考点07 函数的单调性与最值4种常见考法归类（原卷版）

考点07函数的单调性与最值4种常见考法归类考点一确定函数的单调性（一）判断函数的单调性（二）用定义证明函数的单调性（三）求函数的单调区间考点二函数单调性的应用（一）利用单调性比较大小（二）利用函数的单调性解抽象不等式（三）利用函数的单调性求参数的取值范围（1）分式函数（2）二次函数（3）三次函数（4）对数函数（5）分段函数（6）与绝对值有关的单调性问题考点三函数的最值问题（一）利用函数单调性求最值（二）根据函数最值求参数（三）函数不等式恒成立问题（四）函数不等式有解问题考点四抽象函数的单调性问题1、函数单调性的判断方法：定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。具体如下：设x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，记Δx＝x1－x2，Δy＝f(x1)－f(x2)，那么①eq\f(Δy,Δx)＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；eq\f(Δy,Δx)＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零.②增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．（2）性质法：①当常数c>0时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相同；当常数c<0时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相反，特别地，函数y＝－f(x)与y＝f(x)的单调性相反.②当y＝f(x)恒为正或恒为负时，y＝eq\f(1,f（x）)与y＝f(x)的单调性相反.③若c为常数，则函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋c的单调性相同.④若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有为增函数，2）为增函数，3）为减函数，4）为减函数。⑤若f(x)>0且g(x)>0，f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减函数)；若f(x)<0且g(x)<0，f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数.⑥奇(偶)函数在其对称区间上的单调性相同(相反).（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数随着的增大而增大随着的增大而增大随着的增大而减小随着的增大而减小增函数增函数减函数减函数（5）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．对于函数y＝f(x)，如果在某个区间上f′(x)＞0，那么f(x)在该区间上单调递增；如果在某个区间上f′(x)＜0，那么f(x)在该区间上单调递减.2、函数单调性的应用（1）比较大小．比大小常用的方法是利用单调性比大小；搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；数形结合比大小。注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。比较函数值的大小，常由函数的奇偶性、周期性等，将自变量转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性，通过比较自变量的大小来比较其函数值大小.（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．注：自变量的大小关系和函数值的大小关系可正逆互推，即若f(x)是增(减)函数，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2(x1＞x2).在解函数不等式时，可以利用函数单调性的“可逆性”，“脱去”函数符号f，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行.（3）利用函数单调性求参数的取值范围．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。③需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；④分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，注意：“单调区间”与“在区间上单调”的区分(1)函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．(2)单调区间是完整的区间，在区间上单调可能只是部分单调区间．3、求函数最值(值域)的五种常用方法及注意点(1)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值；(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．注：(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域；(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．4、函数最值的重要结论(1)设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x)min≥m.(2)设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x)max≤m.5、抽象函数的单调性（1）所谓抽象函数，一般是指没有给出具体解析式的函数，研究抽象函数的单调性，主要是考查对函数单调性的理解，是一类重要的题型，而证明抽象函数的单调性常采用定义法．（2）一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“f(x＋y)”型，二是“f(xy)”型．对于f(x＋y)型的函数，只需构造f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，再利用题设条件将它用f(x1)与f(x2－x1)表示出来，然后利用题设条件确定f(x2－x1)的范围(如符号、与“1”的大小关系)，从而确定f(x2)与f(x1)的大小关系；对f(xy)型的函数，则只需构造f(x2)＝f(x1·eq\f(x2,x1))即可．6、常见抽象函数及其原型(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋m，原型为一次函数f(x)＝kx＋b.(2)f(x＋y)＝f(x)·f(y)，原型为f(x)＝ax(a>0，且a≠1).(3)f(xy)＝f(x)＋f(y)，原型为f(x)＝logax(a>0，且a≠1).(4)f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)(f(0)≠0)，原型为f(x)＝cosx.考点一确定函数的单调性（一）判断函数的单调性1．（2023·四川·高三统考对口高考）在定义域内单调递减的函数是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·统考二模）下列函数在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．3．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）下列各项中，既是奇函数，又是增函数的为（

）A． B．C． D．4．（2023·北京·高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．5．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的为（

）A． B．C． D．6．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数，则（

）A．是偶函数且是增函数 B．是偶函数且是减函数C．是奇函数且是增函数 D．是奇函数且是减函数（二）用定义证明函数的单调性7．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知函数.(1)求的解析式;(2)判断并证明函数在上的单调性.8．（2023·全国·高三阶段练习）已知奇函数的定义域为(1)求实数的值；(2)判断函数的单调性，并用定义证明；(3)当时，恒成立，求的取值范围．9．（2023·高三课时练习）已知函数（）.(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；(2)用定义证明函数在上是严格增函数；(3)如果当时，函数的值域是，求与的值.（三）求函数的单调区间10．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高三校考开学考试）如图是函数的图象，则函数的减区间是（

）A． B． C． D．11．（2023春·河南洛阳·高三统考期中）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．12．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．13．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是A． B． C． D．14．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．15．（2023·河北·高三统考学业考试）已知函数．关于函数的单调性，下列判断正确的是（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递减16．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调增区间是（

）A．和 B．和C．和 D．和17．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．18．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．和C．和 D．和考点二函数单调性的应用（一）利用单调性比较大小19．（2023秋·天津南开·高三统考阶段练习）已知，则（

）．A． B． C． D．20．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．21．（2023·高三课时练习）若函数在上是严格减函数，则下列各式成立的是（

）A．； B．；C．； D．．22．（2023秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）已知函数(为自然对数的底数)，若，，，则（

）A． B．C． D．23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且，则以下结论正确的是A． B． C． D．24．（2023·重庆·统考模拟预测）设函数，若，，，则（

）A． B．C． D．25．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．（二）利用函数的单调性解抽象不等式26．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知函数是定义域为的减函数，若，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．27．（2023·全国·高三专题练习）设函数则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．28．（2023春·天津宝坻·高三天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（

）A． B． C． D．29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则不等式的解集为（

）A． B．C． D．30．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知函数，则不等式的解集为（

）．A． B．或C． D．31．（2023秋·河北秦皇岛·高三校考期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)（三）利用函数的单调性求参数的取值范围（1）分式函数32．（2023秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的最小值为____________．33．（2023·浙江杭州·模拟预测）设，则“”是“函数在为减函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件34．（2023·全国·高三专题练习）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.（2）二次函数35．（2023秋·河北唐山·高三唐山市第十一中学校考阶段练习）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．36．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______．37．（2023秋·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（

）A． B． C．D．38．（2023秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知函数，若对于任意，都有，则的最小值为（

）A． B． C． D．039．（2023秋·江苏扬州·高三江苏省高邮中学校考开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______．（3）三次函数40．（2023春·北京·高三北京八十中校考期中）已知函数，则“”是“f（x）在R上单调递减”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．（4）对数函数42．（2023秋·湖北·高三校联考期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．43．（2023秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）若函数在区间上为减函数，则的取值范围是___________.44．（2023春·四川成都·高三校考阶段练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．45．（2023秋·河南驻马店·高三校考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．46．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足，，则的值是_______（5）分段函数47．（2023秋·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知f（x）=是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是___.48．（2023秋·宁夏固原·高三隆德县中学校考期中）函数，在定义域上满足对任意实数都有，则的取值范围是____________．49．（2023秋·河南郑州·高三校考期末）函数在R上单调递减的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．50．（2023秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）已知函数(且)是R上的单调函数，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．51．（2023·四川·模拟预测）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．（6）与绝对值有关的单调性问题52．（2023·全国·高三专题练习）“”是“函数在区间上为增函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件53．（2023·全国·高三专题练习）若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．54．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数），若在区间上是增函数，则的取值范围是__________.考点三函数的最值问题（一）利用函数单调性求最值55．（2023秋·山西阳泉·高三统考期末）已知函数在区间上的最小值为，最大值为，则（

）A． B． C．2 D．56．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的最大值为______．57．（2023秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）已知函数是上的偶函数(1)求实数的值，判断函数在,上的单调性；(2)求函数在,上的最大值和最小值．（二）根据函数最值求参数58．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）若函数在区间上的最大值为，则实数_______.59．（2023·上海徐汇·统考二模）已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是__________.60．（2023·全国·高三专题练习）已知函数最小值为，则____________．61．（2023·高三课时练习）已知函数有最小值，则实数a的取值范围是______.62．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）设函