重难点突破：专题02 平行线及其判定（解析版）

专题02平行线及其判定重点平行线的基本事实及其推论，平行线的判定方法难点平行线的判定的应用易错对平行公理理解不透彻，不能准确识别截线和被截线，从而误判两直线平行一、平行线的基本事实及其推论的应用强调“经过直线外一点”，而非直线上的点；“有且只有”强调直线的存在性和唯一性．【例1】下列说法正确的是（

）A．两点确定一条直线B．不相交的两条直线叫做平行线C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．两点间的距离是指连接两点间的线段【答案】A【解析】A、两点确定一条直线，本选项正确；B、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，本选项错误；C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项错误；D、两点间的距离是指连接两点间的线段的长度，本选项错误；故选A．【例2】如图，已知A，B，C三点及直线EF，过B点作AB∥EF，过B点作BC∥EF，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是__________．【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【解析】∵AB∥EF，BC∥EF，∴A、B，C三点在同一条直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行），故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．二、平行线的判定方法的综合应用判定两直线平行的一般思路是先看题中存在同位角、内错角、同旁内角中的哪一类角，然后说明同位角或内错角相等，或说明同旁内角互补，从而得出两直线平行．【例3】如图，下列说法错误的是（

）A．∵，∴B．∵，∴C．∵，∴D．∵，∴【答案】C【解析】解：A：∵∠1和∠2是直线l3与l4被直线l2所截形成的内错角，由内错角相等，两直线平行，得出l3∥l4；B：∵∠2和∠5是直线l3与l4被直线l2所截形成的同旁内角，且∠2+∠5=180°，由同旁内角互补，两直线平行，得出l3∥l4；C：∠1和∠3不符合“三线八角”不能构成平行的条件，所以选项C错误；D：∵∠1和∠4是直线l1与l2被直线l3所截形成的内错角，由内错角相等，两直线平行，得出l1∥l2．【例4】如图，下列推理中正确的是（

）A．∵，∴ B．∵，∴C．∵，∴ D．∵，∴【答案】B【解析】解：A、∵∠1=∠4，∴AB∥CD，故选项错误；B、∵∠BCD+∠ADC=180°，∴AD∥BC，故选项正确；D、∵∠2=∠3，∴BC∥AD，故选项错误；C、∵∠CBA+∠C=180°，∴AB∥CD，故选项错误．故选：B．三、平行线的判定的实际应用解决几何证明或计算问题时，通常把已知的数量关系标注在图形上，并结合图形中的位置关系及相关的性质确定解法，这种“数形结合”的方法在解决几何问题时具有非常重要的作用．【例5】如图，由两个完全相同的三角板拼成一个四边形，则下列条件能直接判断的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：A、，，故本选项正确，符合题意；B、，，故本选项错误，不符合题意；C、由，无法得到，故本选项错误，不符合题意；D、，，故本选项错误，不符合题意；故选A．【例6】小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（

）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上选项均正确【答案】D【解析】解：如下图，作以下标记E：第一步的操作可知PE⊥AB，所以∠PEA=∠PEB=90°，第二步的操作可知MN⊥PE，所以∠MPE=∠NPE=90°，所以∠PEA=∠PEB=∠MPE=∠NPE=90°，所以可依据A.同位角相等，两直线平行、B.内错角相等，两直线平行、C.同旁内角互补，两直线平行判断MN∥AB，故A、B、C三个选项都对，故选D．一、单选题1．在同一平面内，两直线的位置关系必是（）A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．相交或平行【答案】D【解析】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交．故选：D．2．如图，下列条件中能判定ABCE的是（）A．∠B＝∠ACE B．∠B＝∠ACB C．∠A＝∠ECD D．∠A＝∠ACE【答案】D【解析】解：A、由∠B＝∠ACE不能判断ABCE，故此选项不符合题意；B、由∠B＝∠ACB不能判断ABCE，故此选项不符合题意；C、由∠A＝∠ECD不能判断ABCE，故此选项不符合题意；D、∵∠A＝∠ACE，∴ABCE，故此选项符合题意．故选：D．3．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A.根据同旁内角互补，两直线平行判定正确；B.根据内错角相等，两直线平行判定正确；C.根据内错角相等，两直线平行判定正确；D.∠1和∠2是AC和BD被AD所截形成的内错角，故只能判定AC∥BD，因此错误；故选择D.4．如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【答案】B【解析】解：如图，根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行，故选：B．5．下列事实中，利用“垂线段最短”依据的是（）A．把一根木条固定在墙上至少需要两个钉子B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．体育课上，老师测量同学们脚后跟到起跑线的垂直距离作为跳远成绩D．火车运行的铁轨永远不会相交【答案】C【解析】解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线，故此选项不符合题意；B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用的是“两点之间，线段最短”，故此选项不符合题意；C、体育课上，老师测量同学们脚后跟到起跑线的垂直距离作为跳远成绩，利用的是“垂线段最短”，故此选项符合题意；D、火车运行的铁轨永远不会相交，利用的是两直线平行，没有交点，故此选项不符合题意；故选：C．6．如图，∠1＝∠2，由此推出的正确结论是（

）A．∠3＝∠4 B．∠1＋∠3＝∠2＋∠4C．AB∥CD D．AD∥BC【答案】C【解析】解：∵∠1＝∠2，∴故选C二、填空题7．数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．如图，小华的画法；①将含角三角尺的最长边与直线重合，用虚线作出一条最短边所在直线；②再次将含角三角尺的最短边与虚线重合，画出最长边所在直线，则．你认为他画图的依据是__．【答案】内错角相等，两直线平行【解析】解：画图的依据是内错角，相等两直线平行．故答案为：内错角相等，两直线平行8．如图，下列不正确的是__________（填序号）①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么；⑤如果，那么．【答案】③⑤【解析】解：①∵，∴（同位角相等，两直线平行），故正确；②∵，∴（同位角相等，两直线平行），故正确；③和不属于三线八角中的其中一类，故无法判断，故错误；④∵，∴（同位角相等，两直线平行），故正确；⑤和不属于三线八角中的其中一类，故无法判断，故错误．故答案为：③⑤三、解答题9．如图，点G在上，已知，平分，平分请说明的理由．解：因为（已知），（邻补角的性质），所以（________________）因为平分，所以（________________）．因为平分，所以______________，得（等量代换），所以_________________（________________）．【答案】同角的补角相等，角平分线的定义，∠AGC，，内错角相等两直线平行【解析】解：因为（已知），（邻补角的性质），所以（同角的补角相等）因为平分，所以（角平分线的定义）．因为平分，所以∠AGC，得（等量代换），所以（内错角相等两直线平行），故答案为：同角的补角相等，角平分线的定义，∠AGC，，内错角相等两直线平行．10．如图，已知GH、MN分别平分∠AGE、∠DMF，且∠AGH＝∠DMN，试说明ABCD的理由．【答案】见解析【解析】∵GH平分∠AGE，∴∠AGE＝2∠AGH同理∠DMF＝2∠DMN∵∠AGH＝∠DMN∴∠AGE＝∠DMF又∵∠AGE＝∠FGB∴∠DMF＝∠FGB∴ABCD（同位角相等，两直线平行）．一、单选题1．已知直线，在同一平面内，给定一点，过点作直线的平行线，可作平行线的条数有（）A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条【答案】C【解析】解：①当点在直线上时，这样的直线为0条；②当点在直线外时，这样的直线有一条．故选：C．2．如图，和分别为直线与直线和相交所成角．如果，那么添加下列哪个条件后，可判定．（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】A.∵，∴∠3=180º-∠2=62º=∠1，∴能判定，此选项正确；B.∵，∴∠3=180º-∠4=52º≠∠1，∴不能判定，此选项错误；C.∵，∴∠3≠∠1，∴不能判定，此选项错误；D.∵，∴∠3=∠28º≠∠1，∴不能判定，此选项错误；故选：A3．如图，若∥，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A.∠EDC＝∠EFC不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行，故本选项不符合题意；B.∠AFE＝∠ACD，是EF和BC被AC所截得到的同位角可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC，故本选项不符合题意；C.∠3＝∠4这两个角是AC与DE被EC所截得到的内错角，可以判定DE∥AC，符合题意；D.∠1＝∠2是EF和BC被EC所截得到的同位角和内错角，可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC，故本选项不符合题意；故选：C．4．如图，点A，B，E在同一条直线上，不能判定ADBC的条件是（）A．∠A＝∠CBE B．∠C+∠D＝180°C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠ABC＝180°【答案】C【解析】解：A、∠A＝∠CBE可利用同位角相等，两直线平行判定ADBC，故此选项不符合题意；B、∠C+∠D＝180°可利用同旁内角互补，两直线平行判定ADBC，故此选项不符合题意；C、∠C＝∠CBE可利用内错角相等，两直线平行判定CDBA，不能判定ADBC，故此选项符合题意；D、∠A+∠ABC＝180°可利用同旁内角互补，两直线平行判定ADBC，故此选项不符合题意；故选：C．5．如图，下列条件中，不能判断AB∥CD的是（

）A．∠3＝∠2 B．∠1＝∠4 C．∠B＝∠5 D．∠D＋∠BAD＝180°【答案】B【解析】解：A、∠3和∠2是直线AB、CD被直线AC所截形成的内错角，内错角相等，可以判断AB∥CD，不符合题意；B、∠1和∠4是直线AD、BC被直线AC所截形成的内错角，内错角相等，可以判断AD∥BC，不能判断AB∥CD，符合题意；C、∠B和∠5是直线AB、CD被直线BE所截形成的同位角，同位角相等，可以判断AB∥CD，不符合题意；D、∠D和∠BAD直线AB、CD被直线AD所截形成的同旁内角，同旁内角互补，可以判断AB∥CD，不符合题意；故选：B．6．如图，在下列给出的条件中，可以判定的有（

）①；②；③；④；⑤．A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．②③⑤【答案】D【解析】解：①∠1=∠2不能判定AB∥CD，不符合题意；②∵∠1=∠3，∴AB∥CD，符合题意；③∵∠2=∠4，∴AB∥CD，符合题意；④∠DAB+∠ABC=180°；不能判定AB∥CD，不符合题意；⑤∵∠BAD+∠ADC=180°，∴AB∥CD，符合题意．故选：D．二、填空题7．如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4＋∠7=180°；④∠5＋∠3=180°，其中能判断ab的是________（填序号）．【答案】①③④【解析】解：①∵∠1=∠2，∴ab，故①正确；②由∠3=∠6无法得出ab，故②错误；③∵∠4＋∠7=180°，∴ab，故③正确；④∵∠5＋∠3=180°，∠2=∠3，∴∠2＋∠5=180°，∴ab，故此选项正确；故答案为：①③④．8．下列说法中错误的是___________（填序号）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段③两条直线没有交点，则这两条直线平行④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交⑤过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB是点A到直线l的距离【答案】①②③⑤【解析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；在同一平面内，两条不相交的线段可能是平行线段，也可能不是平行线段，故②错误；在同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线平行，故③错误；在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，故④正确；过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB的长是点A到直线l的距离，故⑤错误；故答案为：①②③⑤．三、解答题9．在下列解题过程的空白处填上恰当的内容（推理的理由或数学表达式）已知：如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠4．求证：EFGH．证明：∵∠1＋∠2＝180°（已知），∠AEG＝∠1（______）∴∠AEG＋∠______＝180°，∴ABCD（______），∴∠AEG＝∠EGD（______），∵∠3＝∠4（已知），∴∠3＋∠AEG＝∠4＋∠______（等式的性质），即∠FEG＝∠______，∴EFGH（______）．【答案