2022-2023学年江西省吉安市永丰县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省吉安市永丰县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

AABAOD-：O

2.不等式2%-1<3（X+1）的解集在数轴上表示如图所示，则手掌盖住的数是（）

A.—4B.-3ɛ.-2D.-I

3.如图所示，在A4BC中，AB=AC,AD是中线，DELAB,DF1AC,垂足分别为E、F,

则下列四个结论中：①4B上任一点与ZC上任一点到。的距离相等；②AO上任一点到AB、AC

的距离相等；③NBnE=∆CDF;（4）zl=42.正确的有（）

4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50。，则这个等腰三角形的底角为（）

A.70oB.20oC.70。或20°D.40。或140。

C.3cm

D.4cm

6•若关于弼不等式组ɑ=:::恰有两个整数解,则m的取值范围是（）

A.—1<m≤OB.-1≤m<OC.-1<m<OD.-l<m≤l

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.命题“如α?>>，则cι>b"的逆命题是命题（填"真"或"假"）.

8.如图，将△4PB绕点B按逆时针方向旋转90。后得到△

A'P'B',若PP=3,那么PP'的长为.

9.若k表示等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值，且当k=l时，其顶角度数是

度.

10.如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k<0）的图象与直线y=3都经过4（τn,1）当

kx+b>：尤时,X的取值范围是.

（2x—a>0

11.若关于X的一元一次不等式组,χ1+3X：1无解，则α的取值范围.

12.已知：如图，线段4B的端点4在直线I上，4B与1的夹角为30。，点C在直线I上，若△ABC

是等腰三角形.则这个等腰三角形顶角的度数是.

B

____________________________/

A

三、解答题（本大题共U小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.(本小题6.0分)

解不等式(组).

(l)2(x-1)≤10(x-3)+4,并把它的解集表示在数轴上.

(—X+3<2x(1)

]X+1x—2„

⑵屋一y。②

14.(本小题6.0分)

如图，在AABC中，AB=AC,∆A=40o,BO是乙4BC的平分线，求乙BDC的度数.

15.(本小题6.0分)

如果一次函数丫=(2-机)乂+加一3的图象经过第二、三、四象限，求机的取值范围.

16.(本小题6.0分)

图①、图②均是6X6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1,

点4、B均在格点上，在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，

所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法.

图①图②

(1)在图①中以线段AB为边画一个四边形ABEF,使四边形ABEF既是轴对称图形又是中心对

称图形；

(2)在图②中以线段AB为边画一个四边形4BCD,使四边形ABCO只是中心对称图形.

17.(本小题6.0分)

如图，正方形ABCD与正方形为BlGDl关于某点中心对称。已知A,D1,。三点的坐标分别为

(0,4).(0,3),(0,2)o

(1)求对称中心的坐标。

(2)写出顶点B,C,B1,Cl的坐标。

18.(本小题8.0分)

小亮在做数学题时由于不小心，把不等式组污染了一部分(不等式组中的助,

他记得这个不等式组的解集是％>1，且西里是一个正整数.根据上述信息，你能求出团里原来

是一个什么数吗？

19.(本小题8.0分)

如图，P是等边AABC内的一点，且PA=3,PB=4,PC=5,若将△PAC绕点4逆时针旋转

后，得到APZB,

(1)求点P与P'之间的距离;

(2)求N4PB的度数.

20.(本小题8.0分)

如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解,那么称一元一次不等式①是一元一

次不等②的“蕴含不等式”.例如不等式X>3的解都是不等式X>1的解，则称不等式X>3

是不等式X>1的“蕴含不等式”.

(1)在不等式①X<-1,②X>4,③X<-3中，是X<一2的“蕴含不等式”的是(填

序号).

(2)若不等式X<-6是不等式3(x-1)<2x+m的“蕴含不等式”，求m的取值范围，

(3)已知刀<一2n+4是》<2的“蕴含不等式”，试判断X>n+3是不是％>2的“蕴含不等

式”，并说明理由.

21.(本小题9.0分)

如图，AABC与AABD都是等边三角形，点E,F分别在BC,AC±.,BE=CF,4E与BF交于

点G.

⑴求乙4GB的度数；

(2)连接DG,求证：DG=AG+BG.

22.(本小题9.0分)

某校运动会需购买4,B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买4种

奖品5件和B种奖品3件，共需95元.

(1)求4、B两种奖品的单价各是多少元？

(2)学校计划购买4、B两种奖品共IoO件，购买费用不超过1150元，且4种奖品的数量不大于

B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品πι件，购买费用为W元，写出勿(元)与m(件)之间的函数

关系式.求出自变量Tn的取值范围，并确定最少费用W的值.

23.(本小题12.0分)

【问题提出】如图1,四边形4BC。中，40=CD,∆ABC=120。,NAOC=60。,48=2,BC=1,

求四边形力BCD的面积.

【尝试解决】

旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转来解决问题.

(1)如图2,连接BD,由于AD=CD,可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60。，得到△ZMB',则

∆BOB'的形状是；

(2)在(1)的基础上，求四边形ABCD的面积.

［类比应用］(3)如图3,四边形ABCD中，AD=CD,4ABC=75o,∆ADC=60o,AB=2,BC=

√-2,求四边形ABCD的面积.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4、既是不轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项错误；

以既是不轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项错误；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.

故选C

根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折

叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

2.【答案】A

【解析】解：∙∙∙2x-l<3(x+l),

ʌ2x—1<3x+3,

2%—3x<3+1,

-x<4,

则X>-4,

故答案为：力.

根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得.

本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注

意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

考常考题型。

【解答】

解：∙.∙4B=4C,AD是中线

.∙.力。平分NBac,

ʌz.1=z2

・•・力。上任一点到48、AC的距离相等，故②④正确，

VZ-B=∆C,DE1ABfDF1AC

：•乙BDE+zB=90o,Z.CDF+4C=90°

：.乙BDE=乙CDF,故③正确，

48上任一点与AC上任一点到0的距离不一定相等，故①错误。

故选C。

4.【答案】C

【解析】解：①如图1,当该等腰三角形为钝角三角

形时，

•••一腰上的高与另一腰的夹角是50。，

；・底角=久90。-50。)=20。，

②如图2,当该等腰三角形为锐角三角形时，

•••一腰上的高与另--腰的夹角是50。，

底角=ɪ[180°-(90°-50°)]=70°.

故选：C.

当该等腰三角形为钝角三角形时：底角=*90。-50。)=20。，当该等腰三角形为锐角三角形时:

底角=ɪ[180°-(90°-50°)]=70°.

本题主要考查等腰三角形的性质，垂直的性质，关键在于分情况进行分析，认真的进行计算.

5.【答案】B

【解析】解：•••将△4BC向左平移得到ADEF,

ʌAD=CF,AB=DE9

•・•△ABC的周长是16cτn,

:∙ABBCΛ-AC=16cm,

:∙ACΛ-BCjt-DE=16cm,

••・四边形ACED的周长是20Cnι,

∙,∙AC+CE+DE+AD-20cτn）

∙'∙AC+BC+CF+DE+AD=20cτπ>

即16+CF+4。=20,

.∙.2AD=4,

解得AD=2,

•••平移的距离为2cm.

故选：B.

根据平移的性质和三角形的周长公式列方程即可得到结论.

本题考查平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线

）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.

6.【答案】B

【解析】解：俨-2<出，

解不等式①得：x<l.

解不等式②得：x>m-l,

二原不等式组的解集为：m-l<x<l,

「不等式组恰有两个整数解，

•**-2≤TTi-1V—1,

解得：-1≤m<0.

故选：B.

按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答.

本题考查了一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键.

7.【答案】假

【解析】解：如。2>炉，则α>b"的逆命题是：如α>6,则。2>匕2,

假设a=l,b=-2,此时α>b,但α2<b2,即此命题为假命题.

故答案为：假.

先写出命题的逆命题，然后在判断逆命题的真假.

此题考查了命题与定理的知识，写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题

设和结论交换.在写逆命题时要用词准确，语句通顺.

8.【答案】3>n.

【解析】解：•••△APB绕点B按逆时针方向旋转90。后得到a4P'B',

.∙.BP=BP',∆PBP'=90°,

BPP'为等腰直角三角形，

.∙.PP'=>Γ2BP=3√I∙

故答案为：

由^APB绕点B按逆时针方向旋转90。后得到△A'P'B',根据旋转的性质得到8P=BP',ZPBP'=

90°,即ABPP'为等腰直角三角形，得到PP，=，NBP，由此得到PP'的长.

本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转

角，对应点到旋转中心的距离相等.也考查了等腰直角三角形的性质.

9.【答案】60

【解析】解："k=l,

二设顶角=α,则底角=a,

・•・a+a+a=180o,

：•a=60o,

∙∙∙该等腰三角形的顶角为60。，

故答案为：60.

根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.

本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键.

10.【答案】x<3

【解析】解：把点4(τn,l)代入y=4x,得

1=

解得=3.

即4(3,1).

由图象可得,

当kx+b>gx时，X的取值范围是X<3.

故答案为：x<3.

根据题意和函数图象，可以写出当此+b>Jx时，X的取值范围.

本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的

思想解答.

11.【答案】ɑ≥6

2x—a>O①

【解析】解：∖l+3x1G

解不等式①，得X>*

解不等式②，得％<3,

(2x—a>O

•••关于X的一元一次不等式组j2χl+3x<1无解，

W≥3,

解得：α≥6,

故答案为：α26.

先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解得出关于ɑ的不等式，再求出不等式的解集即可.

本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于α的不等式卷≥3是解此题的关键.

12.【答案】30。或150。或120。

【解析】解:如图：

分三种情况：

当AB=AC时，以点4为圆心，以AB长为半径作圆，交直线Z于点G，C2,

VZ-BAC1=30°,

・・・o

∆BAC2=180-∆BAC1=150°,

当Ba=BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线[于点。3，

・・

•∆BAC3=Z.BC3A=30°,

・・・o

Z.ABC3=180-∆BAC3-∆BC3A=120°,

当C4∕=C4B时，作的垂直平分线，交直线/于点C4,

，∆BAC4=Z-ABC4=30°,

・・・o

/.AC4B=180-Z-BAC4-∆ABC4=120°,

综上所述：若AABC是等腰三角形，则这个等腰三角形顶角的度数是30。或150。或120。,

故答案为：30。或150。或120。.

分三种情况：当AB=AC时；当Byl=BC时；当C√l=C4B时；分别进行计算即可解答.

本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分三种情况讨论是解题的关键.

13.【答案】ft?：(l)∙∙∙2(x-l)≤10(x-3)+4,

・••去括号，得2x-2≤10x-30-4,

移项、合并同类，得-8x≤-32,

两边都除以一8,得x≥4.

解集在数轴上表示如下：

IIIII]IA

-I0I2345

(2)解不等式一x+3V2%,得：x>1,

解不等式芳ɪ-q^≥0,得：X≤4.

则不等式组的解集为1<x≤4,

将解集表示在数轴上如下：

IIIð11IA

-2-1012345

【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；

(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小

找不到确定不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取

大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

14.【答案】解：∙∙∙AB=47,乙4=40。,

180-Z/4

:■∆ABC=Z.C=-2-=70°,

80是448C的平分线,

1

・・・乙DBC=・乙ABC=35°,

ʌ∆BDC=180o-∆DBC-Z-C=75°.

【解析】首先由AB=AC,利用等边对等角和N4的度数求出乙4BC和NC的度数，然后由BD是々1BC

的平分线，利用角平分线的定义求出NDBC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出NBDC的

度数.

本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是

正确识图，利用等腰三角形的性质：等边对等角求出乙4BC与NC的度数.

15.【答案】解：•••由一次函数y=(2—m)x+m-3的图象经过第二、三、四象限，

(2-m<0

ʌim-3<0'

解得：2<m<3.

【解析】由一次函数y=(2-m)x+m-3的图象经过第二、三、四象限可得到不等式组｛：二1<

解方程组即可求出山的取值范围.

本题主要考查了一次函数的增减性，也利用了解不等式组，是一道难度中等的题目.

16.【答案】解：(1)如图①所示，四边形ABEF即为所作;

图①图②

(2)如图②所示，四边形ABCD即为所作(答案不唯一).

【解析】(1)以AB为边作一个正方形即可；

(2)以48为边作一个平行四边形即可.

本题考查了旋转变换与轴对称变换，熟练掌握旋转变换的性质与轴对称变换的性质是解题的关键.

(2)∙∙∙4D的坐标分别是(0,4),(0,2),

•••正方形48CD与正方形&&GDi的边长都是：4-2=2,

■-B,C的坐标分别是(一2,4),(-2,2),

•••A1D1=2,Dl的坐标是(0,3),

••・4的坐标是(0,1),

B1,Cl的坐标分别是(2,1),(2,3),

综上，可得顶点B,C,B1,G的坐标分别是(-2,4),(—2,2),(2,1),(2,3).

【解析】(1)根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是。1。的中点，据此解答即可.

(2)首先根据2,Z)的坐标分别是(0,4),(0,2),求出正方形ABCD与正方形ZlBIClCI的边长是多少，

然后根据力，D1,D三点的坐标分别是(0,4),(0,3),(0,2),判断出顶点B,C,B1,G的坐标各是

多少即可.

此题主要考查了旋转变换，坐标与图形的性质的应用，根据题意得出旋转后对应点位置是解题关

键.

18.【答案】解：【；(”一：)：”一出，

[2x+1<4x-团②

解不等式①，得尤>1,

解不等式②，得x>竽，

•••这个不等式组的解集为X>1,

.∙.≡±i<l,

2-

・•・口+1≤2,

・•.□≤1,

・・・□里是一个正整数，

*,∙□=1,

团里原来是L

【解析】求出该不等式组中两个不等式的解，根据该不等式组的解集为％>1可得，嘤≤1,再

根据团里是一个正整数即可求得口=1.

本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再

求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.同大取大；同小取小；大

小小大中间找；大大小小找不到.

19.【答案】解：(I)由题意可知BP'=PC=5,AP'=AP,

∆PAC=/.P'AB,

而“4C+∆BAP=60°,

所以"HP'=60度.

故△力PP'为等边三角形，

所以PP'=AP=AP'=3；

(2)利用勾股定理的逆定理可知：

PP'2+BP2=BP'2,

所以△BPP'为直角三角形,

且NBPP'=90°

可求〃PB=90°+60°=150°.

【解析】(I)由已知绕点4逆时针旋转后，得到AP'4B,可得△P4C⅛AP'4B,PA=P'A,

旋转角NP'4P=4BAC=60。，所以AAPP'为等边三角形，即可求得PP';

(2)由△力PP'为等边三角形，得乙4PP'=60。，在aPP'B中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直

角三角形，得出NP'PB=90。，可求ZAPB的度数.

本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变.

20.【答案】③

【解析】解：(1)在不等式①尤<-1,@x>4,③X<-3中，是X<一2的“蕴含不等式的是③尤<

-3.

故答案为：③；

(2)解不等式3(%—1)<2%—m可得％<m+3,

则nɪ+3≥-6,

解得m≥-9.

故ni的取值范围是m≥-9；

(3)是，理由：

依题意有一2几+4≤2,解得n≥l,

Λ%>n+3的范围是％>4,

故》>n÷3是％>2的蕴含不等式.

(1)直接根据“蕴含不等式”的定义解答即可；

(2)先用m表示出不等式的解集，再由“蕴含不等式”的定义得出关于m的不等式，求出Zn的取值

范围即可；

(3)根据题意得出关于上的不等式，求出n的取值范围，进而可得出结论.

本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的技能是解题的关键.

21.【答案】（I）解：・・・△ABC是等边三角形,

・・・AB=BC,∆ABC=ZC=60°,

•・•在BE和ABCF中,

AB=BC

Z-ABE=∆C,

BE=CF

・•・ZkABE三ZkBCF(SAS),

•∙・Z.BAE=乙FBC,

•・・乙BGE=乙ABG+乙BAE=乙ABG+乙FBC=∆ABC=60°,

：•/-AGB=180o-Z.BGE=120°；

(2)证明：延长GE至点使GH=GB,如图，

•・・乙BGE=60°,

.•.△BGH为等边三角形,

ʌBG=BH=GH,乙GBH=60°,

•・•△48。是等边三角形，

：•AB=BD,∆ABD=60°»

VZ-ABH=乙GBH+Z-ABG,乙DBG=乙ABD+Z-ABG,

・•・Z-ABH=Z.DBG,

v⅛∆DBGfU∆ABHφf

DB=AB

Z.DBG=LABH,

BG=BH

・•・ZkOBG三△4BH(SAS),

・・・DG=AH9

而AH=AG+GH,

∙*∙DG=AG+BG.

【解析】⑴根据等边三角形的性质得到”=BC,∆ABC=ZC=60°,再根据三角形全等的判定

方法可证得△ABENZkBCF,则乙BaE=乙FBC,利用三角形外角性质得NBGE=乙4BG+NBAE,

则ZBGE=ΛABC+ΛFBC=∆ABC=60°,然后利用邻补角的定义可计算出乙4GB的度数；

(2)延长GE至点H,使GH=GB,由于NBGE=60。，根据等边三角形的判定得到△BGH为等边三

角形，然后根据等边三角形的性质得到BG=BH=GH,乙GBH=60°,且AB=BD,"BD=60°,

易得NABH=乙DBG,根据三角形全等的判定方法可证得△DBG≡ΔABH(SAS),则OG=AH,即

可得到CG—AG+BG.

本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三

角形全等；全等三角形的对应边相等.也考查了等边三角形的判定与性质.

22.【答案】解(1)设4奖品的单价是X元，B奖品的单价是y元，由题意，得

(3x+2y=60

∣5x+3y=95,

解得:g:iθ-

答：力奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元.

(2)由题意,得

W=IOm+15(100-m)=-5m+1500

f-5m+1500<1150

ʌ(m≤3(100-m)'

解得：70≤τn≤75.

•・•加是整数，

.∙.m=70,71,72,73,74,75.

W=-5m+1500,

■■k=—5<0,

加随771的增大而减小，

m=75时，“炭∙≠=1125.

••・应买4种奖品75件，B种奖品25件，才能使总费用最少为1125元.

【解析】(1)设4奖品的单价是X元，B奖品的单价是y元，根据条件建立方程组求出其解即可；

(2)根据总费用=两种奖品的费用之和表示出W与巾的关系式，并由条件建立不等式组求出X的取值

范围，由一次函数的性质就可以求出结论.

本题考查了一次函数的性质的运用，二元一次方程组的运用，一元一次不等式组的运用，解答时

求一次函数的解析式是关键.

23.【答案】解：(1)等边三角形

(2)过点。作。EJ.48于点E.

由(1)知，ABCDMB'AD,

••・四边