核心考点04向量的数量积（原卷版）

核心考点04向量的数量积目录一．平面向量数量积的性质及其运算（共16小题）二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共5小题）三．向量的投影（共5小题）四．数量积表示两个向量的夹角（共13小题）五．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共9小题）考点考向考点考向一．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的知识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：（1）＝＝||cosθ；（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；（3）分配律：（）•≠•（）【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识点的知识】1、向量的夹角概念：对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做即：＝||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．注意：①表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．三．向量的投影【知识点的知识】1、两个向量的数量积及其性质：（1）•＝||||cos＜，＞；（2）⊥⇔•＝0（，为非零向量）；（3）||2＝2，||＝．2、向量的投影：||cosθ＝∈R，称为向量在方向上的投影．四．数量积表示两个向量的夹角【知识点的知识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．五．数量积判断两个平面向量的垂直关系【概念】向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么与垂直，有•＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．考点精讲考点精讲一．平面向量数量积的性质及其运算（共16小题）1．（2022春•闵行区校级月考）下列说法正确的是（）A．若，则 B．若非零向量与满足，则 C．若∥，∥，则∥ D．若，则与夹角为必为锐角2．（2022春•长宁区校级期末）设向量、满足，则＝．3．（2022春•闵行区校级期末）已知△ABC中，，，求的值．4．（2022春•浦东新区校级期中）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．（）2＝||2 B．（）（）＝22 C．||≤||•|| D．||≤|||﹣|||5．（2022春•长宁区校级期末）下列命题中，真命题的个数是（）（1）若数列{an}是等比数列，则数列{an+an+1}也是等比数列．（2）若，则或．（3）．A．0 B．1 C．2 D．36．（2022春•宝山区校级月考）已知G为△ABC的重心（三条中线的交点），∠BAC＝，•＝﹣2，则||的最小值为（）A． B． C． D．7．（2022春•嘉定区校级期末）设为任意非零向量，且相互不共线，则下列命题中是真命题的有（）（1）；（2）；（3）不与垂直；（4）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．（2022春•徐汇区期末）已知、为非零向量，则“”是“为锐角”的（）条件．A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要9．（2022秋•静安区校级期中）若向量、、满足，且，则•、•、•中最大的是（）A． B． C． D．不能确定10．（2022春•宝山区校级月考）在边长为3的菱形ABCD中，，，则＝（）A． B．﹣1 C． D．11．（2022春•长宁区校级期末）在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝3，则的取值范围是．12．（2022春•普陀区校级期末）如图，设Ai（i＝1，2，3，…，n）是△AOB所在平面内的点，且，给出下列说法：（1）|；（2）|的最小值是；（3）点A和点Ai共线；（4）向量及在向量方向上的数量投影必定相等．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．（2022春•浦东新区校级月考）平面直角坐标系中，，，，△ABC为等腰直角三角形，且A、B、C按顺时针排列，则B点的坐标为．14．（2022春•宝山区校级月考）已知向量、，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值为（）A． B． C．﹣1 D．215．（2023春•松江区校级月考）已知平面向量，，且，向量满足，则的最小值为．16．（2022春•松江区校级期末）已知向量、、满足||＝||＝1，＝，＝x（x、y∈R，y≥0），则下列四个命题中，所有正确命题的序号是．①若x＝1，则||的最小值为；②若x＝1，则存在唯一的y，使得＝0；③若||＝1，则x+y的最小值为﹣1；④若||＝1，则+的最小值为﹣．二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共5小题）17．（2022春•黄浦区校级期中）设，为单位向量，且|+|＝，则|﹣|＝．18．（2022春•浦东新区校级期中）已知向量＝（2，﹣6），＝（3，m），若|+|＝|﹣|，则m＝．19．（2022春•闵行区校级期中）已知向量＝（2，1），•＝10，|+|＝5，则||＝．20．（2022春•徐汇区期末）已知向量，．（1）求；（2）当k为何实数时，与平行？21．（2022春•奉贤区校级期中）已知向量，满足||＝1，||＝2，且与不共线．（1）若向量+k与k+2为方向相反的向量，求实数k的值；（2）若向量与的夹角为60°，求2+与﹣的夹角θ．三．向量的投影（共5小题）22．（2022春•长宁区校级期末）若，则在上的数量投影为．23．（2022春•青浦区校级期末）若，，则在上的投影数量是．24．（2022春•浦东新区校级期末）已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为．25．（2022春•徐汇区期末）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影为．26．（2022春•奉贤区校级期中）若向量，，则向量在向量的方向上的投影为．四．数量积表示两个向量的夹角（共13小题）27．（2022春•杨浦区校级期中）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC的关系为（）A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部 C．P在AB边所在直线上 D．P是AC边的一个三等分点28．（2022春•浦东新区校级期末）平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（）A． B． C． D．29．（2022春•徐汇区校级期中）在△ABC中，若且，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形30．（2022春•浦东新区校级月考）已知＝（1，﹣2），＝（﹣1，λ），与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是．31．（2022春•嘉定区校级期末）若向量，，已知与的夹角为，则实数k是．32．（2022春•宝山区校级期中）向量，的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是．33．（2022春•浦东新区校级期末）已知＝（λ，2），＝（3，﹣5），且与的夹角θ是钝角，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，） C．（﹣∞，）∪（，） D．（﹣∞，﹣）∪（，）34．（2022春•浦东新区校级期末）如图，O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心35．（2022春•宝山区校级月考）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件36．（2022春•浦东新区校级期末）若，，且，则与的夹角为．37．（2022春•闵行区校级期中）如图所示，点O是△ABC所在平面上一点，并且满足＝m+n（m、n∈R），已知AB＝6，AC＝2，∠BAC＝60°．（1）若实数m＝n＝，求证：O是△ABC的重心；（2）若O是△ABC的外心，求m、n的值；（3）如果O是∠BAC的平分线上某点，则当达到最小值时，求．38．（2022春•长宁区校级期末）（1）已知点A（2，4），B（﹣1，﹣6），点P是直线AB上一点，且，求点P的坐标；（2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数t的取值范围．39．（2022春•浦东新区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点An满足，且；点Bn满足，且，其中n∈N*．（1）求的坐标，并证明点An在直线y＝x+1上；（2）记四边形AnBnBn+1An+1的面积为an，求an的表达式；（3）对于（2）中的an，是否存在最小的正整数P，使得对任意n∈N*都有an＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．五．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共9小题）40．（2022春•宝山区校级月考）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A． B．2+ C．﹣2 D．2﹣41．（2022春•长宁区校级期末）若向量，且与垂直，则实数k＝．42．（2022春•浦东新区校级期末）已知向量，且，则λ的值是（）A．﹣3 B． C．3 D．43．（2022春•虹口区校级期末）已知向量与，若，则k＝．44．（2022春•杨浦区校级期末）已知，向量与垂直，则实数λ＝．45．（2022春•长宁区校级期中）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝（，﹣1），＝（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA＝csinC，则角B＝．46．（2022春•徐汇区校级期末）已知a、b都是非零向量，且+3与7﹣5垂直，﹣4与7﹣2垂直，则与的夹角为．47．（2022春•徐汇区校级期中）已知．（1）若∥，求实数x的值；（2）若，求实数x的值．48．（2022春•浦东新区校级期末）已知平面向量，．（1）当k为何值时，与垂直；（2）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．巩固巩固提升一、单选题1．（2021春·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知向量，对任意的，恒有，则（

）A． B．C． D．2．（2022春·上海闵行·高一校考期末）如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个3．（2022春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）若向量、、满足，且，则、、中最大的是（

）A． B． C． D．不能确定4．（2021春·上海·高一专题练习）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（

）A．3 B．2 C． D．二、填空题5．（2023春·上海青浦·高一校考阶段练习）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围是__________.6．（2022春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为______．7．（2022春·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）若，则在上的数量投影为_______．8．（2022春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知点在单位圆上，点，则的取值范围是___________.9．（2021春·上海·高一专题练习）如图，四边形中，，，，，，，分别是线段，上的点，且，则的最大值为___________.10．（2021春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）如图，在△