线性系统的频域分析

关于线性系统的频域分析退出线性系统的时域分析综述频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法。应用频率特性可以间接地分析系统的动态性能与稳态性能。频率特性法的突出优点是组成系统的元件及被控对象的数学模型若不能直接从理论上推出和计算时，可以通过实验直接求得频率特性来分析系统的品质。其次，应用频率特性法分析系统可以得出定性和定量的结论，并且有明显的物理意义。在应用频率特性法分析系统时，可以利用曲线，图表及经验公式，因此，用频率特性法分析系统是很方便的。

第2页,共92页，2024年2月25日，星期天退出本章是本书的重点，本章的重点有：乃氏图的绘制；伯德图的绘制；乃奎斯特稳定判剧；系统的相对稳定性。

第3页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第4页,共92页，2024年2月25日，星期天退出基本概念1何谓乃氏（Nyquist）图在复平面上，当由变化时，向量端点的轨迹，称为幅相频率特性图即乃奎斯特图通常又称为极坐标图，简称乃氏图乃氏图的优点：它可以在一张图上描绘出整个频域的频率响应。不足之处是，不能明显地表示出开环传递函数中每个单独因子的作用。0～

第5页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第6页,共92页，2024年2月25日，星期天退出2何谓尼氏（Nichols）图尼氏图又称为对数幅相图，对数幅相图采用直角坐标系，其中取幅频特性的对数为纵坐标，单位为分贝（dB），线性分度，取相频特性做横坐标单位为度（），线性分度，对数幅相图是以频率为参变量的。

第7页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第8页,共92页，2024年2月25日，星期天退出3何谓伯德（Bode）图对数幅频特性曲线以频率为横坐标，并采用对数分度；纵坐标表示对数幅频特性的函数，单位为分贝（dB），线性分度，对数相频特性曲线的横坐标与对数幅频特性曲线相同；纵坐标表示相频特性的函数值单位为度（）线性分度，对数幅频特性和对数相频特性组成的对数坐标图，称之为伯德图。第9页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第10页,共92页，2024年2月25日，星期天退出4何谓频率响应系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。开环系统对正弦输入的稳态响应称为开环频率响应；闭环系统对正弦输入稳态响应称为闭环频率响应；第11页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第12页,共92页，2024年2月25日，星期天退出（1）其稳态输出也是与输入信号频率相同的正弦信号；（推倒P129）（2）稳态输出信号的幅值为，得称为系统的幅频特性；（3）稳态输出相对正弦输入的相移为称为系统的相频特性，称为相位滞后，称为相位超前。在线性定常系统中，系统或元部件的正弦输入信号为，当频率由0变化到时，则其输出量的稳态分量的复数形式与输入量的复数形式之比，称为频率特性。记为

第13页,共92页，2024年2月25日，星期天退出5何谓最小相位系统和非最小相位系统在s平面右半部没有极点和零点的传递函数称为最小相位传递函数；反之，在s平面右半部有极点和零点的传递函数称为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统；反之，称为非最小相位系统。第14页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第15页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第16页,共92页，2024年2月25日，星期天退出6何谓幅角定理在s平面上任选一封闭曲线，并使上每个点不包含的零点与极点，则映射到平面上也是一条封闭曲线。当s顺时针沿变化一周时，向量端点轨迹按顺时针围绕原点总圈数等于封闭曲线内包围的零点数目与极点数目之差，其中，与是指在内的零点数与极点数。第17页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第18页,共92页，2024年2月25日，星期天退出

对的分析第19页,共92页，2024年2月25日，星期天退出7何谓负穿越在乃氏图上，开环频率特性，从上半部分穿过负实轴的段到实轴的下半部分，称为正穿越；开环频率特性从下半部穿过负实轴的段到实轴的上半部分，称为负穿越；起始于（或终止于）段的负实轴的正、负穿越称为正负半穿越；在伯特图上，在幅值的区域内，当角频率增加时，相频特性曲线从下向上穿越线称为正穿越；相频特性曲线从上向下穿越线称为负穿越；第20页,共92页，2024年2月25日，星期天退出8何谓控制系统的相对稳定性在控制系统的基础上，进一步表征其稳定程度高低的概念，称为控制系统的相对稳定性。第21页,共92页，2024年2月25日，星期天退出5.2乃氏图及伯特图的绘制频率响应法是一种图解法，因而简捷而准确地作出满足工程分析和设计需要的系统开环频率特性曲线是非常重要的。幅相曲线主要用于判定闭环系统的稳定性，故只需要概略地绘制，而对于对数频率特性——伯特图，工程上采用简便作图法，即利用对数运算的特点和典型环节的频率特性，绘制系统开环对数幅频渐近特性。第22页,共92页，2024年2月25日，星期天………………退出1乃氏图的绘制（1）基本法1）作表格2）在复平面上找到相应的点，用光滑曲线连起来。表5-1

幅相表………………第23页,共92页，2024年2月25日，星期天退出（2）求实部、虚部分别计算的实部和虚部，在复平面上找到相应点，用光滑曲线连起来。第24页,共92页，2024年2月25日，星期天退出（3）找特殊点找到几个特殊点绘制大致图形若存在渐近线，找出渐近线，绘出幅相频率特性图，如果需要另半部分，可以用镜像原理，做出全频段的幅像特性图

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典型环节的乃氏图（幅相频率图）的绘制1比例环节第26页,共92页，2024年2月25日，星期天退出

2积分环节和微分环节第27页,共92页，2024年2月25日，星期天退出

3惯性环节和一阶环节第28页,共92页，2024年2月25日，星期天退出

证明写出实部与虚部各自的参量方程如下：第29页,共92页，2024年2月25日，星期天退出

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4型系统的开环频率特性

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第35页,共92页，2024年2月25日，星期天退出2伯特图的绘制（1）将系统的开环传递函数化为典型环节的连乘积形式；（2）找出每一个典型环节对数频率特性的交接频率与斜率；（3）在处作20lgk，在此基础上作积分环节，然后按转折频率由小至大依次作出其它环节；（4）进行必要的修正说明：在绘制Bode图时，一般惯性环节无特殊说明不需要修正；而振荡环节需要修正。第36页,共92页，2024年2月25日，星期天退出（5）分别作出每个典型环节的相频特性，然后叠加；或者先作对数相移计算表，然后在半对数坐标纸上找到相应点再用平滑曲线连接而成。第37页,共92页，2024年2月25日，星期天退出1比例环节第38页,共92页，2024年2月25日，星期天退出2积分环节第39页,共92页，2024年2月25日，星期天退出3惯性环节第40页,共92页，2024年2月25日，星期天退出4振荡环节第41页,共92页，2024年2月25日，星期天退出4振荡环节第42页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第43页,共92页，2024年2月25日，星期天退出4其他环节第44页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第45页,共92页，2024年2月25日，星期天退出5.3乃氏判剧的八种形式1形式Ⅰ闭环系统稳定的充要条件是，当由变到时，系统的开环频率特性按逆时针方向包围（-1，j0）点P周，P为位于s平面右半部的开环极点数目。否则，系统不稳定。第46页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第47页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第48页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第49页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第50页,共92页，2024年2月25日，星期天退出7何谓负穿越在乃氏图上，开环频率特性，从上半部分穿过负实轴的段到实轴的下半部分，称为正穿越；开环频率特性从下半部穿过负实轴的段到实轴的上半部分，称为负穿越；起始于（或终止于）段的负实轴的正、负穿越称为正负半穿越；在伯特图上，在幅值的区域内，当角频率增加时，相频特性曲线从下向上穿越线称为正穿越；相频特性曲线从上向下穿越线称为负穿越；第51页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第52页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第53页,共92页，2024年2月25日，星期天退出综上所述，乃氏判据判稳时可能发生的情况为：（Ⅰ）不包围（-1，j0）点，若则系统稳定。否则，闭环系统不稳定；（Ⅱ）逆时针包围（-1，j0）点次，若则系统稳定。否则，闭环系统不稳定；（Ⅲ）顺时针包围（-1，j0）点，闭环系统不稳定。第54页,共92页，2024年2月25日，星期天退出问题：1在引入Nyquist判剧时，为什么只就开环极点在虚轴上的分布情况进行讨论而没有就开环零点的情况进行讨论？2原点处有开环极点时为什么要补作一条虚线，虚线在实际中是否存在？补作虚线与开环传函中的那一个环节有关系，在给出的Nyquist 判剧形式Ⅰ与形式Ⅱ中的具体关系是什么？3根据Nyquist判剧给出如下情况的分析：对于P=0的开环系统，若其开环频率响应通过（-1，j0）点，则系统处于什么状态？第55页,共92页，2024年2月25日，星期天退出2形式Ⅱ闭环系统稳定的充要条件是，当角频率由0变化到＋∞时，开环频率特性正、负穿越平面负实轴上（-1，-∞

）段的次数差为，这里是开环传递函数极点中处于s平面右半部的数目。否则，闭环系统不稳定。第56页,共92页，2024年2月25日，星期天退出3形式Ⅲ闭环系统稳定的充要条件是，在开环对数幅频特性不为负值的所有频段内，对数相频特性与线的正穿越与负穿越次数差为，这里是开环传递函数位于s平面右半部的极点数目。否则，闭环系统不稳定。

第57页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第58页,共92页，2024年2月25日，星期天退出4形式Ⅳ闭环系统稳定的充要条件是，在Nichols图0dB线上方，开环频率响应的对数幅相特性对线的正、负穿越次数差应等于，其中为s平面右半部含有的开环传递函数极点的数目。否则，闭环系统不稳定。第59页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第60页,共92页，2024年2月25日，星期天退出5形式Ⅴ对于最小相位系统，闭环系统稳定的充要条件是，；否则不稳定。

6形式Ⅵ乃氏判据左手定则。乃氏判据左手定则的内容如下：将左手平伸，拇指和其余四指在手掌平面内垂直且指尖向上，对于最小相位系统，将左手放在系统开环频率特性即将包围（-1，j0）点的最里层上，且四指指尖与系统开环频率特性的方向相同，若手背朝向（-1，j0）点，则该闭环系统稳定，否则不稳定。

第61页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第62页,共92页，2024年2月25日，星期天退出7形式Ⅶ若系统不稳定，系统的开环增益增加大于原来倍，则闭环系统稳定；否则，系统不稳定。

8形式Ⅷ若系统不稳定，系统对频率为的信号的相角增加大于，则闭环系统稳定；否则，系统不稳定。第63页,共92页，2024年2月25日，星期天退出5.4稳定裕度设计控制系统，要求它必须稳定，这是控制系统赖以正常工作的必要条件。除此之外，还要求控制系统具有适当的相对稳定性。相对稳定性的概念：基于Nyquist判剧，当控制系统的开环传递函数在s平面右半部无极点时，其开环频率响应若通过点（-1，j0），则控制系统处于临界稳定边缘。在这种情况下若控制系统的参数发生漂移，便有可能使控制系统的开环频率响应包围点（-1，j0），从而造成控制系统不稳定。因此，在Nyquist

图上，开环频率响应与点（-1，j0

）的接近程度可直接表征控制系统的稳定程度。第64页,共92页，2024年2月25日，星期天退出其定性关系是：在Nyquist图上，不包围点（-1，j0）的情况下，若离点（-1，j0）越远，说明具有P=0的控制系统的稳定性程度越高；反之，越靠近点（-1，j0），则上述系统的稳定程度越低。在控制系统稳定的基础上，进一步用以表征其稳定程度高、低的概念，便是通常所谓的控制系统的相对稳定性。第65页,共92页，2024年2月25日，星期天退出稳定裕度是衡量系统相对稳定性的指标，有相角裕度和幅值裕度1相角裕度当系统开环频率特性的幅值为1时，系统开环频率特性相角与的和定义为相角裕度，所对应的频率称系统的剪切频率，即式中满足第66页,共92页，2024年2月25日，星期天退出2幅值裕度当系统开环频率特性为时，系统开环频率幅值的倒数定义为幅值裕度，所对应的频率称相位交界频率，即如果以分贝为单位来表示幅值裕度时，有保持适当的稳定裕度，可以预防系统中元件性能变化等可能带来的不利影响。为了得到较满意的暂态响应，一般相角裕度应当为在到之间，而幅值裕度应大于第67页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第68页,共92页，2024年2月25日，星期天退出第69页,共92页，2024年2月25日，星期天退出5.5闭环频率特性性能指标常用的指标有谐振峰值，系统带宽和带宽频率。1谐振峰值谐振峰值是指系统闭环频率特性幅值的最大值2系统带宽和带宽频率设为系统的闭环频率特性，当幅值特性下降到时，对应的频率称为带宽频率。频率范围称为系统带宽。

第70页,共92页，2024年2月25日，星期天退出5.6频率域指标的计算对于典型二阶系统，频域指标可解析计算；高阶系统频域指标一般由经验公式计算。1典型二阶系统开环传递函数为有阻尼自振角频率剪切频率相角裕度第71页,共92页，2024年2月25日，星期天退出带宽频率谐振频率谐振峰值典型二阶系统的幅值裕度为无穷大第72页,共92页，2024年2月25日，星期天退出2高阶系统谐振峰值的确定，工程上常采用下述经验公式式中中间频段第73页,共92页，2024年2月25日，星期天退出例题1（教材P185，5-8）

已知系统的开环传递函数试绘制系统开环幅相特性与对数频率特性。第74页,共92页，2024年2月25日，星期天退出解：惯性环节的交接频率为找渐近线第75页,共92页，2024年2月25日，星期天退出则第76页,共92页，2024年2月25日，星期天退出

乃氏图第77页,共92页，2024年2月25日，星期天退出伯特图第78页,共92页，2024年2月25日，星期天退出例题2（教材P186，5-17）如图题5-17所示的乃氏曲线中，判别哪些是稳定的，哪些是不稳定的。

第79页,共92页，2024年2月25日，星期天退出解：所以系统稳定所以系统不稳定所以系统不稳定第80页,共92页，2024年2月25日，星期天退出所以系统稳定所以系统不稳定所以系统稳定第81页,共92页，2024年2月25日，星期天退出例题3（教材P187，5-25）已知最小相位开环系统的渐近对数幅频特性如图题5-25所示。试写出系统的开环传递函数。绘制相应的相频特性图并判断其闭环系统是否稳定。

第82页,共92页，2024年2月25日，星期天退出解：（1）由教材P187，图5-25可