断裂力学讲义

目录第一章绪论 2§1.1断裂力学的概念 2§1.2断裂力学的根本组成 2第二章线弹性断裂力学概述 4§2.1裂纹及其对强度的影响 4§2.2断裂理论 6第三章裂纹尖端区域的应力场及应力强度因子 13§3.1Ⅰ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 13§3.2Ⅱ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 18§3.3Ⅲ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 20§3.4应力强度因子确实定 22

第一章绪论§1.1断裂力学的概念任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。一提到断裂，人们自然而然地就会联想到各种工程断裂事故。在断裂力学产生之前，人们根据强度条件来设计构件，其根本思想就是保证构件的工作应力不超过材料的许用应力，即σ≤[σ]～平安设计平安设计对确保构件平安工作也确实起到了重大的作用，至今也仍然是必不可少的。但是人们在长期的生产实践中，逐步认识到，在某些情况下，根据强度条件设计出的构件并不平安，断裂事故仍然不断发生，特别是高强度材料构件，焊接结构，处在低温或腐蚀环境中的结构等，断裂事故就更加频繁。例如，1943～1947年二次世界大战期间，美国的5000余艘焊接船竟然连续发生了一千多起断裂事故，其中238艘完全毁坏。1949年美国东俄亥俄州煤气公司的圆柱形液态天然气罐爆炸使周围很大一片街市变成了废墟。五十年代初，美国北极星导弹固体燃料发动机壳体在试验时发生爆炸。这些接连不断的工程断裂事故终于引起了人们的高度警觉。特别值得注意的是，有些断裂事故竟然发生在σ<<[σ]的条件下，用传统的平安设计观点是无法解释的。于是人们认识到了传统的设计思想是有缺欠的，并且开始寻求更合理的设计途径。人们从大量的断裂事故分析中发现，断裂都是起源于构件中有缺陷的地方。传统的设计思想把材料视为无缺陷的均匀连续体，而实际构件中总是存在着各种不同形式的缺陷。因此实际材料的强度大大低于理论模型的强度。断裂力学恰恰是为了弥补传统设计思想这一严重的缺陷而产生的。因此，给断裂力学下的定义就是断裂力学是研究有裂纹〔缺陷〕构件断裂强度的一门学科。或者说是研究含裂纹构件裂纹的平衡、扩展和失稳规律，以保证构件平安工作的一门科学。断裂力学在航空、机械、化工、造船、交通和军工等领域里都有广泛的应用前景。它能解决抗断设计、合理选材、制定适当的热处理制度和加工工艺、预测构件的疲劳寿命、制定合理的质量验收标准和检修制度以及防止断裂事故等多方面的问题，因此是一门具有高度实用价值的学科。希望大家努力把这门课学好。§1.2断裂力学的根本组成由于研究的观点和出发点不同，断裂力学分为断裂力学微观断裂力学研究原子位错等等比晶粒尺寸还小的微观结构的断裂过程，根据对这些过程的了解，建立起支配裂纹扩展和断裂的判据。宏观断裂力学在不涉及材料内部的断裂机理的条件下，通过连续介质力学分析和试件的实验做出断裂强度的估算与控制。其中，线弹性断裂力学研究的对象是线弹性裂纹固体，认为裂纹体内各点的应力和应变的关系都是线性的，遵守Hook定律〔σ∝ε〕。适用于塑性区的尺寸远小于裂纹的尺寸的情况。弹塑性断裂力学那么采用弹塑性力学的分析方法来分析裂纹固体，适用于裂纹尖端塑性区的尺寸接近或大于裂纹尺寸的情况。人们对宏观断裂力学的研究已经取得了巨大的进展，而对于微观断裂力学的研究还处于起始阶段。限于学时，我们主要介绍宏观断裂力学的根本原理及其在工程中的应用。事实上，在金属材料中，严格的线弹性断裂问题几乎不存在，因为裂纹的扩展总是伴随有裂纹尖端的塑性变形。但理论和实验都证明，只要塑性区的尺寸远小于裂纹的尺寸，那么经过适当的修正，用线弹性理论分析不至于产生太大的误差。对于低韧性高强度钢，对于大断面尺寸的构件以及低温条件下工作的构件，往往在断裂前裂尖塑性区的尺寸是很小的，因此可用线弹性断裂理论进行分析。线弹性断裂力学采用弹性力学的方法进行分析，理论比拟严谨，也比拟成熟，是断裂力学的根底。而对于一般情况下的中低强度钢构件，在裂纹扩展前或扩展过程中，裂纹尖端塑性区的尺寸往往接近甚至大于裂纹尺寸，这时再用线弹性断裂理论来分析裂纹的行为就会导致太大的误差，因此需采用弹塑性力学的分析方法，这就是弹塑性断裂力学。尽管弹塑性断裂力学在工程应用中具有更重大的意义，但是由于用弹塑性断裂力学分析方法处理具体问题时存在较大的数学上的困难，因此这一领域的研究远不如线弹性断裂力学那样充分。第二章线弹性断裂力学概述§2.1裂纹及其对强度的影响一、裂纹的概念实际构件中的缺陷是多种多样的，主要包括缺陷～统称为裂纹。二、裂纹的分类1．根本型裂纹按几何特征分为：〔a〕穿透裂纹：贯穿构件厚度〔或深度延伸到构件厚度的一半以上〕。常处理成理想尖裂纹〔即裂尖曲率半径ρ→0〕。〔b〕外表裂纹：位于构件外表，或其深度<<构件厚度，常简化为半椭圆形裂纹。〔c〕深埋裂纹：位于构件内部，常简化为椭圆片状裂纹或圆片裂纹。〔a〕穿透裂纹〔b〕外表裂纹〔c〕深埋裂纹图1—1裂纹的几何特征分类图按力学特征分为：〔a〕张开型〔Ⅰ型〕：在与裂纹面正交的拉应力作用下，裂纹面产生张开位移而形成的一种裂纹。受力特征：受与裂纹面正交的拉应力作用；位移特征：位移与裂纹面正交，裂纹上、下外表沿拉应力方向〔y方向〕的位移v不连续。〔b〕滑开型〔Ⅱ型〕：在裂纹面内且与裂纹尖端线垂直的剪应力作用下，裂纹面产生沿该剪应力方向的相对滑动而形成的一种裂纹。受力特征：受在裂纹面内且与裂纹尖端线垂直的剪应力作用；位移特征：裂纹上、下外表沿该剪应力方向相对滑动；裂纹上、下外表沿该剪应力方向〔x方向〕的位移u不连续。〔c〕撕开型〔Ⅲ型〕：在裂纹面内且与裂纹尖端线平行的剪应力作用下，裂纹面产生沿裂纹面外的相对滑动而形成的一种裂纹。受力特征：受在裂纹面内且与裂纹尖端线平行的剪应力作用；位移特征：裂纹上、下外表沿该剪应力方向相对滑动；裂纹上、下外表沿该剪应力方向〔z方向〕的位移w不连续。〔a〕张开型裂纹〔b〕滑开型裂纹〔c〕撕开型裂纹图1—2裂纹力学特征分类图在三种根本型裂纹中，Ⅰ型裂纹最常见且最危险，是我们研究的重点。2．复合型裂纹由两种或两种以上的根本型裂纹组成的裂纹叫复合型裂纹。下面估算一下裂纹对材料强度的影响有多大。三、裂纹对材料强度的影响以图1—3所示无限大薄平板为例，该板承受单向均匀拉应力的作用，板正中有一个贯穿的椭圆形切口，是一个Ⅰ型裂纹。在裂纹尖端处将产生局部应力集中现象，但在离裂尖稍远处，应力在横截面上的分布是均匀的。由线弹性力学理论可知，此时椭圆长轴端点处的拉应力最大，其值为图1—3含椭圆切口受拉伸无限大板〔2—1〕其中，σ：板两端承受的均匀拉应力；a：贯穿的椭圆形切口的半长轴；ρ：椭圆长轴端点的曲率半径。根据固体物理学理论，固体材料受拉时，其理论断裂强度为〔2—2〕其中，E：弹性模量；γ：固体材料的外表能密度；：固体材料的原子间距。按照传统的强度理论，当切口端点处的最大应力到达材料的理论断裂强度时，也就是σmax=σt时，材料断裂。将〔2—1〕和〔2—2〕代入此式，并考虑到>>1，可得因为这个式子就是破坏时得到的，因此，由这个式子得到的σ就是裂尖处首先到达破坏时该板两端对应的临界拉应力，记为，就是说〔2—3〕σc的物理意义是，当该板两端承受的均匀单向拉应力σ到达由〔2—3〕式表示的σc时，裂纹尖端处首先发生破坏。分析一下〔2—3〕式的合理性。按照〔2—3〕，当裂纹为理想尖裂纹时，，这就是说，固体材料一旦有了理想尖裂纹，其临界拉应力就等于零，此时板两端只要有拉应力作用，就一定有，材料就一定会发生破坏，换句话说，就是固体材料一旦有了理想尖裂纹，它就不再具有强度了，一受力就会破坏，这个结论显然与事实不符。这种矛盾是由弹性理论的局限性造成的。弹性理论把材料看成是无间隔的连续介质〔〕，而连续介质力学那么把材料看成是由无数原子或分子组成的，各原子或分子之间都有一定的间隔，因此裂纹的曲率半径最小也就是等于原子间距，不可能等于零〔〕。因此当固体材料中的裂纹为尖裂纹时，〔2—3〕式中的ρ应取b0，由此得〔2—4〕也就是说，当ρ＞b0时，板两端对应的临界拉应力由〔2—3〕式确定；当ρ＜b0时，板两端对应的临界拉应力由〔2—4〕式确定。比拟一下有裂纹和无裂纹时临界应力相差多大。无裂纹时，各点应力均匀分布，因此外界作用的拉应力增大时，各点的拉应力始终相等，当各点的拉应力同时都增大到时，各点同时发生破坏。因此无裂纹时，临界应力σt由〔2—2〕式得到；而有裂纹时临界应力σc由〔2—4〕式得到。如果取宏观裂纹的尺寸为，那么两者之比为的量级为，因此2a=。而2a那么表示裂纹的长度，这就是说，只要薄板上有一个长为的理想尖裂纹，其临界应力就会降低100倍。由此可见：裂纹将会引起强烈的应力集中，从而使材料的临界应力远远低于其理论断裂强度。由〔2—4〕式还可以看出，当σ到达时，裂尖处发生破坏，从而使裂纹进一步扩展，裂纹长度随之增大，而a的增大又使进一步降低，从而使裂纹进一步扩展，最终导致整个构件断裂。因此〔2—4〕式是裂纹失稳扩展的条件，称为断裂判据。各种不同的断裂判据构成了不同的断裂理论。§2.2断裂理论各种不同的断裂理论都有不同的断裂判据，适用于不同的材料和工况。断裂理论主要有两大类，一类是能量释放率断裂理论，另一类是应力强度因子断裂理论。一、能量释放率断裂理论这类理论都是从能量转换与守恒的角度出发，导出相应的断裂判据。最主要的有Griffith理论，Orowan理论和能量释放率断裂理论。下面分别加以简要介绍。1．Griffith理论该理论是英国学者Griffith在对玻璃、陶瓷等脆性材料进行断裂分析时提出的。他用这种理论成功地解释了为什么这类材料的实际断裂强度比预期的理论断裂强度低得多的问题。〔a〕〔b〕图1—4Griffith薄平板以长为l，宽为b，厚度为t的薄平板为研究对象，在其上、下端作用均布载荷，系统处于平衡状态后，把上、下端固定，形成能量封闭系统。设此时板内的总应变能为，然后在板正中沿垂直于σ的方向开一个长为2a的贯穿裂纹，并满足2a<<b，l，因此可以视为“无限大板”。开裂后在裂纹处形成了上、下两个自由外表，而且这两个自由外表发生了相对的张开位移，在开裂过程中，作用在这两个外表之间的拉应力与这两个外表的位移方向始终相反，因此做负功，从而使板内的应变能减少了U〔就是说，开裂后板内的应变能为－U〕。Griffith经推导得出，当椭圆孔的短轴尺寸b→0时，板内应变能的减少量为其中，A=2at，为裂纹的单侧自由外表的面积。上、下自由外表的面积之和为2A。自由外表有外表能，设自由外表的外表能密度为γ，T=2Aγ为研究裂纹以后的开展趋势，需要利用势能极值原理，因此首先应算出开裂后系统的总势能P。在此问题中，系统的总势能由板内应变能和自由外表的外表能两局部组成系统的总势能=板内应变能+自由外表的外表能开裂前系统无自由外表的外表能，因此其总势能就等于其板内的应变能，开裂后板内的应变能减少了U，因此其板内的应变能为，而其自由外表的外表能为T，因此开裂后系统的总势能为+T，以开裂前系统的初始状态为势能零点，那么开裂后系统的总势能P为P=〔+T〕－=－U+T=根据势能驻值原理，当P取极大值时，系统处于不稳定平衡状态，所谓不稳定平衡，是指系统稍稍偏离了这一平衡状态后，没有自动回复到这一平衡状态的趋势。只有当P取极小值时，系统才处于稳定平衡状态。所谓稳定平衡，是指系统稍稍偏离了这一平衡状态后，有自动回复到这一平衡状态的趋势。由高数知识可知，总势能P取极大值的条件为将P代入上面的两个式子，可得∵π、E、A和都大于0，∴，∴总是成立的。而那么有三种可能：大于零、等于零或小于零。，由势能驻值原理可知，当系统的势能取极小时，系统最稳定。因此，如果某种变化能使系统的势能变小，这种变化就能继续开展下去，直至势能取极小为止；反之，如果某种变化能使系统的势能增大，这种变化就不能继续开展下去，此时系统处于静止状态。据此可知，当<0时，随着裂纹面积的增大，系统的总势能变小，因此此时裂纹失稳扩展，直至断裂；当>0时，随着裂纹面积的增大，系统的总势能增大，因此此时系统处于静止状态，裂纹不扩展；当=0时，总势能P取极大值，裂纹处于不稳定平衡状态。即～断裂判据〔2—6〕下面我们分析一下上式的物理意义。～裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能；～形成单位面积的贯穿裂纹时所需的外表能；因此上式的物理意义是：当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能恰好等于形成单位自由外表时所需的外表能时，系统处于不稳定平衡状态；当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能大于形成单位自由外表时所需的外表能时，系统失稳，裂纹不断扩展，直至断裂；当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能小于形成单位自由外表时所需的外表能时，系统处于静止状态，裂纹不扩展。所以〔2—6〕式的第一式是从能量的角度得出的断裂判据。给定裂纹长度a，由〔2—6〕式的第一式可得，此时对应的临界应力为，给定板两端的应力σ，由〔2—6〕式的第一式可得，此时对应的裂纹临界尺寸为，将〔2—6〕式的第一式与这两个式子写在一起，就得到了Griffith断裂判据〔2—7〕下面对Griffith断裂判据作几点说明〔1〕Griffith断裂判据的物理意义第一式表示：当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能恰好等于形成单位自由外表时所需的外表能时，裂纹处于不稳定平衡状态；当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能大于形成单位自由外表时所需的外表能时，裂纹失稳扩展而断裂；当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能小于形成单位自由外表时所需的外表能时，裂纹处于静止状态，不扩展。第二式表示：当裂纹长度a给定时，如果板两端的应力σ＞，裂纹就会失稳扩展而断裂；如果σ＜，裂纹处于静止状态，不会扩展；如果σ=，裂纹处于不稳定平衡状态。第三式表示：当板两端的应力σ给定时，如果裂纹长度a＜ac，裂纹将处于静止状态，不会开展；如果a＞ac，裂纹就会失稳扩展而断裂；如果a=ac，裂纹处于不稳定平衡状态。〔2〕这几个公式是由薄板导出的，对应平面应力状态，在公式中用代替E，就得到平面应变状态下的Griffith断裂判据。〔3〕该理论仅适用于完全脆性材料Griffith判据〔2—7〕式中的临界应力是在理想尖裂纹的前提下推导出来的，而〔2—4〕式表示的是时的临界应力，因此两者表示的是同一个量。在一定的范围内这两个公式算得的临界应力应该是相等的。此时应有因此，当裂纹尖端的曲率半径满足〔2—8〕时，〔2—4〕式和〔2—7〕式算得的临界应力近似相等，此时用Griffith理论算得的临界应力是比拟准确的；当裂纹尖端的曲率半径超出这个范围时，用〔2—4〕式算得的临界应力较准确，因为前面讲过，当时，用〔2—4〕算临界应力就是比拟准确的，而此时用〔2—7〕式算得的临界应力与用〔2—4〕式算得的临界应力差得较大，此时Griffith理论已失效。因此，把满足〔2—8〕式的裂纹称为Griffith裂纹。Griffith理论仅适用于完全脆性材料，而实际上绝大多数金属材料断裂前和断裂过程中裂尖处存在塑性区域，裂尖也会因塑性变形而钝化，此时Griffith理论失效，因此Griffith理论的适用范围是很窄的。为了克服Griffith理论的局限性，Orowan对Griffith理论进行了修正，提出了Orowan理论2．Orowan理论Orowan在研究金属材料裂纹扩展过程时，提出了“塑性区”的概念，认为裂纹扩展前在其尖端附近要产生下一个塑性区，因此裂纹扩展时，不仅需要为其提供形成新外表所需的外表能，而且需要为其提供塑性变形所需的能量，也就是塑性功。因此，塑性功有阻止裂纹扩展的作用。还是以刚刚那块开裂纹的薄板为研究对象，设裂纹扩展单位面积时，内力对塑性变形所做的塑性功为Г，叫塑性功率，于是裂纹面积为A时的总塑性功为Λ=2A仍以开裂前系统的势能为势能零点，那么开裂后系统的势能为P=－U+T+Λ对于金属材料，通常Γ比γ大三个数量级，因此上面的三个式子变成了Orowan断裂判据〔2—9〕第一式说明：当,即裂纹扩展单位面积释放的应变能恰好等于内力对塑性变形所做的塑性功时，裂纹处于不稳定平衡状态；当时，裂纹就会失稳扩展而断裂；当时，裂纹就不会扩展〔处于静止状态〕。第二式说明：当裂纹长度a给定时，如果板两端的应力σ=，那么裂纹将处于不稳定平衡状态；如果σ＞，裂纹就会失稳扩展而断裂；如果σ＜，裂纹就不会扩展〔处于静止状态〕。第三式说明，当板两端的应力σ给定时，如果裂纹长度a=，那么裂纹将处于不稳定平衡状态；如果a＞，裂纹就会失稳扩展而断裂；如果a＜，裂纹就不会扩展〔处于静止状态〕。以上三个断裂判据是等效的。几点说明：1．Orowan理论是Griffith理论的修正。可用于金属；2．这几个公式是由薄板导出的，对应平面应力状态，在公式中用代替E，就得到平面应变状态下的Orowan断裂判据。下面我们从更广义的功能转换关系出发，来研究裂纹扩展过程。由此可以得到3．能量释放率断裂判据设一个裂纹的面积为A，在裂纹面积扩展了dA的过程中，载荷所做的功为dW，体系的弹性应变能增加了dU，塑性功增加了dΛ，裂纹外表能增加了dT。dU、dΛ和dT都属于系统的内能，第一项为哪一项弹性应变能，属于保守内能，后两项属于耗散内能。假定这个过程是准静态绝热过程，也就是说不考虑热功转换，那么根据能量转换与守恒定律，体系内能的增加应等于外力功，因此有dU+dΛ+dT=dW其中，dU+dΛ是裂纹面积扩展dA需要消耗的能量，也就是阻止裂纹扩展的能量。因此要使裂纹扩展，系统必须提供能量。设裂纹面积扩展dA时弹性系统释放出的能量为－dΠ，这局部能量转化为体系的耗散内能增量。因此，外力做功dW可以转化为两局部；一局部是体系的弹性应变能增量dU，另一局部是体系的耗散内能增量-dΠ，因此有耗散内能增量+弹性应变能增量=外力功即－dΠ+dU=dW由此得－dΠ=dW－dU〔2—10〕定义裂纹扩展单位面积时弹性系统释放的能量叫裂纹扩展能量释放率，记为G，由〔2—10〕式得〔2—11〕定义裂纹扩展单位面积时需要消耗的能量为裂纹扩展阻力率，记为R或，裂纹扩展dA时需要消耗的能量为其外表能增量dT和塑性功增量dΛ之和，因此，裂纹扩展单位面积时需要消耗的能量为对于一定的材料而言，裂纹扩展单位面积需要消耗的塑性功和外表能都是材料常数，仅与材料本身的性质有关，而与外载情况和裂纹几何形状无关。因此，R或也仅与材料本身的性质有关，而与外载情况和裂纹几何形状无关。是一个反映材料抵抗断裂破坏能力的常数，称为材料的断裂韧度，可以由材料实验来测定。当裂纹扩展能量释放率增大到等于裂纹扩展阻力率时，裂纹将失去平衡，开始失稳扩展。由此得～能量释放率断裂判据〔2—12〕G和的国际单位为，其工程单位为。二、应力强度因子断裂理论构件的断裂起源于裂纹，而裂纹在外界因素作用下处于静止或平衡或开展，都与裂纹尖端附近的应力场有直接关系。Irwin通过裂纹尖端附近应力场的研究，提出了一个新的参量~应力强度因子，并建立了相应的应力强度因子断裂判据，这一判据在工程上得到了广泛的应用。那么，应力强度因子断裂判据是怎样建立的呢？我们研究局限于裂纹尖端附近区域的应力场和位移场。坐标原点取在裂纹尖端，r、θ为极坐标。运用线弹性理论和复变函数理论可以求得裂纹尖端附近任意一点A〔r，θ〕处的应力分量和位移分量为图1—5裂尖附近应力场Ⅰ型裂纹：〔2—13〕〔2—14〕Ⅱ型裂纹：〔2—15〕〔2—16〕Ⅲ型裂纹：〔2—17〕〔2—18〕其中，KⅠ、KⅡ和KⅢ分别叫Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂纹的应力强度因子。它们反映了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂纹尖端应力场的强弱程度。是与外载性质、裂纹及裂纹弹性体几何形状等因素有关的一个量。写成通式就是：式中的α、β和γ分别是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂纹的几何形状因子，σ为拉应力，τ和分别为面内剪应力和面外剪应力。相应的应力强度因子断裂判据为〔2—19〕〔2—20〕〔2—21〕其中的分别是KⅠ、KⅡ和KⅢ的临界值，它是材料常数，称为材料的断裂韧度，通过实验测定。这就象材料力学中，应力σ是构件载荷和构件的形状尺寸的函数，而屈服极限是由实验测定的材料常数一样。第三章裂纹尖端区域的应力场及应力强度因子裂纹所处的状态可分为三种：静止状态、不稳定平衡状态和失稳扩展状态。裂纹究竟处于哪种状态，与裂纹尖端附近的应力场有直接关系。Irwin〔爱尔文〕通过对裂纹尖端附近应力场的研究，提出了一个新的参量～应力强度因子，并建立了相应的断裂判据，在工程上得到了广泛的应用。下面用复变函数的方法推导裂纹尖端附近的应力场与位移场，由此导出应力强度因子的概念。§3.1Ⅰ型裂纹尖端区域的应力场与位移场1．Westergaard〔韦斯特哥德〕应力函数Westergaard应力函数是用来求解Ⅰ型裂纹尖端附近区域的应力场与位移场的。根据弹性力学理论，对于平面应力问题，只需找出同时满足双调合方程和这个问题的边界条件的应力函数，就可以把应力函数代入下面的公式求解应力〔3—1〕满足调和方程的函数叫调和函数。其中，，称为拉普拉斯算子。满足双调和方程的函数叫双调和函数。显然，调和函数必然是双调和函数。应力函数确定后，先利用〔2—1〕求出各应力分量，然后将各应力分量代入广义虎克定律，可求得裂尖附近的应变分量〔3—2〕其中，E为杨氏模量，μ为泊松比。将应变分量代入下面的几何方程后积分，就可以得到裂尖附近的位移场〔3—3〕因此，问题的关键就是找出同时满足边界条件和双调和方程的应力函数。复变解析函数的实部和虚部都是调和函数，而调和函数的线性组合必然也是调和函数，因此也必然是双调和函数。因此可以利用复变解析函数的实部和虚部〔不一定非得是同一个复变解析函数的实部和虚部〕线性组合得到双调和函数，并使这个双调和函数满足所研究的问题的边界条件。就是我们要找的应力函数。而复变解析函数的任意次积分也必然是复变解析函数，因此，Westergaard选取了某一个复变解析函数的一次积分和二次积分的线性组合，作为应力函数，用来求解Ⅰ型裂纹尖端附近区域的应力场和位移场。研究如图3—1所示的“无限大”板，板上有一个长为2a的中心贯穿裂纹，这个板在无限远处受双向等值拉伸应力的作用。属于Ⅰ型裂纹问题，Westergaard图3—1〔3—4〕其中，～的一次积分；～的二次积分。把〔3—4〕式代入〔3—1〕、〔3—2〕和〔3—3〕式。∵，dz=dx+idy，∴(3—5)同理，将上式中的换成，将换成，可得〔3—6〕同理，将上式中的换成，将换成，可得〔3—7〕因此有类似可得将以上各式代入〔3—1〕，可得〔3—8〕将〔3—8〕代入〔3—2〕式，可得〔3—9〕将〔3—9〕代入〔3—3〕式，并积分，得〔3—10〕因此，找到解析函数，就可以得到Westergaard应力函数，于是裂纹尖端处的应力场和位移场就可以由公式〔3—8〕和〔3—10〕求得。因此问题的关键是找一个具体的解析函数，代入〔3—8〕式，所得到的应力分量应能满足图3—1所示问题的全部边界条件2．解析函数确实定将x坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，那么图3—1所示问题的边界条件为：〔1〕当y=0，x→∞时，。〔2〕在y=0，的裂纹自由面上，；而在时，随，。我们就是要利用这两个边界条件确定。由〔3—8〕式可知，当y=0时，且z=x+iy=x。因为问题是关于y轴对称的，所以中的含x项应该是平方项；又因为时，，所以的分母中应有1－的因式。又因为当x→∞时，1－→1，而此时要求=σ，因此分子应该取σ。综上所述，试选但是这样的在│x│＜a时，，所以边界条件还不能完全满足。而虚数的实部为0，所以应该使在│x│＜a时是虚数，自然想到选平方根函数就可以到达目的。因此把上面的在改良为这里应注意，本来，但是本结构是对称的，所以只需要研究x≥0的那一半就可以了，所以取=x。因此最终要找的解析函数为〔3—11〕将代入〔3—8〕、〔3—9〕和〔3—10〕，就可以求出裂纹尖端区域的应力场、应变场和位移场。3．Ⅰ型裂纹尖端区域的应力场与位移场图3—2为计算方便，把坐标原点从裂纹中心O点移至裂纹左端点处，设新坐标系中任意一点的复数坐标为ξ，那么两坐标系的换算关系为ξ=(x－a)+iy=(x+iy)－a=z－a即z=ξ+a〔3—12〕代入〔3—11〕得〔3—13〕令〔3—14〕那么〔3—15〕由〔3—14〕可知，当→0时，，而对于给定的受力状态和裂纹，σ和a都是常数，因此，在裂尖附近为一个实常数。令这个实常数为，即因此有〔3—16〕〔3—16〕是利用解析函数求Ⅰ型裂纹的应力强度因子的定义式。知道了裂纹对应的解析函数，就可以利用〔3—16〕式求出应力强度因子。因此，在裂纹尖端处→0的一个很小的范围内，解析函数可以写成〔3—17〕为研究方便，取极坐标系，令ξ=r.eiθ=r(cosθ+isinθ)〔3—18〕〔3—18〕代入〔3—17〕得〔3—19〕〔3—17〕对ξ求导后再把〔3—18〕代入得〔3—20〕〔3—17〕对ξ积分后再把〔3—18〕代入得〔3—21〕将〔3—19〕、〔3—20〕和〔3—21〕中的实部和虚局部开，再将y=rsinθ=2rsincos与这些实部和虚部一起代入〔3—8〕、〔3—9〕和〔3—10〕并整理得〔3—22〕〔3—23〕说明：〔1〕推导过程中用了→0的条件，所以〔3—22〕和〔3—23〕只适用于裂纹尖端附近区域，即要求r＜＜a，叫做渐进解。而对于稍远处，应该用〔3—13〕给出的来确定各应力分量和位移分量，叫做全解。这样求出的各应力分量与〔3—22〕的各应力分量的差值，就是第二章〔2—13〕中的O(r0)，它反映了裂纹尖端的渐进解与全解之间的差。在裂尖区域，渐进解是全解的良好近似。〔2〕〔3—22〕式可以缩写成张量形式〔3—24〕由〔3—24〕可以看出①对于裂纹尖端附近区域内某一定点〔r，θ〕，其应力大小取决于KI的大小，KI越大，该点的应力也越大。因此，KI是表征裂纹尖端区域应力场强弱程度的参量，而且是唯一的参量。②因为，所以当r→0时，→∞，称为应力具有的奇异性。只要是Ⅰ型裂纹，裂纹尖端的应力场都具有相同的奇异性。它远比其它附加项要大得多。因此，〔3—22〕式对所有Ⅰ型裂纹问题都适用。综上所述，应力分量可由两局部描述：一局部是关于场分布的描述，它随点的坐标而变化，通过r的奇异性及角分布来表达；另一局部是关于场强度的描述，通过应力强度因子KI来表示，它与裂纹体的几何形状及外加载荷有关。§3.2Ⅱ型裂纹尖端区域的应力场与位移场Ⅱ型裂纹问题与Ⅰ型裂纹问题的主要差异在于两者在无限远处的受力条件不同。Ⅰ型裂纹问题在无限远处受的是均匀拉应力的作用，而Ⅱ型裂纹问题在无限远处受的是均匀剪应力的作用。图3—3对于图3—3所示的Ⅱ型裂纹问题，Westergaard选用的应力函数为：〔3—25〕于是有〔3—26〕与解Ⅰ型裂纹问题类似，对图3—3所示的“无限大”板，也可以找出一个满足边界条件的解析函数：〔3—27〕为分析裂纹尖端附近区域的应力场，与解Ⅰ型裂纹问题类似也将座标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，那么有z=ζ+a或ζ=z－a，代入〔3—27〕式，可得令〔3—28〕那么有〔3—29〕由〔3—28〕式可知，当时，也就是说在裂纹尖端附近处，为一个实常数〔对于图3—3所示的纯剪切无限大裂纹板，该实常数为〕，一般情况下，设这个极限值为，即设那么有〔3—30〕常数就是Ⅱ型裂纹尖端的应力强度因子。〔3—30〕式就是由解析函数求解Ⅱ型裂纹尖端的应力强度因子的定义式。于是，在很小的范围内，和可以分别表示为〔3—31〕为研究方便，用极坐标来表示，将代入上面两个式子，并利用公式，可得将和的实部和虚部以及代入〔3—26〕式，就可以得到Ⅱ型裂纹尖端附近各应力分量的表达式：〔3—32〕将〔3—32〕式代入广义虎克定律，就可以得到Ⅱ型裂纹尖端附近区域位移场的表达式〔3—33〕§3.3Ⅲ型裂纹尖端区域的应力场与位移场Ⅲ型裂纹问题与Ⅰ、Ⅱ型裂纹问题不同，它是反平面问题。裂纹面沿图3—4中的z轴方向错开，因此裂纹面沿x方向和y方向的位移都为零，只有沿z方向的位移不为零，即u=0，v=0，w=w〔x，y〕图3—4根据弹性力学，在线弹性小变形情况下，联系应变与位移的几何方程为(3—34)将u=0，v=0，代入〔3—34〕得〔3—35〕将〔3—35〕代入广义虎克定律中：前三式联立得：〔3—36〕由得。〔3—37〕将〔3—36〕和〔3—37〕代入平衡方程，可得〔3—38〕应力与位移的关系为〔3—39〕G：剪切弹性模量。将〔3—39〕代入〔3—38〕得〔3—40〕〔3—40〕式说明，位移w应是调和函数，它满足调和方程。Westerggard选择的应力函数为：〔3—41〕显然，这个函数能满足调和方程。现在只要再选择一个具体的解析函数，使它满足所研究问题的全部边界条件，它就是问题的解。将〔3—41〕式代入〔3—39〕得〔3—42〕与求Ⅰ型和Ⅱ型裂纹的方法类似，对于图3—4所示的“无限大”板，可选〔3—43〕这样选择的函数能使〔3—41〕式的w满足调和方程，而且能满足本问题的全部边界条件。将坐标原点移到裂纹右尖端处，新坐标系中的复数坐标为，与Ⅰ型裂纹和Ⅱ型裂纹的解法类似，可得〔3—44〕〔3—45〕这个常数，就是Ⅲ型裂纹尖端的应力强度因子。〔3—45〕式就是由解析函数求解Ⅲ型裂纹尖端的应力强度因子的定义式。于是，在很小的范围内，和可以分别表示为〔3—46〕将和中的实部和虚部代入〔3—41〕式和〔3—42〕式，得到Ⅲ型裂纹尖端附近的应力分量和位移分量分别为〔3—47〕〔3—48〕§3.4应力强度因子确实定确定应力强度因子在方法有三种：解析法、数值方法和实测法。1．解析法对于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂纹，求解应力强度因子的解析表达式可以统一写成〔m=Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ〕〔3—49〕因此，只要找到满足所研究的裂纹问题的全部边界条件的解析函数，代入〔3—49〕，就可以求得所研究的裂纹问题的应力强度因子的表达式。〔1〕Ⅰ型裂纹问题的K因子〔a〕“无限大”平板中的裂纹问题【例1】图3—5中受二向均匀拉应力作用的“无限大”平板，具有长度为2a的中心贯穿裂纹，求应力强度因子的表达式。图3—5【解】完全满足该问题的全部边界条件的解析函数为代入〔3—49〕得〔3—50〕【例2】图3—6所示的“无限大”平板中，在长度为2a的中心贯穿裂纹外表上，距裂纹中点为x=±b处各作用一对集中力p，求应力强度因子的表达式。图3—6【解】对图示裂纹问题，取解析函数的表达式为：〔3—51〕可以验证，该解析函数满足这个裂纹问题的下述边界条件：①在z→∞处，；y=0时，ZⅠ(x)=，x→∞时分母是x3形式的无穷大，与分子的x比是高阶无穷大，所以，x→∞时，，而，y=0，所以自然为零。②在的裂纹外表上，。在外的裂纹面上，，因为y=0，所以第二项等于0；又因为在这个范围内，ZI(z)是虚数，所以上式的第二项也等于0。所以。而，里面有因数y，所以，y=0时，自然有。③如果切出xy坐标系第一象限的薄平板，在x轴所在的截面上，内力的总和应该等于劈开力p，即=p〔其中，t是薄平板的厚度〕。由结构和载荷的对称性可知，通过y轴的平面上沿y方向上的剪应力为0。将坐标原点移到裂纹右尖端后，新坐标为，代入〔3—51〕得于是有：〔3—52〕这个式子是一个很有用的表达式，利用这个式子和迭加原理可以解决很多与此类似的受力情况的裂纹问题。【例3】图3—7所示的“无限大”平板的裂纹外表上，从的这两局部裂纹面上，受均匀分布的张力p作用，试求裂纹尖端应力强度因子的表达式。图3—7【解】取微分段dx，其上作用的张力为dp=pdx，代入上式可得，这个微分段上的张力在裂纹尖端处的应力强度因子为于是有：令，代入上式可得〔3—53〕推论：如果在的整个裂纹外表上都承受均匀分布的张应力p作用〔如图〔b〕所示〕，那么由上式中取得，此时裂纹尖端处的应力强度因子为〔3—54〕【例4】试用迭加原理求如图3—8〔a〕所示裂纹问题的裂尖应力强度因子的表达式。〔a〕〔b〕〔c〕图3—8【解】设该受力图为图〔a〕，它可以看成是图〔b〕和图〔c〕两种受力情况的线性迭加。而图〔c〕构件的受力与裂纹外表平行，因此它所对应的应力强度因子=0，因此，图〔a〕的应力强度因子与图〔b〕的应力强度因子相等。前面已经求得图〔b〕的应力强度因子为，因此，图〔a〕的应力强度因子为〔3—55〕在例4图〔a〕中，如果没有裂纹的话，裂纹处对应的应力为σ，这说明此时K因子表达式中的应力项，应该与所研究的构件没有裂纹时，由于外力的作用在裂纹所在位置处引起的应力相同。我们把所研究的构件没有裂纹时，由于外力的作用在裂纹所在位置处引起的应力称为“当地应力”，可用材料力学或线弹性理论中的公式来计算。因此，在“当地应力”均匀的条件下，K因子表达式中的应力项就应该取“当地应力”；但在一般情况下，裂纹位置处的“当地应力”并不是均匀的，但是由于裂纹尺寸往往远远小于结构物或构件的尺寸，所以，非均匀应力中的最大值和最小值相差并不大，因此习惯上用“当地应力”中的最大值作为K因子表达式中的应力项，这是一种偏于平安的作法。【例5】受二向均匀拉应力作用的“无限大”平板中，在X轴上有一系列长度为2a，间距为2b的贯穿裂纹，如图3—9所示。试求裂纹尖端应力强度因子的表达式。图3—9【解】取任一裂纹中心为坐标原点，由于裂纹具有周期性，因此可以认为对应该问题的解析函数也应是一个周期性函数。对于单个裂纹来说，应有对于周期性出现的裂纹，可用周期函数来代替上式中的z和a，因此此问题的解析函数为：〔3—56〕易证该函数满足，即该函数是以2b为周期的周期性函数。还可证〔3—56〕式满足本问题的下述边界条件：①在y=0，2nb―a<x<2nb+a〔n=0，±1，±2，±3……〕的裂纹面上满足的边界条件。证明如下：y=0时，ZⅠ(x)，而2nb―a<x<2nb+a时，。说明：当x=2nb―a时，=，当x=2nb+a时，=，而在2nb―a<x<2nb+a区间，是增函数，所以在此区间有。所以，ZⅠ(z)恒为虚数，恒为0。而，y=0，所以自然为零。②当z→∞时，。将坐标原点移至所研究的裂纹的右尖端，那么新旧坐标之间的关系为z=ζ+a，将该式代入〔3—56〕式，可得：当很小时，可以把在a点处进行级数展开，结果为：将其代入上式，并忽略分子中ζ的一阶无穷小量和分母中ζ的二阶无穷小量，可得：〔3—57〕于是有：〔3—58〕将〔3—58〕式与Ⅰ型裂纹应力强度因子的通式相比拟可知，该问题的几何形状因子为而是“无限大”平板中仅有一个裂纹时的应力强度因子的表达式，因此，这里的几何形状因子可以看成是由于其它裂纹的存在，而使所研究的裂纹尖端应力强度因子增大的修正系数。与例4类似，根据迭加原理可知，具有周期性裂纹的“无限大”平板，当仅受到y方向的拉应力作用时，其裂尖应力强度因子的表达式仍为〔3—58〕式。〔b〕有限宽平板上的裂纹问题前面讲过的“无限大”板是指板的几何尺寸远大于裂纹的长度。而工程上的许多实际问题，特别是测定材料断裂韧性所用的各种试件，其裂纹尺寸与板的几何尺寸相比都不是很小，这时就必须考虑板的自由边界对裂纹尖端应力强度因子的影响。【例6】具有中心贯穿裂纹的有限宽板条，受均匀单向拉应力作用，如图3—10所示。试求裂纹尖端应力强度因子的表达式。图3—10【解】①将例5中的“无限大”平板，沿与某裂纹中心线相距都为b的两条直线切开，就成为宽度为2b的有限宽板条。于是可用〔3—58〕式近似作为这个问题的裂尖应力强度因子的表达式，即〔3—59〕显然，这种近似没有考虑自由边界处解除了位移约束的影响，也就是说，受单向拉伸的有限宽板条，在两侧自由边界x方向可以自由变形而不受约束，但在本问题中被假想切开的两条边界并非自由边界，因此不可能沿x方向自由变形。由于存在这种差异，所以按〔3—59〕式求得的较实际情况的值略低〔减少了约束力，裂纹尖端处的应力强度降低，因此算得的应力强度因子也降低〕偏于不平安。因此当a/b较大时，应加以修正。根据较精确的解可知，当a/b≤0.5时，按〔3—59〕式计算误差小于5%；当a/b较大时，可采用下面的两个经验公式计算。②Isida经验公式〔3—60〕当a/b≤0.5时，误差为0.3%；③Feddersen对Isida公式的修正式〔3—61〕式中，修正系数为该式在a/b为任何值时，其误差均小于0.1%。注意：设板条的半长为h，那么当h/b＜3时，应考虑板条长度对的影响，当h/b≥3时，板条长度的影响可以不计。【例7】具有双边裂纹的有限宽板条，受均匀拉应力的作用，如图3—11所示。试求裂纹尖端应力强度因子的表达式。图3—11【解】①将例5中的“无限大”平板，沿相邻裂纹中心线切开，就变成了宽度为2b，具有双边贯穿裂纹，受均匀拉应力作用的有限宽平板裂纹问题。因此其裂纹尖端的应力强度因子的表达式也可以近似地用〔3—58〕式表示，即〔3—62〕当a/b＜0.4时，误差小于5%。②Irwin插值公式〔3—63〕式中，对于任何a/b值，误差小于0.5%。【例8】具有单边裂纹的有限宽板条受均匀拉应力的作用，如图3—12所示。试求裂纹尖端应力强度因子的表达式。图3—12①以“无限大”平板中心贯穿裂纹型问题裂尖应力强度因子的表达式为根底进行讨论。假设沿“无限大”平板裂纹中心线切开，取一半来研究，问题就成了半无限大板边裂纹问题。一般平板的宽度b比裂纹长度a大一个数量级以上，因此可按“半无限大”平板来考虑。此时无裂纹自由边缘对裂尖应力场的影响可以忽略不计，而切开的裂纹所在的边缘因放松了约束使裂尖的K因子有所增大，其影响程度可以用修正系数α表示，用交替迭代法可得，α的近似值为1.12，因此该问题的裂纹尖端的应力强度因子的表达式为：〔3—64〕当b与a数量级相同时，可以看成是有限宽板条，此时必须考虑无裂纹自由边缘对裂尖应力场的影响。此时的修正系数为：〔3—65〕其中第一项反映了裂纹所在自由边界的影响，以后各项那么反映了无裂纹自由边缘的影响。当很小时，上式右边第二项以后的各项与首项相比很小，都可以忽略不计，这说明无裂纹自由边缘的影响可以忽略，这仍然相当于例8表示的半无限大板边裂纹的情况。此时有，与〔3—64〕的结果一致。②从具有中心裂纹的有限宽度板出发，沿裂纹中心将板切开，可以得到有限宽板边裂纹问题因子的另一种近似表达式〔3—66〕其中，〔2〕深埋裂纹与外表裂纹问题前面讲过，在断裂力学中，常将内部缺陷看作深埋裂纹；将外表上的缺陷看作外表裂纹。深埋裂纹的计算模型是“无限大体”中的片状裂纹。外表裂纹的计算模型那么是“半无限大体”中在一个自由外表上露头的片状裂纹。由于片状裂纹在物体内部的取向通常很难确定，所以计算时总是取裂纹面垂直于拉应力的方向，以确保计算结果偏于平安。Green和Sneddon曾解过“无限大体”中的椭圆片状裂纹问题。在距裂纹较远处受垂直于椭圆圆片所在平面的均匀拉应力的作用。椭圆片的长轴为2c，短轴为2a，见图3—13〔a〕所示。裂纹边界点〔a〕〔b〕图3—13或者用参量θ表示：P点的应力强度因子为：〔3—67〕式中〔3—68〕E〔k〕是以k为参数的第二类完整椭圆积分，可查表得到。由〔3—66〕可见，椭圆片状裂纹边缘各点处的K因子随其位置θ而变化，当时，即在椭圆的短轴两端点A和处，，此时修正系数有最大值故此处应力强度因子也最大，其值为而在处，即在椭圆的长轴两端点B和处，，此时修正系数有最小值故此处应力强度因子也最小，其值为讨论：①假设a=c〔圆片状裂纹〕，那么由〔3—68〕式算得，代入〔3—67〕式，得：〔3—69〕因此，圆片裂纹边缘各点处的应力强度因子都相等。②当c>>a时，。在椭圆短轴端点处，故有最大值为：。这与无限大体内的中心贯穿裂纹的结果是一样的，这说明当c>>a时，无限大体内的椭圆片状裂纹可以近似按无限大体内的中心贯穿裂纹处理。外表裂纹问题更复杂，没有严格的解析解，一般由无限大体中椭圆片裂纹的解经修正得到近似解。其大致思路是这样的：①在含椭圆片裂纹的无限大体中，用垂直于裂纹面且包含椭圆长轴的平面将无限大体切成两个半无限大体，就得到了我们要研究的半无限大体含外表半椭圆裂纹的情况。如果考虑了切掉的局部对所研究的局部的约束，得到的就应该是无限大体中椭圆片裂纹的解，而现在我们要研究的是半无限大体含外表半椭圆裂纹的情况，外表是自由的。这就相当于去掉了另一半的约束，因此半无限大体含外表半椭圆裂纹的解就应该等于在无限大体中椭圆片裂纹的解的根底上去掉另一半的约束后得到。前面讲过，无限大体中椭圆片裂纹前缘上应力强度因子最大的点在椭圆短轴的两端点处，其应力强度因子为考虑到去掉另一半的约束的影响，将无限大体中椭圆片裂纹前缘上应力强度因子乘上前外表修正系数，就等于半无限大体外表半椭圆裂纹前缘上的应力强度因子。我们取前外表修正系数=1.12，于是半无限大体外表半椭圆裂纹最深点A处〔即椭圆短轴端点处〕的应力强度因子为〔3—70〕更精确的前外表修正系数应为〔3—71〕尤其是对于a/2c不是很小的深裂纹，更应取〔3—71〕式。②对于半无限大体，再做一个与上述切开面平行的背平面，就得到了有限厚度板含外表半椭圆裂纹的情况，此时裂纹深度a与板厚w之比a/w不是很小，因此必须考虑后外表对裂纹前缘应力场的影响，为此引入后外表修正系数。于是半无限大体外表半椭圆裂纹最深点A处〔即椭圆短轴端点处〕的应力强度因子的完整公式为：〔3—72〕式中，，称为弹性校正因子或弹性修正系数。作为一般的近似修正，可取：〔3—73〕而更精确的理论和实验研究说明，不仅与a/W有关，也与a/c有关。通过数值计算，可以得到M随a/c和a/W变化的规律图，并列成表格，假设半椭圆裂纹长轴和短轴的长度以及板的厚度，通过查表就可以查得弹性校正因子或弹性修正系数M。工程上作为近似计算，可取M=1.1，于是有〔3—74〕〔3〕Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题的K因子对于Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题，与Ⅰ型裂纹问题解法类似，只要能找到满足全部边界条件的解析函数，就可以利用定义式求出。例如，对如图3—3所示的“无限大”平板Ⅱ型裂纹问题，，那么有：对如图3—4所示的具有中心贯穿裂纹的“无限大”平板的Ⅲ型裂纹问题，，那么有：以上研究了根本型裂纹，下面研究复合型裂纹问题。〔4〕Ⅰ、Ⅱ复合型裂纹的应力强度因子根据弹性力学理论，一般的平面应力问题，其应力函数可以用两个解析函数来表示，即复应力函数Φ是一个双调合函数，当它满足问题的全部边界条件时，就是这个问题的解。将Φ代入求应力分量的表达式中，可得：〔a〕前面已经求得，Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题在裂尖附近的应力公式为：Ⅰ型裂纹：其中，。Ⅱ型裂纹：其中，。由以上两式可得：将以上两式相加，就可以得到Ⅰ、Ⅱ复合型裂纹问题中，裂纹尖端处的之和，即：令：K叫做复数形式的裂尖应力强度因子。于是有：〔b〕比拟〔a〕式和〔b〕式，可得：〔3—75〕上式就是计算Ⅰ、Ⅱ复合型裂纹问题裂尖K因子的根本公式。只要选出了满足问题全部边界条件的解析函数，就可以由〔3—75〕式确定K，进而确定。下面，我们通过一个例题来说明这个问题。【例9】在“无限大”平板中，有一个长为2a的贯穿裂纹，坐标原点取在裂纹中点，并以裂纹线为x轴。假设在裂纹外表x=b处作用着一个集中力F=P－iQ【解】的关系为〔此题中=a〕，于是〔3—75〕式可写成：〔3—76〕用如下形式的映射函数：〔3—77〕该函数将z平面里的裂纹变换为ζ平面里的一个单位圆。于是在ζ平面内有：于是〔3—76〕式变成了这样的形式：由于与相对应，将代入〔3—77〕式，推得。将〔3—77〕式与代入上式，得：〔3—78〕这就是在平面内计算Ⅰ、Ⅱ复合型裂纹右尖端复数形式的应力强度因子的表达式，其中的解析函数需根据具体问题进行选择，使它能满足所研究问题的全部边界条件。例如，当裂纹外表上z=b处作用着一个集中力时，可选择如下形式的解析函数：〔a〕式中平面内的点，相当于z平面内的z=b点，于是有，而〔a〕式表示的解析函数能满足所研究的问题的边界条件，就是说，用这个求得的应力在裂纹的上、下外表处除x=b点外，各点对应的外力都为零。对求一阶导数得：〔b〕将和代入〔b〕式并化简，有：〔c〕将〔c〕式和F=P—iQ代入〔3—78〕式，得：令方程左右两边实、虚局部别相等，可得〔3—79〕讨论：①利用以上两个关系，通过迭加原理，就可以求出在裂纹外表上存在着任何分布载荷时裂纹的尖端应力强度因子。②以上两式只适用于本例题所示的P、Q载荷下的裂纹右尖端处。2．数值法确定应力强度因子的解析法只适用于“无限大”平板中的简单裂纹的情况，而对于实际构件以及各种试样，当裂纹的尺寸与构件或试样的其它特征尺寸相比并不是很小时，应该考虑自由边界对裂纹尖端应力强度因子的影响。对于这类问题，很难获得严格的解析解，只能通过一些数值方法求得近似解。〔1〕边界配位法其根本思想是：在Ⅰ型裂纹裂尖附近处，极坐标为〔r，θ〕的点的应力表达式为：在x轴上，也就是说在裂纹线上，θ=0，因此可得：由该式可知，当r→0时，→∞，→∞，这就是所谓裂纹尖端应力场的奇异性，而应力强度因子就是用来描述这种奇异性的场强度参量。因此，如果用应力的极限来定义，那么有：〔3—80〕对于有限体内的贯穿裂纹问题〔例如三点弯曲试样，紧凑拉伸试样等等〕，只要能求出裂纹线上的表达式，那么由〔3—80〕式就可以求得应力强度因子。因此关键是如何求得有限体内的贯穿裂纹在裂纹线上的的表达式。Wiliams提出了一个由无穷级数表示的应力函数，用来解决有限尺寸的平面贯穿裂纹问题。对于Ⅰ型裂纹问题，Wiliams提出的应力函数为：〔3—81〕式中的为待定系数。可以证明，Φ满足双调合方程，即：而且Φ在裂纹的上、下外表上〔θ=±π〕满足的边界条件。因此，只要利用有限尺寸试样的边界上足够多的点处的边界条件，就可以确定无穷级数所截取的有限项的系数，于是，就可以把已经确定的这些项组成的有限项级数作为该裂纹问题的应力函数的近似解。由这个应力函数的近似解就可以确定裂纹尖端区域的应力分量，进而求得裂纹尖端的应力强度因子的数值解。说明：〔3—81〕式表示的应力函数相对于裂纹线对称，所以它只适用于试样几何形状和载荷都与裂纹线对称的问题。下面导出用Wiliams应力函数表示的应力分量及应力强度因子。由复合函数求导法那么得：〔3—82〕由直角坐标和极坐标的变换关系可知：〔3—83〕对〔3—81〕微分得：〔3—84〕将〔3—83〕式和〔3—84〕式代入〔3—82〕式，得：〔3—85〕于是有：〔3—86〕由此式可见，应力分量的第一项与成正比，第二项与成正比，第三项与成正比，……。对于r<<a的裂尖区域，j≥2以后各项的值远远小于j=1的首项，因此可以忽略不计。所以在裂纹尖端区域〔r<<a〕，应力分量的主项〔j=1〕为〔3—87〕由〔3—80〕式可得：∴〔3—88〕由此可见，只要确定了无穷级数形式的应力函数的第一项系数，就可以求得应力强度因子。将用两角和公式展开，经整理可得：〔3—89〕将〔3—88〕和〔3—89〕代入〔3—87〕，得：〔3—90〕经比拟发现，这个表达式与前面得出的“无限大”平板Ⅰ型裂纹的裂尖应力场形式完全相同。这说明，不同类型的Ⅰ型裂纹的裂尖应力场的表达式形式都是完全相同的，都由这个场强度参量来决定。但是，对于不同的裂纹型态，它所对应的应力强度因子是不同的，因而各自对应的常数是不同的，要由各自具体的边界条件来确定。与此类似，对于有限体内的Ⅱ型裂纹问题，Wlliams提出的应力函数的形式为：〔3—91〕用类似的方法可以求出Ⅱ型裂纹尖端区域〔r<<a〕的应力分量为：〔3—92〕同样可以证明，裂尖应力强度因子可以由这个无穷级数形式的应力函数的首项系数表示，即：〔3—93〕下面用一个三点弯曲试样来说明用边界配位法求K因子的原理和方法。图3—14为一个用于测试断裂韧性的三点弯曲试样，试用边界配位法求裂纹尖端应力强度因子的表达式。图3—14边界配位法的根本思想就是：在有限尺寸试样的边界上，选取足够多的点，用这些点的边界条件来确定系数。由组成的应力函数Φ近似地满足整个试样的边界条件，因此这个应力函数Φ就是这个裂纹问题的近似解，而由首项系数按〔3—88〕定出的就是所求的应力强度因子的近似解。边界配位法大体可分为四步：〔1〕将无穷级数截成有限项例如，将无穷级数截成2m项，那么有2m个待定系数。此时需在边界上取m个点进行配位。每个点有两个边界条件，因此可以建立包括这2m个待定系数的2m边界配位点的数目通常取m=18～45。边界点的间距通常取Δ/w=0.15～0.35。其中，Δ是边界配位点的间距，w是试样的宽度。在此题中，我们在AB边界上取个点，编号为2、4、……〔m－4〕；在EF上取个点，编号为1、3、5……〔m－3〕；以上两边界上各配位点的间距为；在BE边界上取三个点，编号为m、m－1、m－2。各配位点的间距为。〔2〕建立边界条件每点处可建立两个边界条件。可以任选二个物理量来描述，通常选。n：边界外法线方向；：应力函数Φ沿边界外法线方向的导数。在本问题中，但凡平行于x轴的边界，其法线都与y轴同向，∴；但凡平行于y轴的边界，其法线都与x轴同向，因此有。将各配位点的坐标代入〔3—81〕式和〔3—85〕式，得到边界上各点的和的表达式：〔3—94〕〔3—94〕式是2m个方程，正好可以解出2m个待定系数。但是需要知道各等式左边的边界值。这个问题应该如何解决呢？比拟图〔a〕和图〔b〕可知，含裂纹的三点弯曲试样左半段的受力状态和一个长为S/2，高为W，端部受集中力P/2作用的悬臂梁一样。因此可以认为，在远离裂纹尖端的边界ABEF上〔为防止支座的集中力，选BE为端部边界，〕各点的应力函数、应力及应变值应当和无裂纹悬臂梁边界上的值相等，也就是说，我们要研究的含裂纹的三点弯曲试样左半段的边界条件与无裂纹悬臂梁的边界条件是相同的，而无裂纹悬臂梁的边界条件是的，因此可以利用无裂纹悬臂梁的边界条件来确定待定系数。由材料力学可知，中选用如下图参考坐标X—Y时，悬臂梁横截面上的剪应力为：〔3—95〕式中剪应力与应力函数之间的关系为由此可以反推得，无裂纹悬臂梁的应力函数为：〔3—96〕由图b可知，X、Y坐标与以裂尖为原点的x、y坐标之间的换算关系为：代入〔3—96〕式可得〔3—97〕〔3〕建立代数线性方程组，求解系数在边界上选m个点，例如选m=20，那么在AB上有8个点，在EF上有9个点，在BE上有三个点，设每点之间间距相等，即，各点的坐标为，分别为……等等。将所选各点的极坐标分别代入〔3—94〕式，可得：i=1，2，3…，m〔3—98〕再将各点的坐标代入〔3—97〕得〔3—99〕因为含裂纹试样边界上的边界条件和无裂纹悬臂梁上的边界条件相等，因此有：i=1，2，3…，m也就是说，边界上的每一个点都可以得到两个代数方程，因此边界上的m个点可以得到2m个代数方程，由此可以解出2m个未知系数，把解出的系数代入〔3—88〕，就可以得到应力强度因子的值。〔4〕确定三点弯曲式样K因子表达式因为的值随a、W、S而变化，对于不同的a、W、S，可以得到不同的值。在进行数值计算时，为方便起见，要将〔3—88〕式无量纲化，对于三点弯曲试样，令〔3—100〕那么有〔3—101〕其中弯矩M=。计算结果说明，在不同的S/W和a/W下，如果边界点的数目选为m=〔20～40〕点，计算结果比拟稳定，也就是说，点数在这个范围内时，的计算结果根本上与选点的数目无关。这时算得的才是比拟准确的。因为反映的是构件的断裂特性，因此它与选点的数目应该是无关的。我们选S/W=4的标准三点弯曲试样，在三种m和不同的a/W下算得的Y值列在表3—1中表3—1不同a/W下的Y值aa/WYm0.250.300.350.400.450.500.550.600.650.700.752022305.355.475.626.106.206.406.957.