新高考专用 高考数学一轮复习精讲必备 第14讲 三角函数的图像和性质（讲义含解析）

第14讲三角函数的图像和性质

学校姓名—班级

一、知识梳理

（1）正弦函数了=$皿x,xG[O,2n]的图像中，五个关键点是：（0,0）,仔，1）

0),(拳T),(2贝，0).

(0,1),仔,0)

（2）余弦函数尸cosx,xG[0,2n]的图像中，五个关键点是:

—1),(釜，0),(2Jt,1).

2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质（下表中衣GZ）

函数y=sinxy=cosxy=tanx

A3.屮.

图像

定义域RR{x\xRR,且xW〃五十》}

值域[-1,1][-1,1]R

最小正周期2Ji2nJI

奇偶性奇函数偶函数奇函数

rJI五一g%Ajr+f)

递增区间2An—=,2kTI+=[2"-Ji,22JI]

[_2--2J

2kx+1，

递减区间[22五,22五+Ji]无

3n"

2k“十〒

（处土机工（容。）

对称中心(kx,0)

H

对称轴方程X=kTi+°x=k五无

二、考点和典型例题

1、三角函数的定义域和值域

【典例1-1](2022•河北邯郸•二模)函数〃x)=sin(2K至在[-上的值域为

()

A.(0,1]B.

\/

(G-

c.—D.[-1,1]

【答案】C

【详解】

当xw(-时,2x+-^ef—j,当2%+'=5时,即％=卜时，/(x)=sin(2x+g)取

最大值1,当2x+g=q,即x=J时，/(x)=sin(2x+?取最小值大于,故值域为

(凡]

故选：C

【典例1-2[(2022•辽宁•东港市第二中学高一期中)函数/(x)=6sin2x+2siMx,若

/(%)•/(々)=-3,则|2为-司的最小值是()

A.至B.三C.七D.二

3436

【答案】I)

【详解】

解：函数/(x)=Gsin2x+2sin2x,

=6sin2x-cos2x+1,

=2sin(2x-f+1,

因为2x—则sin(2x—k)£[—1,1]

所以/(x)4T3],

因为〃%)•/(巧)=3

所以“5)，f(W)一个为〃力的最大值，一个为最小值，

-71TC

2X1----=2k、7T-----2x,--=2fcj^4--

则62化,&wz),或62(K，&€Z)

2x2--=2k27r^^2X2--=2^-1

,兀

%=k普一?石=尤万+工

解得(KReZ),或.、（勺&£Z）

.71

x2=k2^+-X2=k27T--

所以|2%-引=|(2勺-&)%---(i),或|2X|-x,|=(24-公)乃+多(ii)

6

对于（i）,当羽-厶=1时，|2x「目的最小值是

对于（ii）,当超-&=-1时，|2西一切的最小值是（

综上，12Al-引的最小值是2，

故选：D

【典例1-3】（2022•全国•模拟预测（文））已知函数/（x）=2sinxcosx-Gcos2x,则

下列结论中正确的是（）

A.函数/（x）的最小正周期为2万B.x=（时f（x）取得最小值

5TT

C.关于尤=/对称D.x=/时f（x）取得最大值

【答案】D

【详解】

因为/（%）=2sinxcosX-A/3COS2X,

所以/（x）=sin2x—>/3cos2x,

所以〃x）=2sin12xq}

0jr

所以函数/（X）的最小正周期7=半=》A错误,

K=2sin（2x1-訴百#一2,BC错误,

故选：D.

【典例1-4]（2022•陕西•西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式

sinxcosx-cos2x+—+^>0（A?2GR）7恒成立，则/的最小值为

（）

A.叵茁B.1r72八a

4222

【答案】D

【详解】

TTTT

解：因为不等式sinxcosx-cos?x+丄220（〃?£R）对VX£--,y恒成立，

2

所以不等式对V-恒成立，

43

.,.ren——713157r

因为xe-『5，所以2》一片

则sin|2x-j=-1,

所以〃X）.=一显，

,\/min2

所以一机4一1,解得机士也，

22

所以加的最小值为也，

2

故选：D

【典例1-5】（2022•重庆八中高三阶段练习）函数〃力=2$也"-。">0）在[0,兀]上

的值域是卜有,2],则。的取值范围是（）

[4]「14]「55]「55一

A.B.-7t,--7iC.D.二九，二1兀

1_23」|_23J|_63J163」

【答案】c

【详解】

r--I.,.7T7U7C

o>0,XG[0,7i],JrliJtyx--e,

要使f（x）在[o,兀]上的值域是[-V3,2],

ri兀,兀，九5,,5

贝U—W兀/——<n+—=>—<6><—.

23363

故选：c.

2、三角函数的周期性、奇偶性、对称性

【典例2-1](2022•山东威海•三模)己知函数/'(x)=sin尤cos(2x+0(/w[O，M为偶函

数，则9=()

A.0B.-C.-D.兀

42

【答案】C

【详解】

定义域为R,且为偶函数，

/./--=/—=>一cos(—兀+9)=cos(兀+9)=>cos°=-cos0=>cos°=0,

71

3£(0,兀)，：.(P=一

2

7T

当9=1时,，f(x)=-sinxsin(2x)为偶函数满足题意.

故选：C.

【典例2-2】(2022•天津和平•三模)®Ul/M=cosl2x-yl-sinl2x-yI,将函数

的图象向左平移火>>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则

。的最小值是()

A.土B.2

1212

【答案】B

【详解】

因为f(x)=cos12x-■—--cos2x+—sin2x-cos2x

22

=—sin2x--cos2x=V3sin[2x-—

22I3

所以g(x)=/(x+e)=6sin(2*+2e-Wj,而g(x)为偶函数，所以

冗冗51STT

—m=]+即°=或兀+而9〉0,所以8的最小值是三.

故选：B.

【典例2-3](2022•内蒙古赤峰•三模(文))已知函数/(x)=2sin(0x-S)+l(O<o<5)的

图像经过点则f(x)的最小正周期为()

A.処8兀5兀

D.

2.TT

【答案】C

【详解】

因为函数/(x)=2sin"-1]+l(O<0<5)的图像经过点信,3

所以2sin偿0-聿)+1=3,

所以]+2E,AwZ,得69=(+日女,攵£2,

所以Ov0<5,所以69=3，

4

所以f(x)=2sin序-[)+1,

2兀_8兀

所以“X)的最小正周期为5=彳,

4

故选：C

【典例2-4](2022•陕西西安•一模(理))若函数f(x)=4sin

小正周期为3%，则/(同是()

A.奇函数B.偶函数

C.非奇非偶函数D.是奇函数也是偶函数

【答案】B

【详解】

因为函数/(x)的最小正周期为—=3^,解得。=?,

(D3

所以,/(X)=4sin[|J=4sin-^=-4cosy,

所以，函数/(x)为偶函数.

故选：B.

【典例2-5】(2022•新疆克拉玛依•三模(文))已知函数/(x)=100sinLx+g)®>0)

的最小值周期为将/（x）的图象向右平移。3>o）个单位长度，所得图象关于y轴对

称，则。的一个值是（）

A.-B.1

126

71171

C.-D.—

412

【答案】B

【详解】

由题可得主=3，即0=4,则函数的解析式为，（x）=100sin（4x+m，

co2I6丿

将/（X）的图象向右平移。个单位长度所得的函数解析式为：

y=100sin4（》-夕）+看=100sin（4x-4e+£）,又函数图象关于V轴对称，

TTTT

当％=0时，—4（p+-=k冗+—也wZ）,

62

则（P=一竺一尚'（%eZ）①，

412

TT

令k=—l,可得：<p=J其余选项不适合①式.

6

故选:B.

3、三角函数的单调性

【典例37]（2022•天津南开•三模）将函数/（x）=2sin[s-引（3>0）的图象向左平

移白个单位，得到函数y=g（x）的图象，若函数g（x）在区间0,£上单调递增，则。的

值可能为（）

71

A.-B.-C.3D.4

33

【答案】B

【详解】

解：将函数/（x）=2sinjs-M（（y>0）的图象向左平移卢个单位，

I3丿

得至IJ函数g（x）=2sin5〃y>（））,

广…门CD71

因为XE哈,所以K°'彳,

又因为函数g(x)在区间o,£上单调递增，

所以竺〈I，解得，042

42

所以。的值可能为g，

故选：B

【典例3-2](2022•湖北•荆州中学模拟预测)已知函数/(x)=sin2x+cos2x在

[乃-单调递减，则机的最大值为()

,3万K5"171n9汽

A.—B.—C.—D.—

8888

【答案】B

【详解】

/(x)=sin2x+cos2x=y/2sin[2x+'，

777F3乃7T5

令一+Zkji<2,x4—W----F2kjv,解得—HkjiWxW—7t+k/r,keZ,

24288

JI冗

因为4一"2〈机，所以相>一,则乃一V—,

22

九一mN、一九

故(8，解得苧，所以加最大值为苧・

/5%288

m<——

8

故选:B.

【典例3-3[(2022•全国•模拟预测(文))将函数〃x)=sin(2xqj的图象向左平移已

个单位长度，再保持所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的3倍，得到函数g(x)的

图象，则使得g(x)单调递增的一个区间是()

【答案】C

【详解】

将函数〃x)=sin(2x-q)的图象向左平移弓个单位长度，再保持所有点的纵坐标不变，横

坐标缩短为原来的^■倍，得到函数g(x)的图象，则g(x)=sin4x,则g(x)单调递增区间

k兀，,冗

为:则_£+——<x<—+容化eZ）

O28

当女=0时，一生4x4生.

88

故选：C.

【典例3-4】（2022•安徽•合肥一中模拟预测（文））下列函数中，既是偶函数，又在区

间（1,2）内是增函数的为（）

A.y=e；B.y=|sinx|

C.y=cosxD.j=log2|x-l|

【答案】A

【详解】

/（_司=£乎==二=/（x）,所以f（x）是偶函数，丿，=二二,尸==£二＞0,

=上n•在R上单调递增，当x=0时，yJ-e'=（）,当尤＞o时，

22

y=C=二＞0,.・丿=々:在（1,2）上单调递增，故正确；

22

B./（-%）=|sin（-x）|=|sinx|=/（j：）,所以是偶函数，易知y=卜皿耳在上递

增，在（；,2）上递减，故错误；

C./（-x）=cos（-x）=cosx=./•（%）,所以/（X）是偶函数，易知y=cosx在（1,2）上递减，

故错误；

D.因为y（-x）=k）g2|x+l|J（x）=log2所以,则/（X）不是偶函数，

故错误；

故选：A

【典例3-5]（2022•全国•高三专题练习）将函数f（x）=sinoMo＞0）图象上所有点的横

1jr

坐标缩短到原来的V倍（纵坐标不变），再向左平移三个单位长度，得到函数g（x）的图

象，若g（x）在（],"）上单调递减，则实数0的取值范围为（）

A.（0,—]B.（0,—]C.—•D.■

484448

【答案】D

【详解】

解：将函数./（X）=sin如（3>0）图象上所有点的横坐标缩短到原来的；倍（纵坐标不变）,

得到y=sin2s,再向左平移F个单位长度，得到函数g（x）的图象，

即g（x）=sin20[x+卷）=sin（2。x+：）,若g（x）在（^,乃）上单调递减，

则g（x）的周期722（万—乙）="，即红2兀，得0<。42,

2co

TTTT7TS冗

由2kiH—<H—424乃H------,kwZ,得2kTT-\—42.（oxW2k兀H------,kwZ、

24244

2k7r+-2k冗+双

5TT

AII2k兀H—2丘十彳,即g（x）的单调递减区间为4,4

,keZ、

即^—4<x<2a)'2co

2692co

2br+&

_____4<£co>2k+-

若g（x）在（g或上单调递减，则.2a)~24

2k;r+—a)<k+-

------丄*兀8

2co

Y即。的取值范围是长15

即2%H—W6y4左H—,kGZ,当&=0时，—

48448

故选：D.

【典例3-6]（2022•河北・石家庄二中模拟预测）已知函数

/(x)=卜inx+6cosx)(cosx->/3sinxj.

⑴求函数〃力在[0,句上的单调增区间;

67T

⑵若/(%)=不/€0,-,求COS2%的值.

【答案】⑴［监,普卜2)把更

L1212J10

【解析】(1)

解：f(^)-(sinx+VJCOSA^COSX-x/3siarj,

=-2sinxcosx+V3cos2x-\/3sin2x,

=-sin2x+>/3cos2x,

=2sinI2%H——I,

*7T-,—2/F7T_,.__

令-3+2k冗<2x+—+2k/r,keZ,

77r7T

解得-----\-k7i<x<-------\-k7r,keZ,

1212

所以的单调增区间为k兀-果k兀-3,kwZ.

令4=1得区间为If,詈

5