湖南省怀化市2023-2024学年高二数学第一学期期末统考试题含解析

湖南省怀化市2023-2024学年高二数学第一学期期末统考试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.抛物线y2=-8x的焦点F到准线I的距离为（）

A.16B.8

C.4D.2

2.在棱长为2的正方体ABCQ-A4GA中，P是棱CG上一动点，点。是面AC的中心，则AO的值为（）

A.4B.2夜

C.2D.不确定

3.连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为小，n,记/=〃/+〃，则下列说法正确的是（）

A.事件）=12”的概率为一B.事件“f是奇数”与“m=n”互为对立事件

21

C.事件“t=2”与“t丰3”互为互斥事件D.事件“f>8且mn<32”的概率为一

4.已知正数x,y满足x+2y=l,则上出取得最小值时x=（）

孙

5.已知随机变量X服从正态分布N（3,b）,且P（X<4）=0.84,则P（2<X<4）=（

6.空间A、B、C、。四点共面，但任意三点不共线，若尸为该平面外一点且xPC-Lp。，则实数x的

33

值为（）

2

7.已知空间四个点41,1,1),5(-4,0,2),C(-3,-l,0),。(-1,0,4),则直线4。与平面ABC所成的角为()

A.30°B,45°

C.60°D.90°

8.如图，在四棱锥P—ABCD中，P3,平面ABC。，ABLBC,PB=AB=2BC=2,则点C到直线24的距

离为。

C.0D.2

9.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()

A.“至少有1个白球”和“都是红球”

B.“至少有2个白球”和“至多有1个红球”

C.“恰有1个白球”和“恰有2个白球”

D.“至多有1个白球”和“都是红球”

10.已知tan(/7—a)=7,tan(a+尸)=3,贝!Jtan2/7等于()

A.2B.-2

11.如图，M为。4的中点，以为基底，DM^xOA+yOC+zOD,则实数组(x,y,z)等于()

B.

12.若函数/（%）=%2—X—61nx,则/（x）单调增区间为O

u（2,+8）B.（0,2）

C.（2,+00）o（2,+oo）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若抛物线y2=2px上一点P（2,y0）到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为.

14.已知抛物线C：V=2px过点p（l,1）：

①点尸到抛物线焦点的距离为士3

2

②过点尸作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q,则△OPQ的面积为最

③过点P与抛物线相切的直线方程为x-2j+l=0

④过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M,N两点，则直线的斜率为定值

其中正确的是.

15.一支车队有10辆车，某天下午依次出发执行运输任务.第一辆车于14时出发，以后每间隔10分钟发出一辆车.假

设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息.截止到18时，最后一辆车行驶了小时，如果每辆车行驶的

速度都是60km/h,这个车队各辆车行驶路程之和为千米

16.从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数”，另一个作为对数的真数瓦则log.be（0,1）

的概率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）动点加（无,y）与定点P（用,0）的距离和它到定直线/：%=走的距离的比是逐，记动点”的轨迹为曲线

3

（1）求曲线C的方程；

（2）已知过点的直线与曲线C相交于两点A,B,请问点P能否为线段A3的中点，并说明理由.

18.（12分）如图，已知圆台下底面圆。的直径为A3,C是圆。1上异于A、3的点，P是圆台上底面圆。2上的点，

且平面平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E、R分别是PC、网的中点.

（1）证明：平面PAC；

（2）若直线/上平面尸AC且过点A,试问直线/上是否存在点。，使直线PQ与平面A跖所成的角和平面ABC与

平面A即的夹角相等？若存在，求出点Q的所有可能位置；若不存在，请说明理由.

022

19.（12分）如下图，已知点A（1,J5）是离心率为上的椭圆C：当+==1（。〉6〉0）上的一点，斜率为行的直

2a-b-

线8£）交椭圆。于3、。两点，且A、B、D三点互不重合

（1）求椭圆。的方程；

（2）求证：直线AB,A。的斜率之和为定值

20.（12分）求证：

（1）/（x）=|x+3|+|x—3|是R上的偶函数;

（2）g（x）=|x+3|-1%—3|是R上的奇函数.

21.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，平面平面ABC。，底面ABC。是矩形，PA=PB=2,AD=0，

直线物与CZ＞所成角为60°.

(1)求直线产。与平面ABC。所成角的正弦值；

(2)求二面角5—B4—C的正弦值.

22.(10分)已知｛&｝是公差不为零的等差数列，％=5,且%，生，44成等比数列

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设或=%+2”,求数列也｝的前几项和T.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】根据抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，即可得解；

【详解】解：因为抛物线方程为V=—8x,所以焦点坐标为尸(-2,0),准线/的方程为x=2,所以焦点厂到准线/的

距离为4；

故选：C

2、A

【解析】画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可

【详解】如图，以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

因为正方体ABC。-A与G2棱长为2,点。是面AC的中心，P是棱CG上一动点，

所以4(2,0,0),0(1,1,0),P(0,2,z)

AP=(-2,2,z),AO=(-1,1,0)

AP-AO=2+2+0=4

故选：A

3、D

【解析】计算出事件”=12”的概率可判断A；根据对立事件的概念，可判断B；根据互斥事件的概念，可判断C；计

算出事件”>8且““<32”的概率可判断D；

【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，

所得向上的点数分别为机，n,则共有6x6=36个基本事件，

则事件”=12”必须两次都掷出6点，则事件“/=12”的概率为上，故A错误；

36

事件是奇数"与“•="”为互斥不对立事件,如事件加=3,n=5,故B错误；

事件”=2”与“换3”不是互斥事件，故C错误；

事件”>8且机〃V32”有

m=3\m=4\m=4\m=5\m=5m=5m-6m=6m-6

<<<<<共9个基本事件,

n=6[n=5[n=6[n=4[n=5n—6n=3〃二4n=5

故事件”>8且根〃V32”的概率为故D正确;

4

故选：D

4、B

【解析】根据基本不等式进行求解即可.

【详解】因为正数X,y,

所以王良=工+号=d+§)(x+2y)=2+&+10之20^+10=18,当且仅当

xyyxyxyxyyx

x16y/2

一=一二时取等号，即x=4y时，取等号，而x+2y=l,所以解得％=—,

VX3

故选：B

5、C

【解析】根据对称性以及概率之和等于1求出产(X屋I)=P(X2)=0.16,再由P(2<x<4)=1—P(x..4)—P(x<2)

即可得出答案.

【详解】•••随机变量X服从正态分布N(3,〃)，p(X<4)=0.84

，P(X..4)=1—0.84=0.16

P(X京曲=P(X4)=0.16

.•.P(2<x<4)=l—P(x..4)—P(%<2)=1—0.32=0.68

故选：C.

6、A

【解析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.

511

【详解】空间AB、a。四点共面，但任意三点不共线，—X——=1,解得：]=—,

333

故选：A.

7、A

【解析】根据向量法求出线面角即可.

【详解】设平面A5C的法向量为〃=(%,yz),直线AD与平面A5C所成的角为夕

AD=(-2,-1,3),AB=(-5,-1,1),AC=(-4,-2,-1)

n-AB=0[-5x—y-\-z-0

<

n-AC=0[-4x-2y-z=Q

令x=l,则”=（1,一3,2）

\AD-n\|-2+3+6|1

sin0=7——i~L=—=——=—

|AZ)|-|/Z|V14XV142

贝(16=30。

故选：A

【点睛】本题主要考查了利用向量法求线面角，属于中档题.

8、A

【解析】如图，以3为坐标原点，建立空间直角坐标系3-孙z,然后利用空间向量求解即可

【详解】因为05,平面ABC。，ABI平面ABC。，BCu平面ABC。，

所以PBLBC,

因为ABLBC

所以如图，以3为坐标原点，建立空间直角坐标系§—孙z,则。(1,0,0),4(0,2,0),P(0,0,2),PC=(1,0,-2),

PA=（0,2-2）,即PC.PA=4・

PCPA4

PC在PA上的投影向量的长度为而「=运

故点C到直线PA的距离为JWCF=73.

故选：A

9、C

【解析】结合互斥事件与对立事件的概念，对选项逐个分析可选出答案.

【详解】对于选项A,“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，不符合题意；

对于选项B,“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球，或者2

个都是白球，二者不是互斥事件，不符合题意；

对于选项C,“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球，与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题

意；

对于选项D,“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球，或者2个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不

符合题意.

故选C.

【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用，考查了学生对知识的理解和掌握，属于基础题.

10、D

【解析】利用两角和的正切公式计算出正确答案.

tan（，-a）+tan（，+a）7+3

【详解】tan2/=tan［（夕—a）+（〃+a）］=

1-tan（夕-a）tan（'+a）1-7x32

故选：D

11、B

【解析】根据空间向量减法的几何意义进行求解即可.

【详解】DM=OM-OD^^OA+OOC-OD,所以实数组（x,/z）=]g,0,—1

故选：B

12、C

【解析】求出导函数/'（%）,令/'（尤）＞0解不等式即可得答案.

【详解】解：因为函数=%—61nx,所以/，（x）=2x—］_g=2厂=6（x〉0）,

令_f（x）＞0,得尤＞2,所以（（力的单调增区间为（2,+8）,

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、y2=8x

【解析】先由抛物线的方程求出准线的方程，然后根据点到准线的距离可求2=4,进而可得抛物线的标准方程.

【详解】抛物线的准线方程为x=-与，点p（2,%）到其准线的距离为2+巴，

22

由题意可得2+^=4,解得。=4,故抛物线的标准方程为/=8x.

故答案为：y2=8x.

14、②③④

【解析】由抛物线过P点可得抛物线的方程，求出焦点R的坐标及准线方程，由抛物线的性质可判断①;

求出直线P/的方程与抛物线联立切线。的坐标，进而求出三角形。尸。的面积，判断②；

设直线方程为7一1=依万-1),与产=工联立求得斜率，进而可得在p处的切线方程，从而判断③；

设直线的方程为抛物线联立求出河的坐标，同理求出N的坐标，进而求出直线"N的斜率，从而可判断④

【详解】解：由抛物线过点PQD,所以f=2p?,所以2P=1,

所以抛物线的方程为：y2=x；

可得抛物线的焦点厂的坐标为：(；，0),准线方程为：x=-;，

对于①，由抛物线的性质可得尸到焦点的距离为4=1+,=』，故①错误；

44

714

k-------——o3I

对于②，可得直线小的斜率[1-3,所以直线PR的方程为：x=：y+—,

1--44

4

代入抛物线的方程可得：,-3^--1=0,解得y°=—1

所以又0尸°=)。司,%—=-x-x1+-，故②正确；

对于③，依题意斜率存在，设直线方程为y—l=Hx—1),与y2=x联立，

得：ky2—y+l—k—0,

/=1—4A(1—«)=0,442—41+1=0,解得左=；,

所以切线方程为x—2y+l=0,故③正确；

对于④，设直线加尸的方程为：x=〃?(y-1)+1,

与抛物线联立可得/一如+〃2—1=0,所以卧M=〃Z—，

所以y“=〃zT，代入直线AfP中可得均=加(力2-2)+1=0-1)2，即〃((加一1)2,%-1),

直线NF的方程为：x=-m(y—1)+1,代入抛物线的方程V+机'—机—1=。，可得；^=一，"-1,

代入直线NF的方程可得=根？+2m+1=(相+1)2,所以N((〃2+l)2,-m-1),

7(m-1)—(-m-1)1…

所以*=附＞6=一5为定值’故④正确

故答案为：②③④.

15、①.2.5##』##21②.1950

一22

【解析】通过分析，求出最后一辆车的出发时间，从而求出最后一辆车的行驶时间，这10辆车的行驶路程可以看作等

差数列，利用等差数列求和公式进行求解.

【详解】因为14+丁义9=15.5,所以最后一辆车出发时间为15时30分，则最后一辆车行驶时间为18-15.5=2.5小时,

60

第一辆车行程为(18-14)x60=240km,且从第二辆车开始，每辆车都比前一辆少走手x60=10km,这10辆车的

60

行驶路程可以看作首项为240,公差为-10的等差数列，则10辆车的行程路程之和为

10x9

S10=240x10+^—x(-10)=1950(km).

故答案为：2.5,1950

3

16、-##0.375

O

【解析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式以及对数的知识求得正确答案.

(详解1log*的所有可能取值为log21,log23,log24,log25,log3l,log32,log34,log35,

log4l,log42,log43,log45,log5l,log52,log53,log54,共16种，

满足108加€(0,1)的为10832,10842/0843」0852,10853,10854,共6种，

所以log〃Z，w(0,l)的概率为5=|.

故答案为：-

O

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)/一匕=1

2

(2)不能，理由见解析.

【解析】(1)利用题中距离之比列出关于动点M(x,y)的方程即可求解；

(2)先假设点产能为线段A3的中点，再利用点差法求出直线的斜率，最后联立直线与曲线进行检验即可.

【小问1详解】

解：动点M(x,y)与定点F(V3,0)的距离和它到定直线l：x=B的距离的比是上

3

等式两边平方可得：

x2+y2-2y/3x+3=3x2+1-2y/3x

化简得曲线C的方程为:

【小问2详解】

解：点P不能为线段A3的中点，理由如下:

2

由(1)知，曲线C的方程为：V—匕=1

2

过点尸(一1,1)的直线斜率为左，A(玉,%),3(%,%)

因为过点P(-M)的直线与曲线C相交于两点A,B

2

所以，，两式作差并化简得:

9%+%2—"；".左=0①

2

2

当P(-M)为AB的中点时，则石+々=-2,%+%=2②

将②代入①可得：k=-2

此时过点P的直线方程为：2x+y+l=Q

将直线方程与曲线C方程联立得：

2x~+4x+3=0,

A=16-4x2x3=-8<0,无解

与过点尸(T，D的直线与曲线C相交于两点矛盾

所以点P不能为线段A3的中点

【点睛】方法点睛：当圆锥曲线中涉及中点和斜率的问题时，常用点差法进行求解.

18、(1)证明见解析；

(2)存在，点。与点A重合.

【解析】(1)证明出利用面面垂直的性质可证得结论成立；

(2)以C为坐标原点，C4为x轴，CB为丁轴，过。垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，易知z

轴在平面尸AC内，分析可知〃/3C,设点。(2/,0),利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可得出关于r的

方程，解出r的值，即可得出结论.

【小问1详解】

证明：因为A3为圆的一条直径，且。是圆上异于A、3的点，故

又因平面？AC，平面ABC,平面24。平面ABC=AC,BCu平面ABC,

所以平面尸AC.

【小问2详解】

解：存在，理由如下：

如图，以C为坐标原点，C4为了轴，CB为V轴，过。垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，易知

则4（2,0,0）,3（0,4,0）,C（0,0,0）,P（1,O,8）,,F

由直线平面PAC且过点A,以及平面尸AC,得1//BC,

设Q（21,0）,则AE=_|，°，孝，叮=（020）,PQ=（l,y,—G）,

设平面AEF的法向量为n=（%,y,z）,

36

AE・n=——xd----z=。nz=A/3X

则则《22即《，取x=l,得〃=(1,0,6),

y=0

EFn=2y=0

易知平面ABC的法向量加=（0,0,1），

设直线PQ与平面AEF所成的角为4,平面ABC与平面AEF的夹角为%,

।।PQ,川21

则sin4=cos<PQ,n>\=~=-j==

11MU2A/W,4+产

COS^2=|cos<m,n>|=

|m|-|H|1X22

i3

由a=&,得sin2q+cos2&=1,即--+-=1,解得/=0,

-4+r4

所以当点。与点A重合时，直线PQ与平面AEF所成的角和平面ABC与平面AEF的夹角相等.

22

19、（1）匕+上=1；（2）证明见解析.

42

【解析】（1）根据离心率为正可得e=£=«l,把（1,0）代入方程可得2+5=1,又/=从+o2,解方程组

2a2a'b1

即可求得方程；（2）设直线的方程为>=岳+加，整理方程组求得玉+々=-交冽,

|2x*+\*=4.-2

占X,二及参数加的范围，由斜率公式表示出的°+&8,结合直线方程和韦达定理整理即可得到定值.

4

试题解析：（1）由题意，可得e=£=@，代入（1,J5）得之+3=1,又/=/+o2,解得。=2,

a2ab

b—y/2，c=A/2

22

所以椭圆C的方程为

（2）证明：设直线BD的方程为y=返1+加，又A,B,。三点不重合，，mwO,

设£>&,%),B(x2,y2),

.Iv=/x+”

由‘一一得4x2+2y[2mx+m2—4=0>

x*+v*=4,

所以△=—8m2+64>0,解得—2血<根<20，

%72=一名，①

m2-4否

X1X2=^—^②

设直线AB,A。的斜率分别为心B，kAD，

必_yf2y2—\/2_^/2x1+m—A/2A/2X2+m—A/2/y.x+x9-2

则^AD+^AB-------|-------------------------------------If[L,……1S

再一]%2—1再一1%2—1

分别将①②式代入（*），

V2

------m—2

得2&+m-2----=272-272=0,

m2—4V2

4+三m+1

所以心。+篙8=0,即直线43,AD的斜率之和为定值0

考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系.

【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查了方程的思想和考试与运算能力，属于

中档题.求椭圆方程通常用待定系数法，注意隐含条件/=》2+。2；研究圆锥曲线中的定值问题，通常根据交点与方

程组解得对应性，设而不解，表示出待求定值的表达式，利用韦达定理代入整理，消去参数即可得到定值.

20、(1)证明见详解

(2)证明见详解

【解析】利用函数奇偶性的定义证明即可

【小问1详解】

由题意函数“X)定义域为R

且/(一%)=|_尤+3|+|-x-3|=|%—3|+|九+3|=/(%)

故/(x)=|x+3|+|x—3|是R上的偶函数

【小问2详解】

由题意函数g(x)定义域为R

且g(—x)=|—x+3|一|—x-3|=|x—3|一|;t+3|=-g(_x)

故g(x)=|x+3|-|x-3|是R上奇