(―8,+8)上是增函数.

2—a>0,

3

所以《a>1,解得一W〃v2.

2

(2-«)xl+l<a

故实数a的取值范围是1,2l.

达标检测要扎实

1.函数人X)中，满足“对任意后，X2e(0,+8),当X1<X2时，都有人X1)»X2)”的是()

1,

A.B./(x)=(x—I)2

x

C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+l)

【答案】A

【解析】由题意知在(o,+8)上是减函数.A中，/(x)=—满足要求；B中，y(x)=(x—1)2在

X

［0,1］上是减函数，在(1,+8)上是增函数；C中，/(*)=亡是增函数；D中，_/(x)=ln(x+l)是增函数.

2.函数/(X)=lOga(x2一曲-5)3>1)的单调递增区间是()

A.(—8,—2)B.(—8,—1)

C.(2,+°°)D.(5,+8)

【答案】D

【解析】函数_Ax)=log«(x2—4x—5)

得X2_4x_5>0,得x<—1或x>5.

令zra(x)=x2—4x—5,则m(x)=(x—2)2—9,

机(x)在［2,+8)上单调递增，

又由。>1及复合函数的单调性可知函数/>)的单调递增区间为(5,+8),故选D.

ax,x>1,

3.已知函数/>)=a是R上的增函数，则实数a的取值范围是()

(4--)%+2,%<1

I2

A.(1,+8)B.[4,8)

c.(4,8)D.(1,8)

【答案】B

【解析】由/U)在R上是增函数,

<2>1,

则有<4-->0,解得4Wa<8.

2

(4一■1)+2Va

(x-a),x<0,

4.设/(x)=11若/(0)是/(x)的最小值，则a的取值范围为()

xH---1*a,x>0,

、x

A.[-1,2]B.[-1,0]

C.[1,2]D.[0,2]

【答案】D

【解析】•.,当xWO时，f(x)=(x—a)2,_/(0)是/(x)的最小值，.当x>0时，f(x)=x+—+a^2

X

+a,

当且仅当x=l时取.要满足｛0)是/U)的最小值，

需2+a2/(0)=a2,即a2—a—2^0,解得一lWaW2.

.".a的取值范围是0WaW2.故选D.

2—x

5.函数人x)=----,xC(/n,〃］的最小值为0,则机的取值范围是()

x+1

A.(1,2)B.(-1,2)

C.[1,2)D.[-1,2)

【答案】D

2-Y3

【解析】因为八x)=---=—H-----在(-1,+8)上单调递减，且八2)=0,所以n=2,—

x+1x+1

故选D.

1.［数学抽象、逻辑推理］已知减函数式功的定义域是实数集R,m,〃都是实数.如果不等式式⑼

(一帆)一人一〃)成立,那么下列不等式成立的是()

A.机一“VOB.m-n>0

C.m+〃V0D.机+〃>0

【答案】A

【解析】设尸(x)=Ax)-/*(一幻，由于八工)是R上的减函数，・・・人一工)是R上的增函数，一人一幻是R

上的减函数，.•.粗工)是R上的减函数，，当机V〃时，有尸(/w)〉"")，即帆)一汽一机)»(")—/(一〃)

成立.因此，当大股)一/(%)»(一⑼一八一〃)成立时，不等式机一“V0—^定成立，故选A.

2.［数学抽象、逻辑推理］如果函数y=/(x)在区间/上是增函数，且函数在区间/上是减

X

函数，那么称函数y=/U)是区间/上的“缓增函数”，区间/叫做“缓增区间”.若函数/(*)=基2

3

一%+5是区间/上的“缓增函数”，则“缓增区间”/为()

A.［1,+0°)B.［0,5

C.［0,1］D.［1,73］

【答案】D

13

【解析】因为函数式%)=5*2—x+彳的对称轴为x=l,所以函数y=/(x)在区间［1,+8)上是增函

数，又当上21时，=令g(x)=gx—l+二(X'l),则g'(*)=!—；^7=

x22x2lx22x2

由g'(x)W0得即函数△。='*-1+二-在区间口，V3］上单调递减，

2x-x22x

故''缓增区间”/为［1,、6］.

6.［多选题］若函数/(x)满足条件：

①对于定义域内任意不相等的实数。，(恒有手⑺―产)=>o；

a-b

②对于定义域内任意XI,X2都有彳七三以吟3成立.

则称其为G函数.下列函数为G函数的是()

A.f(x)=3x+l

B.f(x)=—2x—l

C.f(x)=x2—2x+3

2

D.f(x)=-x+4x-3fxe(-oo,i)

【答案】AD

【解析】①对于定义域内任意不相等的实数a,b恒有＞0,则函数/U)在定义域为增

a-b

函数；②对于定义域内任意XI,也都有2F(F)；F2式成立,则函数/U)为“凸函

数”.其中A.f(x)=3x+1在R上为增函数，且个产］=,故满足条件①②；

B.f(x)=-2x~l在R上为减函数，不满足条件①；C.f(x)=x2~2x+3在(-8,1)上为减函数，在(1,

+8)为增函数，不满足条件①；D{x)=-x2+4x-3的对称轴为x=2,故函数八%)=-7+41—3

在(一8,1)上为增函数，且为“凸函数"，故满足条件①②.综上，为G函数的是A、D.

7.函数y=三3x上+1的值域为

x—2

【答案】3yGR且尸3}

3x+l,3(X-2)+7-7

【解析】尸31

x-2x—2x—2

77

因为----W0,所以3H------W3,

x—2x—2

3T+1

所以函数7=-----的值域为且?"3}.

x-2

a,a<b,

8.记min{〃，b}=<若/(x)=min{x+2,10—x}(x20),则/(x)的最大值为_________

b,a>b.

【答案】6

x+2,0<^<4,

【解析】由题意知，f(X)=\所以/(X)max=A4)=6.

10-x,x>4

3.［数学抽象、逻辑推理］函数/(x)=—L在区间［a,加上的最大值是1,最小值是《，贝!Ia+b=

x-13

【答案】6

【解析】易知大幻在［a,力］上为减函数，所以<1

户)=§,

1

0-1fa=2~

利।所以所以a+b=6.

1[b=4-

3

41一

4.［数学抽象、逻辑推理］已知函数大0=x+—,g(x)=2x+a,若-,3,三必£［2,3］使得

x1_2_

/(Xi)^g(X2),则实数Q的取值范围是.

【答案】(-8,0］

「11I""4

【解析】当—,3时，f(x)^2.X--=4,

_2JVx

当且仅当工=2时，/U)min=4,

当x£［2,3］时，g(x)为增函数，故有(工)111也=22+〃=4+〃.依题意可得/(%)1„加2双“)111加，解得。40.

9.设函数八*)=1