三角函数的值域与定义域

三角函数的值域与定义域REPORTING目录三角函数基本概念三角函数值域分析三角函数定义域探讨三角函数图像与性质求解三角函数值域与定义域问题方法典型例题解析与练习PART01三角函数基本概念REPORTING

正弦、余弦、正切定义正弦（sine）在直角三角形中，正弦值等于对边长度除以斜边长度，即sin(θ)=对边/斜边。余弦（cosine）在直角三角形中，余弦值等于邻边长度除以斜边长度，即cos(θ)=邻边/斜边。正切（tangent）在直角三角形中，正切值等于对边长度除以邻边长度，即tan(θ)=对边/邻边。角度制与弧度制转换角度制转弧度制将角度乘以π/180，例如30°=30×π/180=π/6弧度。弧度制转角度制将弧度乘以180/π，例如π/3弧度=π/3×180/π=60°。特殊角度三角函数值45°（或π/4弧度）sin(45°)=√2/2,cos(45°)=√2/2,tan(45°)=1。30°（或π/6弧度）sin(30°)=1/2,cos(30°)=√3/2,tan(30°)=√3/3。0°（或0弧度）sin(0)=0,cos(0)=1,tan(0)=0。60°（或π/3弧度）sin(60°)=√3/2,cos(60°)=1/2,tan(60°)=√3。90°（或π/2弧度）sin(90°)=1,cos(90°)=0,tan(90°)不存在。PART02三角函数值域分析REPORTING正弦函数值域正弦函数的值域为[-1,1]，即正弦函数可以取到的最大值为1，最小值为-1。正弦函数在定义域内是周期函数，周期为2π，因此其值域在每个周期内都会重复出现。VS余弦函数的值域同样为[-1,1]，即余弦函数可以取到的最大值为1，最小值为-1。余弦函数也是周期函数，周期为2π，在每个周期内其值域也会重复出现。余弦函数值域正切函数值域01正切函数的值域为全体实数，即正切函数可以取到任意实数值。02正切函数在定义域内不是周期函数，但在每个周期内其值域都会覆盖全体实数。03需要注意的是，正切函数在x=π/2+kπ(k为整数)处存在间断点，即在这些点上函数值不存在。PART03三角函数定义域探讨REPORTING正弦函数的定义域为全体实数，即$xinR$。正弦函数定义域余弦函数的定义域也为全体实数，即$xinR$。余弦函数定义域正弦、余弦函数定义域正切函数定义域及间断点正切函数的定义域为除去形如$x=frac{pi}{2}+kpi$（$kinZ$）的点以外的全体实数，即$xneqfrac{pi}{2}+kpi$（$kinZ$）。正切函数定义域正切函数的间断点为$x=frac{pi}{2}+kpi$（$kinZ$），在这些点上函数值不存在。正切函数间断点复合三角函数定义域对于形如$y=sin(u)$、$y=cos(u)$、$y=tan(u)$的复合三角函数，其定义域取决于内层函数$u$的取值范围。一般来说，需要保证$u$的取值在对应的基本三角函数的定义域内。特殊复合函数定义域例如，对于$y=sin(frac{1}{x})$，其定义域为除去使分母为零的点$x=0$以外的全体实数，即$xneq0$。对于其他复合函数，需要根据具体情况分析其定义域。复合三角函数定义域PART04三角函数图像与性质REPORTING正弦函数y=sinx的图像是一个以2π为周期的波浪形曲线，在[-1,1]之间波动。余弦函数y=cosx的图像也是一个以2π为周期的波浪形曲线，在[-1,1]之间波动，但与正弦函数图像有π/2的相位差。正弦、余弦函数的图像关于原点对称，具有奇偶性。正弦、余弦函数图像特征正切函数y=tanx的图像是一个以π为周期的曲线，在每个周期内从负无穷大增加到正无穷大。正切函数的图像存在垂直渐近线，即当x=(2n+1)π/2（n为整数）时，函数值趋向于无穷大。正切函数的图像关于原点对称，具有奇函数性质。正切函数图像特征03单调性正弦、余弦函数在其周期内既有增区间又有减区间；正切函数在其定义域内的每一个开区间内都是增函数。01周期性正弦、余弦函数具有2π的周期性，而正切函数具有π的周期性。02奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。周期性、奇偶性和单调性PART05求解三角函数值域与定义域问题方法REPORTING观察法求解值域问题01观察函数表达式，判断三角函数类型及角度范围。02根据三角函数性质，确定函数值域。对于复合函数，需先确定内层函数的值域，再结合外层函数求解。03010203将原函数中的三角函数部分进行换元，转化为新变量。通过求解新变量的取值范围，得到原函数的值域。注意换元后新变量的定义域和值域。换元法求解值域问题分析三角函数在定义域内的单调性。结合题目要求，求解定义域问题。根据单调性，确定函数在定义域内的取值范围。利用单调性求解定义域问题PART06典型例题解析与练习REPORTING例题1求函数$y=sinx+cosx$的值域。通过三角函数的和差化积公式，可将原函数转化为$y=sqrt{2}sin(x+frac{pi}{4})$，由于正弦函数的值域为$[-1,1]$，因此该函数的值域为$[-sqrt{2},sqrt{2}]$。求函数$y=tan^2x+1$的值域。由于正切函数的值域为$R$，因此正切函数的平方加1的值域为$[1,+infty)$。解析例题2解析值域相关典型例题解析第二季度第一季度第四季度第三季度例题1解析例题2解析定义域相关典型例题解析求函数$y=frac{1}{sinx}$的定义域。由于正弦函数在$x=kpi$（$k$为整数）处取值为0，因此函数$y=frac{1}{sinx}$在这些点上无定义，所以该函数的定义域为${x|xneqkpi,kinZ}$。求函数$y=sqrt{cosx}$的定义域。由于平方根函数要求被开方数非负，因此$cosxgeq0$，解得$x$的取值范围为$[2kpi-frac{pi}{2},2kpi+frac{pi}{2}]$（$k$为整数），所以该函数的定义域为${x|2kpi-frac{pi}{2}leqxleq2kpi+frac{pi}{2},kinZ}$。求函数$y=2sinx-1$的值域。练习1针对性练习题及答案$[-3,1]$答案求函数$y=frac{1}{1+cosx