2023年高考数学大题练习（新高考） 04 数列中的存在性与恒成立问题 含解析

专题4数列中的存在性与恒成立问题

1.（2021・湖北•襄阳四中模拟预测）已知正项数列（«„｝的前〃项和S,,满足s“=（号）_,〃eN”∙

2

数列｛〃,｝满足bn+⅛+∣=2n+2π+l,n∈N*

（1）求数列｛〃“｝的通项公式；

（2）试问:数列出,-S“｝是否构成等比数列（注:S“是数列他”｝的前”项和）?请说明理由；

（3）若4=1,是否存在正整数〃，使得l∑（-'）il⅛⅛7⅛≤∑⅛-成立?若存在

占⅛+⅛+lIll念K+瓦+1

求所有的正整数〃；否则，请说明理由.

【答案】（1）勺=2"-1：（2）不构成，理由见解析；（3）存在，n=10.

【解析】

【分析】

[5,,n=l

（1）由4=二得到｛4｝是等差数列，即可得解；

[S,-5c,ι,“≥2

（2）首先求出S“，则4-S“="-后即可得到aM-S,,…再由"+"“，即可得到

bn+lSn+l=-（bn-Sn）,即可得证；

y（-i/-+1<21<y_K___

（3）由（2）可得d=公，所求不等式即Z4+r+I-Ill-合/+公+1•设

1"b1

/（%）=&£+[,利用裂项相消法可得到£五正77=]（，（1）-/（〃+1））,同理，有

—(ʃ(l)+f(n+l)),n=2m-∖,ιneN*

k2+l

∑(-Dt:,再由题意求出”的值;

ki+k2+l

k=∖5(川)_/(〃+1)),〃=2m,m∈N*

【详解】

解：(1)由于S,=α,+D~,"∈N*,故s∣=(%+、-nq=1；“≥2时

"4141

22

45„=(αn+1),45Π.,=(«„_,+1)；

22

作差得，4a“=(all+1)-(ΛB.I+ɪ)<=>(an+an,l)(⅛-¾,l-2)=0•

由于｛4｝是正项数列,故%-%=2,｛a列是等差数例],an=2n-l;

所以S,,="!/""]):/

"44

222

(2)由于2一Szf=勿-〃2也=2+「(〃+1)2,bn÷bn+x=In+2∕?+1=π+(n+1),

故Se=-电-s“)•由于4-$=/，「I,所以

b-S

当乙Wl时，-弋詈=T,数列也「S〃｝构成等比数列；

D〃一'n

当4=1时，数列｛%-SJ不构成等比数列.

Iy∙+ι<55「』k

(3)若4=1,由(2)知4=/,于是，所求不等式即分'⅛4+⅛2+l^lll~⅛r+⅛2+l

设/⑹=F⅛'则小+D=P⅛Γ

22

,'d‰S4+⅛k2+l=2I^S(⅛2+2l)k2-Jt2=1√n((⅛⅛2++⅛++ll))(-⅛(⅛2-⅛-⅛+l+)l)^2Ie/,〃'、-f,,+,八)、

=∣(∕(D-/(«+0)

(«k2+i1(⅛2⅛i)(⅛2-⅛i)

同理，有盲㈠)出E=(G++z++∣+)(A-++1)

gcΛD+∕("+i)),“=2AH-1,AWGN*

1A=I

=-∑(-ι∕(∕(⅛)+∕α+D)=

2n∣

(∕(l)-∕(n+D),n≈2m,meN*

由于g(∕⑴+f(n+1))>∣/(1)=g>含,故而只能有n=2m,m≡N*.

于是，∣∑(-1∕^2÷1<^<yk

JE匕'7k4+k2+∖-ll∣-⅛⅛4+⅛2+l

Oɪ(/(l)-∕(w+l))≤p^≤∣(/(1)-f(n+1)),(〃=2m,m∈N*)

oɪ(/(1)-f(n+D)=含，(〃=2w,m∈N*)

="2+“+I=]]],(”=2m,m∈N*)O〃=10

综上所述，所有符合条件的正整数〃只有〃=10

【点睛】

数列求和的方法技巧

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.

(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和.

(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.

2.(2021•全国•模拟预测)从①(4+1)(%+2)=65”,且4<2；②q=1,%+an+l=2an(n≥2),

且存在m≥2,〃?eN使得S,,,=5,(m+l)Sg+(加—1)S,向=13帆—Il；③若/一"“_产"(常

数)，且65,,=%∙q向+2(∕1eN*),4<2,这三个条件中任选一个，补充在下面题目的横线

中，并解答.

已知各项均为正数的数列｛q｝的前∏项和为S“，.

(1)求数列｛q,｝的通项公式；

(2)设"=券，求数列出｝的前W项和7“.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)条件选择见解析，¾=3n-21

⑵7；=8一(3〃+4)(£|.

【解析】

【分析】

(I)选①：根据S11与的关系式可求出数列｛¾｝的通项公式；

选②：根据题意可得出数列｛4｝是等差数列，数列｛｝｝是首项为勾，公差为日的等差数列，

从而可求出数列｛a,,｝的通项公式；

选③：令〃=1,可求出《；然后根据S“与狐的关系式可求出数列｛”,,｝的公差，从而可求出

数列｛4｝的通项公式；

(2)根据(1)中求出的数列｛q｝的通项公式，然后利用错位相减法可求出数列｛2｝的前〃

项和7“.

(I)

选①：当〃=1时，(4+D(α∣+2)=6α∣,因为q<2,所以解得4=1：

当〃≥2时,因为(％+1)(4+2)=65",所以(%+1)((+2)=6S,ι,

两式相减，得。：一。3+34,-341=6勺，即(a,,+(),,,—%—3)=0,

因为4τ>O,所以4-%=3,

所以数列｛%｝是首项为1,公差为3的等差数列，

故α,,=l+3("-l)=3"-2.

选②：由%τ+¾+l=2¾(〃≥2),知数列｛q,｝是等差数列，

n(n-l)

因为鼠二"ɪl二1“，

nnI2C

所以数列｛1｝是首项为4,公差为?的等差数列，

所以鸟旦+&!L=至!L,BPAlzL4-AilL=12j

m-∖∕n+lmιn-∖m+∖m

所以⑶I-II=W,又因为“22,相eN*,所以解得m=2；

m-1m

设等差数列｛%｝的公差为d,则邑=2Ο1+d=5,因为q=l,所以解得d=3,所以

Cin=1+3(〃-1)=3〃-2.

选③：因为4,-∕τ=d,所以数列｛%｝是等差数列，

因为6S,=。∙an+l+2,所以6S“T=aπ,l∙an+2(n≥2),

两式相减，得6a,,=a,,(a,向-a,-),即64,,=α,,∙2d(π≥2),乂〃“>0,所以4=3.

当〃=1时∙，6S,=al-a2+2,即601=q∙(q+3)+2,因为4<2,所以解得α∣=l,

故q=l+3("-l)=3w-2,即氏=3〃-2.

(2)

由⑴得以=券=(3〃-2)｛；),

所以Z,=IXS+4x]J+7x∖J++(3〃一2)5,，

所以基=lx[｛Mx©+7x©+÷(3n-2).[l∫)

两式相减，得g[=l+3xg+(g)+-+[^]-(3∏-2)∙W

则Z,=8-(3n+4)∙∣jJ.

3.(2021.上海静安.一模)对于数列｛%｝：若存在正整数公，使得当”2%时，应恒为常数,

则称数列是准常数数列.现已知数列｛4｝的首项卬=。，且。,川=∣4,-l∣,“eN∙.

(1)若“=试判断数列也｝是否是准常数数列；

(2)当α与〃。满足什么条件时，数列｛%｝是准常数数列？写出符合条件的“与%的关系；

(3)若αe(kM+l/eN*),求｛4,,｝的前弘项的和S?-(结果用公a表示).

【答案】（1）取“0=2时，4恒等于3,数列｛%｝是准常数数列；

（2）答案见解析；

⑶一异小+1）

【解析】

【分析】

（1）将代入已知条件，即可求出%=5（〃22）：

（2）根据已知条件，对。进行分类讨论，分别写出答案即可：

（3）由4e（%,%+D（%eN"）和*=Ia“-1|分别求出的，%，…，4，4+∣，aM<...>

⅛-∣,外«的值，将前％项放在一起，后2k项中，从Z+1项起,每相邻两项的和为定值，这样

即可求解S”.

（1）

331

由4=；得，¾=⅛-∣≈-.

当〃≥2时，恒等于g,数列｛4｝是准常数数列，取%=2即可；

（2）

..I∣∫¾-l,¾≥∣

・…T1=L+"1'

.∙.”,,≥l时，an+l≠an,

而当〃“<1时，若存在小,当“≥%时，则必有4=；，

若O<αvl时，则々2=1—。|,¾=∖-a2=al=a1此时只需％=1—4=4，4=g，

故存在α=g,α,,=g,取％=1（取大于等于1的正整数也可以），数列｛4｝是准常数数列.

若4=α≥l,不妨设α∈["7,m+l）,机∈N*,则%+1=。一机£似1），

。加+2=1一%+1=1-。+"，若4+2=4"+I,贝∣Jl-α+m=α-m,

所以2〃?=Za-I或。=根+；,取%=m+1,当蛋≥%时，a”=g（2〃=2%-1,取大于等于Q+；

的〃。皆可）

KaI=a<。,不妨设αe（-∕,∕+l],/∈N"，则一〃£（/-1,/],

所以生=一。+1£(/,/+1]，a3=a2-l=-afa4=-a-l,...,af+2=-6r-(∕-l)∈(0,l],

所以4+3=1-4+2=l-[-α一(/-1)],若4+3=4+2，则2a=-2∕+l或a=-/+；,

取％=∕+2,当“2”<,,a,,=g(a='2产,取大于等于一°+g的传皆可以)

=

存在。和⅜:~1CIn=3'〃021；q=/H+1,∕lθ≥/H+1•4=Ttl+—,

n0≥m+2(其中m∈N*,"eN*)，(。为某个整数m加上义时，数列｛风｝是准常数数列).

(3)

：a∈(%,%+D(%∈N*),且aιl+l=∣¾-1∣,

：.a2=a-11a3=a-2,...,ak=π-(⅛-l),

¾+,=Λ-*∈(0,1),ak+2=l-ak+l=k+l-a,ak+3=∖-ak+2=a-k,

4+4=1-4+3=1+左一4，…，/I=。-%，¾jt=⅛÷l-a.

所以§3*=G+%+/+…+%+¾+l+4+2+…/"1+⅜t

=(4+/+%+…+4)+(4+i+4+2)+(%3+¾+4)+∙∙∙+(¾-l+¾)

=«+(«—1)+(a—2)H----ɪ-a-(A：—1)+⅛

-ka+k-^^^-1)

k2.(3)

=--IZ:a+—.

2I2)

4.(2021・四川自贡・一模(理))已知等差数列｛%｝的前〃项和为S,,,也｝是各项均为正数的

等比数列，4=仇，,仇=8,bl-3b3=4.在以下三个条件中任选一个①醺=30,

②$4=5%,(3)3a3-a5=⅛2,补充在上面横线上，并作答.

⑴求数列｛%｝,｛〃,｝的通项公式；

(2)是否存在正整数&.使得数列的前4项和《>；?若存在，求女的最小值：若不存

在，说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)条件选择见解析，a,,=2n,d=i6χ(g)

(2)存在，目"的最小值为4

【解析】

【分析】

(1)根据已知条件求得等差数列｛4｝的首项和公差，求得等比数列加“｝的首项和公比，从

而求得数列®｝,也｝的通项公式.

(2)先求得S由求得女的最小值.

(I)

设等比数列也｝的公比为q,q>0,

：33。2=4解律(1=2,所以或=16x(9.

则

4=1612J

4=仇=16χ(g)=2,

设等差数列｛%｝的公差为d,

若选①，则5al+lOd=Io+l(W=30,d=2,4,=2+("-l)x2=2”.

若选②，则4α∣+64=5(4+d),8+64=5(2+i∕),t7=2,an=2+(〃—l)χ2=2”.

若选③，则3(4+2d)-(q+4d)=8,2q+2√=8,d=2,q,=2+(∕7-l)x2=2”.

(2)

由于4=2,〃“=2n,所以SA=2；2”.〃=「(〃+]),

__1_

SltnM÷1

WlIlI1113

所VXT,-----1---------1-4------------=11-------->一,

A223kk+∖女+14

!>Jτ,A+l>4,&>3,所以正整数%的最小值为4.

4⅛÷1

5∙(2022∙天津•南开中学二模)已知数列｛αw｝的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首

项为2的等比数列.数列｛““｝前〃项和为S",且满足S3-a4,Cl3+a5-2+a4

(1)求数列｛〃"｝的通项公式；

⑵求数列｛“”｝前兼项和S2%

(3)在数列｛〃〃｝中，是否存在连续的三项G",am+l,am+2,按原来的顺序成等差数列？若存

在，求出所有满足条件的正整数机的值；若不存在，说明理由.

n,n=2k-∖

【答案】⑴%,ksN*.

2∙32,n=2k

⑵犬-1+3人

⑶存在，1

【解析】

【分析】

(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为以由已知条件列方程组求得d,g后可得通

项公式；

(2)按奇数项与偶数项分组求和；

(3)按〃?分奇偶讨论，利用24用=勺+册+2,寻找■的解.

(1)

设等差数列的公差为d,等比数列的公比为外

则aι=∖,“2=2,aj=1+d,ci4=2q，as=1+2d.

'."S3=a4»1+2+(1+d)=2q,即4+d=2q,

又43+α5=2+w,；.1+d+1+2d=2+2q,即3d=2q,解得d=2,q=3,

:,对于女WN*,有aik-i-l+(⅛-l)∙2=2⅛-l,

[ιι,n=2k-↑

故J，&∈N*.

[2∙32,n=2k

(2)

S2k=｛a∣+as^...+Λ2⅛-∕)+(^2+6f√+...⅛2⅛)=[1÷3÷...÷(2⅛—1)]+2(1+3+32÷...+3⅛^,)=

(1+2无二*+⅛∑⅛=∕τ+3*.

21-3

(3)

在数列｛〃｝中，仅存在连续的三项。按原来的顺序成等差数列，此时正整数，的

42,a3,w

值为1,下面说明理由

若s"=42”,则由4〃?+加+2=2。〃7+/,得2x3M+2x3⅛=2(2k+l).

化简得4∙3M=2Z+1,此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立.

若4“=〃2"-|,贝IJ由“∕M+α∕n+2=2twn+/,f⅜(2⅛-1)+(2⅛+1)=2×2×3k^,

化简得*=3N,

令£=击(&eN"),则(+∣-7;=∙^∙一击=.

因此，∣故只有∕此时

∖=T>T2>T3>...,T=l,k=l,m=2xl-l=l.

综上，在数列｛“〃｝中，仅存在连续的三项卬，“2,C13,按原来的顺序成等差数列，此时正整

数"?的值为1.

•辽宁・鞍山一中模拟预测)已知,是等差数列｛%｝的前〃项和，

6.(2022S%>0,S3=15,

公差d>l,旦.从①%-1为4-1与4+1等比中项，②等比数列他｝的公比为

q=3,々=4也=4这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的

数列｛α,,｝存在并作答.

(1)求数列｛%｝的通项公式：

(2)设数列」一的前〃项和为7.，求证：Tn<∖.

aa

[,,,,+ι6

【答案】(1)选择条件见解析,an=2n+l

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据选择条件求解

(2)数列求和后证明，使用裂项相消法

(1)

若选①，/T为4-1与%+1的等比中项，

则(4-l)(a3+l)=(α2-l)2,由｛q｝为等差数列，53=15,得3%=15,出=5,

把出=5代入上式,可得(4-d)(6+d)=16,解得d=2或d=-4(舍)

6z∣=3,an=2n+l∙

若选②，9=3为等比数列0｝的公比，且4=《也=”4,

可得h2=3b],即〃4=3α∣,即有(q+3d)=3α∣,即2q=3d；

又S3=15,可得3α∣+gχ3χ2d=15,即q+d=5,解得d=2,α∣=3,

此时为=24+1；

(2)

..1_1J(I______L｝

*cιllan+l(2π+l)(2n+3)2(2〃+12〃+37

...工…......—‰lfɪ—Y

"2(35572n+l2π+3j2(32w÷3j

“<!,得证

O

7.(2022•浙江绍兴•模拟预测)已知数列｛4｝是公差不为0的等差数列，4=1,且%,

4成等比数列；数列出｝的前〃项和是5“，且S,,=2%-l,〃eN1

⑴求数列｛q,｝,他｝的通项公式；

⑵设q,二E±%L,是否存在正整数卬使得4+4+《++c；,JH,-3)%对任意

a0-b,l+2

〃wN"恒成立？若存在，求机的最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)4=",bn=2"-';

⑵存在，5.

【解析】

【分析】

(I)设等差数列｛4｝的公差为d(dHθ),根据6，%,为成等比数列求出”即可求其通项公

式；根据5„与"关系即可求｛"｝的通项公式通项公式；

(2)利用裂项相消法求｛d｝前m项和，设q=叫Hɪ,根据％-d.正负判断｛4｝单调性，

求出其最大项，｛4｝前〃?项和大于该最大值即可求出〃?的范围和最小值.

(1)

设等差数列｛为｝的公差为d(dwθ),

∙.∙q,%,%成等比数列，.∙.d=qq∙

.∙.(l+"Y=l+3d,解得4=1,：.an=al+(n-∖)d=n.

当九二1时，⅛l=S1=2⅛l-1,/.6l=1.

5,∣=

当〃≥2时,bn=Sn-M2bn—2⅛rt.1,/,bn-2⅛w,1.

・・・｛"｝是以1为首项，以2为公比的等比数判，・・・”=2〃7.

(2)

√2∕2+l22n+l11

由题意得ς,=X—E，则q，=F—不=^一7一节.

λz7(n+l)n(n+l)〃(〃+1)

∙*∙cι2+c；++qj

--I----l--4-l----l----4--τ∙-----1--------1--4----1-------1-----

222222

I223(w-l)而/(wj+l)

ɪl-ɪ,

(a+1)

_31(«„-3)31(/7-3)_31(∕z-2)31(”3)_31(4-〃)

及b2_2w+1，a_^71~^―--，

・•・当〃=1,2,3时，<,+1><;当〃=4时，4=4；当〃≥5时，dn+l<dtj1

Ql

/.数列｛dn｝的最大项为&=4=考，

11312

诟了>啦’整理得W+l)->32,

•••存在正整数"?，且，"的最小值是5.

8.(2022•辽宁辽阳•二模)①｛2"可｝为等差数列，且4=:；②为等比数列，且生=；

从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.

在数列｛q｝中，％=；，.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)已知｛《,｝的前〃项和为5.，试问是否存在正整数p,cl,r,使得5,,=。-«…？若存在,

求P，4,r的值；若不存在，说明理由.

.ʌɪ..2〃-1

【答案】(I)M=3-：

(2)存在，p=3,q=4,r=2.

【解析】

【分析】

(1)若选①，则可根据等差数列性质求出｛2"4｝的公差％根据等差数列通项公式可求2”4,

从而求得若选②，则可证明等比数列概念求出｛泰■｝的公比，根据等比数列通项公式

可求#二，从而求得％；

2n-l

(2)根据对通项公式的特征，采用错位相减法即可求其前〃项和，将其化为S“=P-3…形式

即可得P、外r的值.

(1)

若选①：

设等差数列｛2%J的公差为d,则d=23α~q=—=2,

3—12

.*.2"a〃=2q+2(〃-1)=2〃—1,

若选②：

%

设等比数列J的公比为g,则。二ɪ=:,

[Zn-iJ42

2×1-1

⑵

则两式相减得,

+—+

32n+3

2(/7+2)-1

——-=3-4×

，存在正整数p,q,r,使得E,=p-qα,,+r,且p=3,q=4,r=2.

9.(2021•河北衡水中学三模)已知数列几｝的前几项和为S“，且满足4=3,

q=xα,τ+〃-2("≥2),其中XeR.

(I)若X=1,求出；

(2)是否存在实数X,)'使｛/+)，〃｝为等比数列？若存在，求出S“，若不存在，说明理由.

【答案】(1)"2-3"+8；(2)存在，s,,=2-2—3D-4.

"22

【解析】

【分析】

(1)将X=I代入，由递推关系求出通项公式，并检验当〃=1时是否满足，即可得到结果；

(2)先假设存在实数X,N满足题意，结合已知条件求出满足数列｛%+/｝是等比数列的

实数X,y的值，运用分组求和法求出s”的值.

【详解】

(1)由题可知：当X=I时有:an-an,l=n-2,

当“≥2时,

/、/\\、(n-2](n-l)

Cin=q+(出—4)+(%—生)+…+(4一)=3+0+l+2+…—2)=3+----------,

(n—2)(/2—1)_n2—3n÷8

又q=3满足上式，故%=3+

(2)假设存在实数％,y满足题意，则当M≥2时,

由题可得：0,,+y"=x[α.∣+y("-l)]Oa.=xα,ι+(孙-y)〃一孙,

和题设q,=x%τ+”-2对比系数可得：孙-y=l,-xy=-2<^x=2,y=l.

故存在x=2,丫=1使得｛4+/｝是首项为4,公比为2的等比数列.

,,"l

从面an+n=2nan=2"+'-〃=S,,=4+%+…+%="丁)•

1—ZZ

所以S,=2"+2-Kl+11-4.

"2

【点睛】方法点睛：数列求和方法：(1)等差等比公式法(2)错位相减法(3)分组求和法

(4)倒序相加法(5)裂项相消法.

10.(2022∙浙江•模拟预测)已知递增的等差数列｛4｝满足：％=1,且％,4,%成等比数列.数

列也｝满足：35“=2+〃,(“€N*),其中S“为色｝的前〃项和.

(1)求数列｛q,｝,｛2｝的通项公式；

Q)设3=a而二疯W为数列｛c,,｝的前"项和,是否存在实数/U使得不等式

7；≤；l≤S“对一切"€N*恒成立？若存在，求出义的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)4=2〃-1,'g[(neN*)

⑵存在，2=1

【解析】

【分析】

(1)设｛q｝的公差为d(d>O),根据％g,小成等比数列，由(1+7")2=(1+44)(1+12")求

解，由3S,,=2+"("∈N*),利用数列的通项与前〃项和的关系求解；

得3S,,τ=2+%("eN∙),

⑵由⑴SL弩，得到⑸LjC,,T看-W,利用裂项相消法求

得(，再由不等式(≤2≤S“对-切〃cN*恒成立求解.

(1)

解：设｛q｝的公差为d(d>O),

贝∣J(l+7d)2=(l+4d)(l+12d),

所以d=2,%=2〃一1.

当九=1时，b[=l；

当”22时,由3S,,=2+d("eN*),

得3S.T=2+%(〃eN)

两式相减得：“S

所以｛2｝是以1为首项，以为公比的等比数列，

所以d=E£T(〃eN*)

(2)

S,,=弩，显然心L=H=j

所以(S)m=J,

由〃〃=2〃-1得

11

Q=---------------------------=—■■—--——

(2〃-I)j2"+1+(2/7+1)>2”-1∖∣2,n—1∙+1∙(J2〃-1+J2〃+1)

ɪ√2"+l-j2"_l_1(1_______1]

^2x√2n-l∙√2n+l-2∣,√2n-l√2π+lJ'

=于一标N

显然（,＜；恒成立，且当“→8时，Z,→;,

所以存在唯一实数4=；.

11.（2022•江西•二模（理））已知等差数列｛%｝中，4=2,公差d〉0,其前四项中去掉某

一项后（按原来的顺序）恰好构成一个等比数列.

⑴求d的值.

⑵令〃,=——,数列｛2｝的前〃项和为S,,,若S,,＜万-2-4对V"N,恒成立，求2取值

anan+∖2

范围.

【答案】⑴2；

13

（2）2≤-/或4≥].

【解析】

【分析】

(I)根据给定条件，写出等差数列｛q｝前4项，按去掉的项讨论求解作答.

(2)由(1)求出等差数列｛q｝的通项，再利用裂项相消法求出，并讨论其单调性，列式

计算作答.

(1)

等差数列｛q｝的前四项为2,2+4,2+2d,2+3d,

若去掉第一项，则有(2+2d＞=(2+d)(2+3d),解得d=0,不符合题意，

若去掉第二项，则有(2+2df=2(2+34),解得4=0,或d=-g,不符合题意，

若去掉第三项,则有(2+d)2=2(2+34),解得4=0(舍去)，或d=2,

若去掉第四项，则有(2+d)2=2(2+2d),解得4=0,不符合题意，

所以d=2.

(2)

1

由(1)知4=2+2("-l)=2鹿，bn=ɪɪ(ʌ--⅛.

2〃(2〃+2)4nn+ι

于是得s,,=)(i-3+d-3+d-3++(,――⅛=7∏—一二)，显然数列｛S,J是递增数

422334nn+∖4n+1

列，恒有$,,＜；，

因S“＜分—4对V"eN+恒成立，「是有义2*5—2—=≥[,解得4≤或2≥∙∣∙,

22422

13

所以4取值范围是2≤√∙或

12.(2022.浙江•效实中学模拟预测)已知等差数列｛4｝中，公差d≠0,¾=5,%是%与应

的等比中项，设数列｛2｝的前”项和为S,,,满足4S,,=d-l("eN*).

⑴求数列(«„)与低｝的通项公式；

(2)设g=。也，数列｛ς,｝的前—项和为若«7；+：卜1对任意的〃eN*恒成立，求实数4

的取值范围.

【答案】⑴凡=2"-l,2=(-；)

24

(2)——≤Λ≤8

5

【解析】

【分析】

,、∖a-,=5,、IS,H=1

(1)对于等差数列｛4｝直接列方程,2；“&求解，数列他｝根据仇=JS1〃>2求解:

(2)利用错位相减法可得7；=-4+四里Jrf,根据题意讨论得：当〃是奇数时,

88I3J

ΛoA，N4〃∖CQON1

-4≤口；当〃是偶数时，2≤『，再通过定义证明数列口的单调性,

14〃+1.4〃+1.47?+1

\/min\/minI)

进入确定相应情况的最值.

⑴

a+2d=5

则LdiiG+旬，解得(a｛3=j或(a1M

(舍去)

a”=1+2(〃-1)=2/1—1.

又・・・45〃=勿-1,

当”=1时，4⅛l=⅛l-l,则4=—3，

b,1

当〃22时，4S,ι=%-l,贝IJ也=2-6,1，即广=二，

θn-∖3

则数列｛以｝是以首项伪=-;，公比为的等比数列，

ɔ3

⑵

∙.∙Λ^,+∣J≤1对任意的〃∈N*恒成立，即^ɪf-ɪʃ≤ɪ对任意的〃∈N*恒成立

4n+11

①当〃是奇数时，-义三？∙241任意的〃eN*恒成立

83

∙∙.-λ<亘工对任意的”∈N*恒成立

4〃+1

②当“是偶数时，4竽∙!≤1对任意的〃∈N"恒成立

83

.∙.2≤lɪ对任意的〃eN恒成立

4n+l

二8∙3”8∙3n+'8-3"16(41)3"

令q,>O对任意的〃eN”恒成立

47?+14〃+54〃+1(4〃+5)(4〃+1)

，｛q｝为递增数列

①当”是奇数时，则-几4年24，SIU>-2y4

②当"是偶数时，则;l≤8

24

——<2≤8.

5

13.(2022∙浙江省临安中学模拟预测)各项均为正数的数列｛4｝的前〃项和为S,,

s'=Jd+；4,，数列｛a｝为等比数列，且〃=%也=4.

(1)求数列｛%｝、｛2｝的通项公式；

(3n-2)∙⅛,,六蚪

------J∙,“为AM奇数

a+2

⑵记c“="■"'^",7,为数列｛q,｝的前”项和,对任意的〃eN*∙乙,≥力恒成立,

3,”为偶数

Ibn

求&及实数的，取值范围.

n

【答案】(I)%=〃，bn=2

ɪ-l,λ≤-

⑵%=

2/7+14"12

【解析】

【分析】

(1)先求出％,再当〃22时，由S“=ga：+；a“，得S+J4τ，两式相减化简可

得。“一4τ=l,从而可得数列｛为｝是公差为1，首项为1的等差数列，则可求出外,从而可

求出4也,进而可求出为,

(2)当〃为奇数时∙，利用裂项和消求和法可求出q+C3+…+Ai，当”为偶数时，利用等

比数列的求和公式求出c'2+C4+…+G”，从而可求出弓,，进而可求出实数的4取值范围

(1)

1,1

4=5十万4,'∙*t∕1≠O,=1

当〃22时，S.T=；a；T+：a.T②，

由①-②得4=/+ɪɑ,,-ɪ^-ɪɑn-l

∙∙∙4+%τ=*_°3，又4,>0,

••-¾-∣=1，

•••数列｛《,｝是公差为1,首项为1的等差数歹∣J∙

an=n

∖∙bl=a2=2,⅛2=¾=4,数列｛4,｝为等比数歹I],

.∙.q=2,2=2"

⑵

12k2t

、/：―卜(6⅜-5)∙22-'ι2÷'

n'h'i数'，—(2JI-1)(2⅛+1)——2k-l2k+\

.2,7×232(6"5)∙2"

•∙G+Q+…+1=-----------1---------------F...H-------------------------------------

13-h^11×33×5(2H-1)(2H+1)

n+w+

2325/^2n-l<2~^212~*

---+一+…+-------------H-------------—I---------=----------2

35、2/2—12n÷l12n+12n+l

33

〃为偶数时，c2,=^r=v

-×l1

.3334

Ac+c+...+c=不+不■+...H----=

242π=T

4"14

2,+I

,2'C,1

∙∙&=匕+C3+…+C2"T)+(。2++…+。2“)----------2+1-■-1

2/7+1-----------4"2/z+l4"

∙∙∙%>0,•,•｛4,,｝单调递增,

1717

≥7ζ=—t.*.Λ≤—

2〃2J212

14.(2022•江苏・阜宁县东沟中学模拟预测)已知正项等差数列｛q,｝满足：ɑ3,,=‰,,(Λ∈N∙

且2%,4+1，4成等比数列.

(1)求｛4,,｝的通项公式；

⑵设g=(ι+2"∙)(l+i)，段是数列｛cj的前"项和，若对任意"WN*均有&<4恒成立，

求2的最小值.

【答案】(1)%=〃

(2)最小值为专

【解析】

【分析】

(1)设等差数列的公差为d,由%,=3%及等差数列的通项公式得到4=",则《,=，办，

再根据等比中项的性质得到方程，求出d，即可得解；

(2)由(1)可得C"=2(S-R⅛H)利用裂项相消法求和得到此，即可得到R“<|，

从而求出/1的取值范围，即可得解；

(I)

解：设等差数列的公差为d,由%,=3q,得4+(3"IM=3[q+5-l)”],则4=d,

所以a“=aλ+(n-∖)d=nd.

因为2卬、见+1、成等比数列，所以(/+1『=2q∙%,即(3d+l)2=2/8",

所以7j-6d-l=0,解得d=l或d=-；,

因为｛q｝为正项数列，所以d>0,所以d=l,所以q=”.

2β^*'2,'+1J1]、

⑵由⑴可得cn-0+24)(1+2"”“)—(1+2")(1+2"M)一11+2"-1+2,,+l)'

所以凡=2[(备-力)+(右-备卜+(I⅛-T⅛Γ]]=23-T⅛Γ｝

222

因为对任意〃∈N*均有4<彳，所以几≥^,所以实数4的最小值为彳

jɔɔ

15.(2022.山东潍坊.模拟预测)已知｛《,｝和也｝均为等差数列，at=bl=l,a3=ai+a2,

bs=b4+a2,记ς,=max｛4-叼，b2-na2,bn-nall｝(n=l,2,3,...),其中max｛药,

了2，…，XJ表示X∣,%，…，X,这S个数中最大的数.

(1)计算。，c2,c3,猜想数列｛c,,｝的通项公式并证明；

(2)设数列行⅛τJ的前”项和为S“，若S,,<τ"+4∕w对任意〃≡N*恒成立，求偶数

1(3-q,)(2-a)J

m的值.

【答案】(I)Cl=o,C2=-],c3=-2,cn=∖-n,证明见解析

(2)∕n=2

【解析】

【分析】

(1)设等差数列｛q,｝，也,｝的公差分别为4,d2,利用a,=4=l,a3=ai+a2,bs=b4+a2,

利用通项公式可得1+24=2+4,%=l+4,可得a,，bn.根据Cl=0,c2=-∖,C3=-2.猜

想数列｛%｝的通项公式%=证明数列他-wj为单调递减数列，即可得出结论.

(2)=上Tm⅛rW-*,利用裂项求和方法即可得出S“，根据

5„<-m2+4m对任意〃eN*恒成立即可得出用的取值范围.

(1)

解：设等差数列｛q｝和色｝的公差为4、d1,

j1+24=1+(1+4)版但M=I

‘'-'卜+44=(1+34)+(1+4)'"'"4=2'

・,・4=〃，hn=2n-∖,

那么，c1=⅛1-=1-1=0,c2=max(⅛1-26∕1,⅛2-2¾)=max｛l-2×1,3-2×21=-1,

C3=max｛b∣-3q也-3a2,b3-3o3｝=max｛l-3×l,3-3×2,5-3×3)=-2,

猜想｛%｝的通项公式为％=

当〃≥3时，(⅛+,-Λ¾+l)-(⅛-∕∞A.)=(⅛+∣-⅛)-«(¾+,-¾)=2-M<0,

所以数列｛4-”6｝关于％∈N*单调递减，

所以ς,=max｛bi-naλ,b2-na2,,bll-nan｝=bl-nα,=l-n；

(2)

j[__________1__________]__1_____1_

解：(3-ς,)(2-ς,)[3-(l-n)][2-(l-n)]("+2)("+l)”+1〃+2'

所以S"=ι⅛-(Hl｛l++(⅛~⅛H-⅛'

因为S“<-m2+4m对任意〃eN恒成立，

所有-加+4,"二，解得上qia≤"i≤土匚叵，所以"?=2.

222

16.(2022.天津.耀华中学一模)设数列｛4｝5