人教版数学八年级上册 14.1 整式乘法 教案

/适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域人教版课时时长〔分钟〕2课时知识点1、同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方2、单项式乘以单项式；单项式乘以多项式；多项式乘以多项式3、同底数幂的除法；零指数指数幂教学目标1.熟记同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法那么,会结合实际问题进行根本运算；开展推理能力和有条理的表达能力。理解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的乘法法那么,并能熟练地运用这些法那么进行相关的运算；了解同底数幂的除法运算性质,并解决一些实际问题,通过归纳规律猜测出零指数幂的意义2.通过自己的计算和归纳概括,得到同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法那么；开展学生的推理能力和表达能力,能熟练灵活地运用法那么进行整式的运算,培养学生的数学能力。通过同底数幂除法运算法那么的导出及运用,让学生体会知识具有普遍联系性和相互转化性,通过同底数幂除法运算,培养学生的运算能力3.在开展推理能力和有条理的表达能力的同时,体会学习数学的兴趣,培养学习数学的信心。教学重点同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法那么；单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的乘法法那么的灵活运用；同底数幂除法法那么的探索和应用,理解零指数指数幂的意义教学难点同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的综合应用；多项式与多项式相乘的乘法法那么的运用；理解零指数指数幂的意义【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入复习预习1.求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。例如an这个表达式中,a是底数,n是指数,an又读作a的n次幂2.乘方的性质：负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数,正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是零,例如(-1)2=1,(-1)-1=-1等二、知识讲解二、知识讲解考点1考点1同底数幂的乘法法那么：一般地,对于任何底数a与任何正整数m、n,=因此我们有am﹒an=am+n〔m,n都是正整数〕即同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意：〔1〕三个或三个以上同底数幂相乘,法那么也适用。即am×an×﹒﹒﹒×ap=am+n+﹒﹒﹒+p(m,n,...,p都是正整数)〔2〕不要忽略指数为1的因数〔3〕底数不一定只是一个数字或一个字母注意法那么的逆用,即am+n=am﹒an〔m,n都是正整数〕考点2考点2幂的乘方的的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘。幂的乘方法那么：一般的,对于任意底数a与任意正整数m,n,因此,我们有(am)n=amn〔m,n都是正整数〕即幂的乘方,底数不变,指数相乘。注意：(1)法那么可推广为[(am)n]p=amnp〔m,n,p都是正整数〕(2)此法那么可以逆用amn=(am)n=(an)m〔m,n都是正整数〕考点3考点3积的乘方法那么：一般的,对于任意底数a,b与任意正整数n,因此,可得出(ab)n=anbn〔n是正整数〕即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。注意：(1)三个或三个以上因式的积的乘方,也具有这一性质.例如(abc)n=anbncn(2)此法那么可逆用：anbn=(ab)n考点4考点4发现、总结1.问题：光的速度约为3×105千米/秒,太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒,你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?解答：(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107如果将上式中的数字改为字母,即ac5·bc2,我们可以得到ac5·bc2=(a·c5)·(b·c2)=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7根据上式总结出单项式与单项式相乘的方法2.问题：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品,它们在一个月内的销售量(单位：瓶),分别是a,b,c。请用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入一种方法是先求三家连锁店的总销售量,再求总收入,即总收入为m(a+b+c),另一种方法是先分别求三家连锁店的收入,再求它们的和,即总收入为ma+mb+mc,所以：m(a+b+c)=ma+mb+mc,根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法3.问题：为了扩大绿地面积,要把街心花园的一块长a米,宽m米的长方形绿地增长b米,加宽n米,求扩地以后的面积是多少？用两种方法表示扩大后绿地的面积。方法一：这块花园现在长(a+b)米,宽(m+n)米,因而面积为(a+b)(m+n)米2．方法二：这块花园现在是由四小块组成,它们的面积分别为：am米2、an米2、bm米2、bn米2,故这块绿地的面积为(am+an+bm+bn)米2．(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一块绿地的面积,(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,根据上式总结出多项式与多项式相乘的方法考点5考点5结合以上情形,我们可以得到单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的乘法法那么,即1.单项式与单项式相乘的乘法法那么：单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,那么连同它的指数作为积的一个因式。2.单项式与多项式相乘的乘法法那么：单项式与多项式相乘,就是先用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。用式子表示为m(a+b+c)=ma+mb+mc(m,a,b,c都是单项式)3.多项式与多项式相乘的乘法法那么:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。用式子表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn考点6考点6同底数幂的除法法那么：一般地,我们有am÷an=am-n〔a≠0,m,n都是正整数,并且m>n〕即同底数幂相除,底数不变,指数相减。注意：〔1〕底数a可以是单项式,也可以是多项式,但底数a不能为0,那么除数为零,除法就没有意义了〔2〕当三个或三个以上同底数幂相除时,也具有这一性质,例如am÷an÷ap=am-n-p〔a≠0,m,n,p是正整数,并且m>n+p〕〔3〕应用这一法那么时,必须明确底数是什么,指数是什么,然后按照同底数幂除法法那么进行计算〔4〕同底数幂的除法和同底数幂的乘法是互为逆运算考点7考点7零指数幂的性质：同底数幂相除,如果被除式的指数等于除式的指数,例如am÷am,根据除法的意义可知所得的商为1,另一方面,如果按照同底数幂的除法来计算,又有am÷am=am-m=a0于是规定：a0=1〔a≠0〕即任何不等于0的数的0次幂都等于1注意：任何一个常数都可以看作与字母0次方的积,因此常数项可以看作是0次单项式三、例题三、例题精析类型一同底数幂相乘例题1例题1计算〔1〕104×102〔2〕(-b)3×(-b)2〔3〕xm+2﹒xm+1﹒xm﹒x【答案】〔1〕104×102=104+2=106〔2〕(-b)3×(-b)2=(-b)3+2=(-b)5〔3〕xm+2﹒xm+1﹒xm﹒x=xm+2+m+1+m+1=x3m+4【解析】三个题中,每个题中幂的底数都相同,根据同底数幂的运算法那么同底数幂相乘,底数不变,指数相加计算即可。例题2例题2计算(1)(a+3)﹒(a+3)2﹒(a+3)5(2)(-x)﹒x2﹒(-x)3(3)(2a-3b)3﹒(3b-2a)4【答案】(1)(a+3)﹒(a+3)2﹒(a+3)5=(a+3)1+2+5=(a+3)8(2)(-x)﹒x2﹒(-x)3=-y﹒y2﹒〔-y3〕=y1+2+3=y6(3)(2a-3b)3﹒(3b-2a)4=(2a-3b)3﹒(2a-3b)4=(2a-3b)3+4=(2a-3b)7【解析】题〔1〕中把a+3看成一个整体,同样适用于同底数幂的乘法法那么；题(2)中第二个幂的底数与其它两个互为相反数,通过幂的运算转化为同底数后后进行计算；题〔3〕同题〔2〕一样底数互为相反数,通过幂的乘方符号法那么转化运算转化成同底数幂后运用同底数幂的运算法那么进行计算。注意：〔1〕同底数幂相乘时,底数可以是单项式,也可以是多项式〔2〕幂的运算中经常用到的变形例题3例题3(1)假设am=2,an=5,那么am+n=________.(2)3y=4,那么3y+2=_______.【答案】(1)am=2,an=5,am+n=am﹒an=2×5=10(2)3y=4,那么3y+2=3y﹒32=4×9=36【解析】此例题运用了同底数幂的乘法法那么,将所求转化为同底数幂的乘法然后整体代入求值,表达了整体思想的应用。类型二幂的乘方例题4例题4计算(1)(a2)3(2)(xm-1)3(3)[(-y)4]5【答案】(1)(a2)3=a2×3=a6(2)(xm-1)3=x3(m-1)=x3m-3(3)[(-y)4]5=(-x)4×5=(-x)20=x20【解析】根据幂的乘方法那么,幂的乘方,底数不变,指数相乘计算即可例题5例题5am=2,求a2m-a4m的值。【答案】a2m-a3m==22-23=4-8=-4【解析】此题逆用幂的乘方法那么,将a2m-a3m转化为(am)2-(am)3后,把am=2整体代入求值即可解答。例题6例题6计算(1)(-2a2b)2(2)-(-3xy2)4(3)(-a3b2)3【答案】(1)(-2a2b)2=(-2)2﹒(a2)2﹒b2=4a4b2(2)-(-3xy2)4=-(-3)4﹒x4﹒(y2)4=-81x4y8(3)(-a3b2)3=(-1)3﹒(a3)3﹒(b2)3=-a9b6【解析】按照积的乘方的运算法那么,把积中的每一个因式分别乘方即可。类型三积的乘方例题7例题7计算(1)46×(0.25)6(2)【答案】(1)46×(0.5)6=(4×0.25)6=16=1(2)==(-1)1013=-1【解析】此题假设先算乘方,运算量太大,注意到4×0.25=1,,即两底数的积容易求出.而指数又是相同的,故可逆用积的乘方的法那么简便计算。类型四单项式乘单项式例题8例题8计算(1)3x2﹒4x(2)2xy2﹒6x2y【答案】(1)3x2﹒4x=3×4﹒x2+1=12x3(2)2xy2﹒6x2y=2×6﹒x1+2y2+1=12x3y3例题9【解析】直接运用单项式与单项式相乘的乘法法那么计算即可。例题9计算(1)(-xy2z3)2﹒(-x2y)3(2)(2x3y)2﹒x3y+(-4x6)(-xy)3【答案】(1)(-xy2z3)2﹒(-x2y)3=x2y4z6﹒(-1)x6y3=-x8y7z6(2)(2x3y)2﹒x3y+(-4x6)(-xy)3=4x6y2﹒x3y+(-4)﹒x6﹒(-1)﹒x3y3=4x9y3+4x9y3=8x9y3【解析】先根据积的乘方法那么进行计算,再直接运用单项式与单项式相乘的乘法法那么计算,题(2)最后还要合并同类项类型五单项式乘多项式例题10例题10计算(1)3x(x-1)(2)2x(3a+4b)(3)(x2y-2xy+y2)﹒(4xy)【答案】(1)3x(x-1)=3x2-3x(2)2x(3a+4b)=6xa+8xb(3)(x2y-2xy+y2)﹒(4xy)=4x3y2-8x2y2+4xy3【解析】直接运用单项式与多项式相乘的乘法法那么计算即可类型六多项式乘多项式例题11例题11计算(1)(3a+1)(a-3)(2)(2a+b)(a-2b)(3)(x-y)(x2+xy+y2)【答案】(1)(3a+1)(a-3)=3a2-9a+a-3=3a2-8a-3(2)(2a+b)(a-2b)=2a2-4ab+ab-2b2=2a2-3ab-2b2(3)(x-y)(x2+xy+y2)=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3【解析】首先运用多项式与多项式相乘的乘法法那么计算,最后一定注意合并同类项例题12例题12计算：【答案】①；②；③；④.【解析】根据同底数幂的除法法那么即同底数幂相除,底数不变,指数相减计算即可。例题13例题13计算(1)(x-2y)5÷(2y-x)2(2)(-a)5÷a2(3)(-ab)4÷(-a2b2)【答案】(1)(x-2y)5÷(2y-x)2=)(x-2y)5÷(x-2y)2=(x-2y)5-2=(x-2y)3(2)(-a)5÷a2=-a5÷a2=-a3(3)(-ab)4÷(-a2b2)=(ab)4÷[-(ab)2]=-(ab)4-2=-(ab)2=-a2b2例题14【解析】底数不同,通过幂的乘方符号法那么转化为同底数幂,再根据同底数幂的除法法那么进行计算例题14假设式子(x-2)0有意义,求x的取值范围【答案】x-2≠0,x≠2【解析】由零指数幂的意义可知,只要底数不等于零即可例题15例题15ax=6,ay=2,求ax-y,a2x-y.【答案】ax-y=ax÷ay=6÷2=3a2x-y=a2x÷ay=(ax)2÷ay=62÷2=36÷2=18【解析】根据同底数幂的除法的逆用及幂的乘方法那么即可计算出结果例题16例题16假设,求的值.【答案】∵32﹒(32)2a+1÷(33)a+1=32﹒34a+2÷33a+3=32+4a+2-3a-3=3a+1=81=34∴a+1=4∴a=3【解析】等式左边底数都不相同,首先转化成同底数幂的形式,再根据同底数幂的乘法和除法法那么进行计算,等式右边转化成与左边同底数的形式列出等量关系解答出结果。四、课堂运用四、课堂运用根底根底1、计算：〔1〕；〔2〕；〔3〕2、计算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕3、计算：〔1〕；〔2〕；〔3〕答案与解析【答案】1解：〔1〕〔2〕〔3〕2解：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕3解：〔1〕〔2〕〔3〕提升提升1、计算：〔1〕；〔2〕2、计算〔1〕；〔2〕3、计算：答案与解析【答案】1解：〔1〕2〕〔2〕3拔高拔高1、计算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕2、计算：〔1〕；〔2〕；〔3〕〔用简便运算〕3、计算：〔1〕；〔2〕答案与解析【答案】1、解：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕2、解：〔1〕〔2〕〔3〕3、解：〔1〕〔2〕五、课堂小结五、课堂小结1.同底数幂的乘法法那么：同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am﹒an=am+n〔m,n都是正整