高考数学一轮复习强化训练题六 立体几何（含解析）

阶段复习检测（六）立体几何

[对应学生用书p311]

（时间：100分钟满分：120分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的）

1.若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是（）

A.平行B.异面

C.相交D.平行、异面或相交

D[经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况岀

现.]

2.已知直线/与平面a,/?,礦足价/=/,/“a,mua,ml.y,则下列命题一

定正确的是（）

A.a丄阻/J_mB.a丄阻777”£

C.mil阻LLmD.all館,a丄y

A[:mc.a,m±y,.'.a±y,."./ay,故A一定正确.]

3.将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表

面积为（）

A.2TTB.3TT

C.4nD.6Tl

B[由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球面积，5=nx12+lx

2

4xnx12=3n.]

4.（2019・重庆万州区月考）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商

鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若IT取3,其体积为

12.6（立方寸），则图中的*为（）

侧视图

A.1.2B.1.6

C.1.8D.2.4

B[由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成.由题意得（5.4-A）X3X1

+正向2*=12.6,解得x-1.6.]

5.（2019•河北承德月考）已知a,房两个不同的平面，m,"是两条不同的直线，给

出下列命题：

①若加丄a,〃7U£,则a丄

②若znca,nca,m\\p,n\\/3,则aii£

③mca,nc.a,m、"是异面直线，那么"与雄目交；

④若夕=m,nilm,且ma,ntt/3,则〃Il汨"Il及

其中正确的命题是（）

A.①②B.②③

C.③④D.①④

D[①若6丄a,m^/3,则a丄用这符合平面垂直平面的判定定理，正确的命题.②

若/77ca,Ka,m\\/3,n\\[3,则ail尸；可能all错误的命题.③mca,nc

a,m、〃是异面直线，那么"与湘交；题目本身错误，是错误命题.④若ang=m,n\\

m,且ma,rxt/B,则“Il汨"Il夕.是正确的命题.]

6.（2018・湖南长沙一中二模）已知三棱锥48。的各棱长都相等，£为8U中点，则

异面直线力8与止所成角的余弦值为（）

A

8弋一二二二夕。

EXl/

c

A5V3R

66

c.军D.VT7

6

B［取ZC中点。连接。。EO,

.・三棱锥46。的各棱长都相等，£为8U中点，

，软?必8,是异面直线力8与OF所成角（或所成角的补角），

设三棱锥48。的各棱长为2,

则DE-DO-\4-1=\13/OE-1,

.SDEO=DE+QE-D。=-3.+—=石

2xDExOE2xV3x16

二异面直线与所成角的余弦值为也.］

6

7.（2018•北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的

个数为（）

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

A.1B.2

C.3D.4

C［由三视图得到空间几何体，如图所示，则以丄平面力6。，平面力8。为直角

梯形，PA^AB^AD=2,BC=y,所以以丄2。PAYAB,PAA.BC.XBCvAB,AB

n%=4所以6CJL平面以6,所以8c丄戶8.在厶戶。中，戶。=2百，PC=3,CD=

近,所以UQ?为锐角三角形.所以侧面中的直角三角形为WAD,xPBC,共3

个.]

8.（2018•全国卷I）在长方体中，AB=BC=2,ZG与平面

所成的角为30°,则该长方体的体积为（）

A.8B.6\2

C.8\坛D.8^3

C[如图，连接4G,6G,/C.."8丄平面86iGC

.•・NZG8为直线2G与平面681G。所成的角，

.ZG8=30。.又26=867=2,在叱2阳中，ZG=-2—=4,

sin30°

在Rb力GG中,CG=VA0-A（｝-V42-D22+220=2寸2，

•e-丿长方体二AB^BCxCCy

=2x2x2V2=8V2]

9.（2019•河北邯郸月考）设6,〃是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，则下

列命题中正确的是（）

A.若6ila,"丄館,a丄£,则6丄"

B.若777丄a,"丄館.6丄"，则a丄/7

C.若a邛,/nil"且〃丄£,则/77lla

D.若mea,z7c/?§,/77IIn,则all夕

B[若制a,/7丄阳a丄及则m与〃相交、平行或异面，故A错误；若加丄a,n

丄阻6丄，则由平面与平面垂直的判定定理知a丄£,故B正确；若a丄£,何〃且〃丄

P，则milonga,故C错误；若ger,m阻则a与你目交或平行，故D错

误.]

10.（2018•河南洛阳模拟）在四面体5-/优■中，m丄平面Z8Cz5/6=120°,S4

=40=2,/8=1,则该四面体的外接球的表面积为（）

A.11nB.2sli

3

C.IQnD.皿

33

D［：AC=2,AB=y,z^4C=120°,

设三角形Z6C的外接圆半径为r,

\7V27

2r=-----------,rr------,

sin120°3

.•£4丄平面Z6C£4=2,

由于三角形。口为等腰三角形，。是外接球的球心.

则有该三棱锥的外接球的半径/?=j+咼2譜,

.•该三棱推的外接球的表面积为5=4TT乃=4TTX/四2=皿」

r）3

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）

11.将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是.

唾n[圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为2TT,底面

3

半径为1,圆锥的高为\勺，圆锥的体积为1nxi2'\弓=且.]

33

12.（2019•河北衡水中学模拟）已知三个不同的平面a,A屣足a丄匕且匕则造

微关系是.

相交或平行［如图，在正方体26s4&GR中,

平面力。。14丄平面ABCD,

平面DCG储丄平面ABCD,

平面力。。14n平面DCQ。=DDi;

平面ADDyAy丄平面ABCD,

平面BCG6丄平面ABCD,

平面ADDyAyII平面BCQ氏.

.•.三个不同的平面a,£,户茜足a丄匕尸丄匕

则应价目交或平行.］

13.（2019•安徽黄山模拟）《九章算术》中记载了一个问题"今有圆堡璇，周四丈八

尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术日：周自相乘，以高乘之，十

二而一”.这里所说的圆堡璇就是圆柱体，它的体积为"周自相乘，以高乘之，十二而

一".就是说：圆堡琏（圆柱体）的体积为匕丄x（底面圆的周长的平方x高），则由此可推得

12

圆周率TT的取值为.

3匸•圆堡璇（圆柱体）的体积为忆=丄、（底面圆的周长的平方x高），.•.丄x（211/）2。=n

1212

下力,解得TT=3.］

14.已知一个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若球的半径为1,则当圆

锥的体积最大时，圆锥的高为.

4［设圆锥高为力，底面半径为「，

3

贝！］12=（"-1）2+尸，二尸二？。-

.­.V=^^h=^fUh-加）=2官房_岂〃，

3333

令-=0得力=4或方=。（舍去）,

33

当0＜方＜4时，|/＞0,函数1/是增函数；

3

当4＜方＜2时，1/＜0.函数1/是减函数，

3

因此当力=4时，函数取得极大值也是最大值，此时圆锥体积最大.]

3

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（12分）如图所示，£是以28为直径的半圆弧上异于48的点，矩形28。所

在平面垂直于该半圆所在的平面.

⑴求证：EA1.EC.

（2）设平面&N与半圆弧的另一个交点为£求证：EFWAB.

证明（1）1/是半圆上异于48的点，

：.AE1.EB.又•.平面48。丄平面ABE,

平面平面/屈=26,CBVAB,.-.CBl.W^ABE.

又X正平面力8£

：BO\BE=B,:.AEX.W^CBE.

又"6=平面"£丄&7.

（^■：CD\\AB,Z8u平面，..6平面

又.・平面平面ABE=EF,:.CD\\EF.

5L-CDWAB,：.EFWAB.

16.（12分）（2018•广东中山期末）如图，在四棱锥2/6。中，PDY&ABCD,AB

WDC,CD=2AB,ADA.CD,£为棱戶。的中点.

⑴求证：CDA.AE-,

(2)试判断所与平面Z尾是否平行？并说明理由.

⑴证明因为也丄底面28。，CPz底面46。，

所以也丄。.XAD1.CD,ALXXPD^D,故。丄平面〃|ZZ

又力任平面必I。，所以。丄力£

(2)解戶8与平面4"不平行.理由如下：

假设%II平面如图，设时/。=。，连接。£则平面£4C平面。£?8=。£

又PBu平■面PDB,所以P例

圣PDB中,有3=比，

ODED

由£是阳中点可得，3=.=1,即OB=OD.

ODED

因为/8lZ?C所以盘=琢=丄，这与08=。。矛盾，

CDOD2

所以假设错误，所以所与平面ZR7不平行.

17.(12分)(2019河南驻马店月考)如图所示，在四棱锥2力比。中，底面力8。为

菱形，F为力右与8。的交点，叫丄平面力aD,例为外中点，N为BC中彘.

⑴证明：直线用Nil平面0C。；

(2)若点。为灯7中点，^BAD=120°,PA=电,AB=A,求三棱锥4。。的体

积.

⑴证明取户。中点/?,连接例/?,CR,

..例是以的中点，月是。。的中点，

：.MR=rAD,MRWAD,

2

•・四边形力8。是菱形，/V为8c的中点，

:.NC=、AD,NCWAD.

2

:.NC\\MR,NC=MR,

.1四边形例/VCT?为平行四边形，

:.MN\\CR,又。化平面Q。，例/VC平面

../VWll平面PCD.

⑵解.四边形是菱形，丄加。=120°,

：AC-AD-CD="\