随机数的产生与检验

关于随机数的产生与检验1第一节概论1.意义：由于在统计学的不同技术中需要使用随机数，比如从统计总体中随机抽取样本时，或者在将实验动物随机分配到不同的试验组的过程中，或者在进行蒙特卡罗模拟法计算的时候等等，所以。。。2.定义：设随机变量X~F(x),则称随机变量X的抽样序列{Xi}为分布F(x)的随机数。（一）基本概念和定理2第2页,共42页，2024年2月25日，星期天定理定理1.1：设是连续且严格单调上升的分布函数，它的反函数存在，且记为，即2、若随机变量，则的分布函数为1、若随机变量的分布函数为，则3第3页,共42页，2024年2月25日，星期天证明：设随机变量的分布函数为，当时，当时，；当时，所以设的分布函数为，则因为，对任意有。所以的分布函数为4第4页,共42页，2024年2月25日，星期天定理1.1说明了任意分布的随机数均可由均匀分布的随机数变换得到。常简称的随机数为均匀分布随机数。5第5页,共42页，2024年2月25日，星期天手工方法：抽签、掷骰子、摇号等；随机数表法：占用内存大，目前已很少使用；物理方法：放射性衰变、电子设备的热噪音、宇宙射线的触发时间等等；不能重复计算；数学方法：使用最广。（二）产生随机数的一般方法：6第6页,共42页，2024年2月25日，星期天（三）伪随机数伪随机数：在计算机上用数学方法产生均匀随机数是指按照一定的计算方法而产生的数列，它们具有类似于均匀随机变量的独立抽样序列的性质，这些数既然是依照确定算法产生的，便不可能是真正的随机数，因此常把用数学方法产生的随机数称为伪随机数。伪随机数不可能真随机；需要对产生的伪随机数进行各种检验保证其符合独立性条件且分布为要求的分布；7第7页,共42页，2024年2月25日，星期天8第8页,共42页，2024年2月25日，星期天均匀随机数的产生：主要有线性同余法（LCG），组合同余法，反馈位移寄存器方法等

第二节均匀随机数的产生9第9页,共42页，2024年2月25日，星期天同余性质：对称性：a≡b(modM)，则b≡a(modM).传递性:若a≡b(modM)，b≡c(modM)，则a≡c(modM).

（一）同余与线性同余法10第10页,共42页，2024年2月25日，星期天性质4：例如：已知12≡60(mod16)，M=16，取C=6，a=2，b=10，因为(M,C)=2，则有2≡10(mod8)，其中M/(M,C)=16/2=8。或者，取C=12，M=16，因为(M,C)=4，则有1≡5(mod4)，其中M/(M,C)=16/4=4。11第11页,共42页，2024年2月25日，星期天求余运算求余运算的式子A(modM)定义为：其中表示求的整数部分。12第12页,共42页，2024年2月25日，星期天线性同余法（LinearCongruenceGenerator，LCG）的递推公式为：13第13页,共42页，2024年2月25日，星期天线性同余法的周期：14第14页,共42页，2024年2月25日，星期天线性同余法产生的序列一定会重复，因为周期最多只有M个可能取值。15第15页,共42页，2024年2月25日，星期天说明：满周期是T=M时。16满周期第16页,共42页，2024年2月25日，星期天当c≠0时，下式称为混合同余发生器，当c=0时，称为乘同余发生器，此时当模为素数时，称它为素数模乘同余发生器。

17补充1：混合同余发生器与素数模乘同余发生器第17页,共42页，2024年2月25日，星期天两个常用的混合同余发生器：18第18页,共42页，2024年2月25日，星期天常用的素数模乘同余发生器：19第19页,共42页，2024年2月25日，星期天常用的素数模乘同余发生器：20第20页,共42页，2024年2月25日，星期天思想：

先用一个随机数发生器产生的随机数列为基础，再用另一个发生器对随机数列进行重新排列得到的新数列作为实际使用的随机数。这种把多个独立的发生器以某种方式组合在一起作为实际使用的随机数，希望能够比任何一个单独的随机数发生器得到周期长、统计性质更优的随机数，即组合发生器。

21补充2：组合发生器：第21页,共42页，2024年2月25日，星期天

Maclaren和Marsaglia在1965年提出的著名的组合发生器是组合同余发生器,该算法的具体步骤如下：22第22页,共42页，2024年2月25日，星期天2.用第二个LCG产生一个随机整数,要求;3.令，然后再用第一个LCG产生一个随机数,令；置;4.重复2~3，得随机数列，即为组合同余发生器产生的数列。若第一个LCG的模为，令，则为均匀随机数。1.用第一个LCG产生个随机数，一般取。这个随机数被顺序地存放在矢量中。置;23步骤：第23页,共42页，2024年2月25日，星期天检验目的：检验均匀伪随机数符合独立同均匀分布；两种检验方法统计检验：对生成的伪随机数进行假设检验理论检验：从理论上讨论随机数发生器性质统计检验常用近似正态统计量和ⅹ2统计量以下检验方法一般假设用某发生器生成了均匀分布伪随机数r1，r2，...，rn，来检验这些生成的随机数的各种统计量。24第三节随机数检验第24页,共42页，2024年2月25日，星期天251、特征量检验（参数检验）第25页,共42页，2024年2月25日，星期天26第26页,共42页，2024年2月25日，星期天27注：若卡方值过大，则拒绝原假设（即分布不是均匀的）：检验随机数在（0,1）区间内分布时均匀的（一）卡方检验法：第27页,共42页，2024年2月25日，星期天（二）Kolmogorov-SmirnovtestK-S检验是连续分布的拟合性检验。检验样本的经验分布函数与总体的分布函数间的差异是否显著。28第28页,共42页，2024年2月25日，星期天29注：R软件检验随机数是否服从某一分布时，可采用这种检验方法。第29页,共42页，2024年2月25日，星期天3、独立性检验：自相关系数的检验30随机数r1,r2,……,rn中的前后项是否是统计相关性是否是显著的。相关系数反映了数据间的线性相关程度，若独立，则相关系数必为0（反之不一定）。

原假设H0：第30页,共42页，2024年2月25日，星期天31第31页,共42页，2024年2月25日，星期天Rrequiresample(1:100,20)#从1到100中无重复抽取20个数；runif(n,min=0,max=1)#产生n个0-1的均匀分布随机数；rnorm(n,mean=0,sd=1)#产生n个以0为均值，1为方差的正态分布随机数；rexp：TheExponentialDistribution(wikilink)(指数分布，独立随机事件发生的时间间隔)rf：TheFDistribution(wikilink)(F分布，两个卡方分布除以各自自由度)rbeta：TheBetaDistribution(wikilink)rbinom：TheBinomialDistribution(wikilink)(二项分布)rcauchy：TheCauchyDistribution(wikilink)(柯西分布，N阶矩都不存在的分布...)rchisq：The(non-central)Chi-SquaredDistribution(wikilink)(卡方分布，正态分布平方的分布)32第32页,共42页，2024年2月25日，星期天rgamma：TheGammaDistribution(wikilink)(伽玛分布)rpois：ThePoissonDistribution(wikilink)(泊松分布，单位时间内随机事件发生的次数)rgeom：TheGeometricDistribution(wikilink)(几何分布，在第n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率)rhyper：TheHypergeometricDistribution(wikilink)(超几何分布)rlnorm：TheLogNormalDistribution(wikilink)(对数正态分布，正态分布的指数的分布)rlogis：TheLogisticDistribution(wikilink)(逻辑分布)rmultinom：TheMultinomialDistribution(wikilink)(多变量正态分布)rnbinom：TheNegativeBinomialDistribution(wikilink)(负二项分布)

33第33页,共42页，2024年2月25日，星期天Rks.test分布检验ks.test(data,"pnorm",mean(data),sd(data))34第34页,共42页，2024年2月25日，星期天35第35页,共42页，2024年2月25日，星期天假设检验Matlab-require%M-file函数f的定义：判断概率函数functionf=p_judge(A,alpha)%判别所给数据源在置信率为0.05时的概率分布形式。

A=A(:);%数据集A的形式为n×1。

randperm(n)%产生1到n的均匀分布随机序列a=normrnd(0,1,1,6)%正态分布随机数

36第36页,共42页，2024年2月25日，星期天正态分布[mu,sigma]=normfit(A);

p1=normcdf(A,mu,sigma);

[H1,s1]=kstest(A,[A,p1],alpha)

n=length(A);ifH1==0

disp('该数据源服从正态分布。')

else

disp('该数据源不服从正态分布。')

end

37第37页,共42页，2024年2月25日，星期天Gama分布phat=gamfit(A,alpha);

p2=gamcdf(A,phat(1),phat(2));

[H2,s2]=kstest(A,[A,p2],alpha)ifH2==0

disp('该数据源服从γ分布。')

else

disp('该数据源不服从γ分布。')

end

38第38页,共42页，2024年2月25日，星期天泊松分布lamda=poissfi