线性相位FIR数字滤波器的特性

关于线性相位FIR数字滤波器的特性重点与难点重点1、线性相位系统的定义2、线性相位系统的时域和频域特性难点1、线性相位系统的零点第2页,共30页，2024年2月25日，星期天FIR数字滤波器的基本概念

数字滤波器设计：

由给定的系统频率特性,确定M和N及系数ai，bjLTI系统：

若ai等于零，则系统为FIR数字滤波器。

若ai至少有一个非零，则系统为IIR

数字滤波器。第3页,共30页，2024年2月25日，星期天FIR滤波器的设计M阶(长度M+1)

FIR数字滤波器的系统函数为：FIR数字滤波器设计：由给定的系统频率特性,确定M及系数bk或h[k]FIR数字滤波器的基本概念第4页,共30页，2024年2月25日，星期天FIR低通数字滤波器设计指标Wp:通带截止频率Ws:阻带截止频率dp:通带波动ds:阻带波动通带衰减(dB)阻带衰减(dB)FIR数字滤波器的基本概念第5页,共30页，2024年2月25日，星期天(1)容易设计成线性相位。(2)h[k]在有限范围内非零，系统总是稳定的。(3)

非因果FIR系统都能经过延时变成因果FIR系统。

(4)可利用FFT实现。FIR与IIR数字滤波器比较IIR数字滤波器特点：

(1)能在较低的阶数下获得较好的幅度响应。(2)相位响应无法设计成线性特性。FIR数字滤波器特点：FIR数字滤波器的基本概念

(3)系统不一定稳定（因为有反馈）。

第6页,共30页，2024年2月25日，星期天线性相位系统的定义若f(W)=-aW,则称系统H(z)是严格线性相位的。

严格线性相位系统定义

广义线性相位系统定义其中，A

(W)是W的实函数，称为幅度函数。第7页,共30页，2024年2月25日，星期天1、线性相位系统的时域特性线性相位系统的单位脉冲响应h[k]需满足：h[k]=

h[M-k]可以证明上式是线性相位系统的充要条件。即，单位脉冲响应为奇对称或偶对称！第8页,共30页，2024年2月25日，星期天I型线性相位系统h[k]偶对称，M为偶数M=4II型线性相位系统h[k]偶对称，M为奇数M=3III型线性相位系统h[k]奇对称，M为偶数M=4IV型线性相位系统h[k]奇对称，M为奇数M=31、线性相位系统的时域特性第9页,共30页，2024年2月25日，星期天I型(h[k]=h[M-k],M为偶数)其中L=M/22、线性相位系统的频域特性第10页,共30页，2024年2月25日，星期天I型(h[k]=h[M-k]，

M为偶数)2、线性相位系统的频域特性频域特性证明利用对称性h[k]=h[M-k]利用欧拉公式改写第11页,共30页，2024年2月25日，星期天I型2、线性相位系统的频域特性例1：h[k]={1,2,1},M=2p2

-p40A(W)-2

A

(W)关于0和p

点偶对称可设计LPF、HPF、BPF、BSFA(W)A

(W)的周期=2p第12页,共30页，2024年2月25日，星期天其中:

L=(M-1)/2II型(h[k]=h[M-k]，

M为奇数)2、线性相位系统的频域特性第13页,共30页，2024年2月25日，星期天例2：h[k]={0.5,0.5},M=1012p-2pA

(W)A

(W)的周期=4pA

(W)A

(p

)=0只能设计LPF和BPF，不能用于HPF、BSF的设计!A(W)关于W=p点奇对称II型2、线性相位系统的频域特性第14页,共30页，2024年2月25日，星期天其中L=M/2III型(h[k]=-h[M-k]，

M为偶数)2、线性相位系统的频域特性第15页,共30页，2024年2月25日，星期天例3:h[k]={0.5,0,-0.5},M=20A

(W)12ppA

(W)的周期=2pA

(0

)=A

(p

)=0只能设计BPF和BSF，不能用于LPF、HPF的设计!A(W)关于W=0,p点奇对称III型2、线性相位系统的频域特性第16页,共30页，2024年2月25日，星期天其中L=(M-1)/2IV型(h[k]=-h[M-k]，

M为奇数)2、线性相位系统的频域特性第17页,共30页，2024年2月25日，星期天例4：h[k]={0.5,-0.5},M=10A

(W)12p-2pA

(W)的周期=4pA

(0

)=0能设计HPF、BPF和BSF，不能用于LPF的设计!A(W)关于W=0点奇对称，关于W=p点偶对称IV型2、线性相位系统的频域特性A

(W)第18页,共30页，2024年2月25日，星期天类型IIIIIIIV阶数M偶奇偶奇h[k]的对称性偶对称偶对称奇对称奇对称A(W)关于W=0的对称性偶对称偶对称奇对称奇对称A(W)关于W=p

的对称性偶对称奇对称奇对称偶对称A(W)的周期2p4p2p4pb000.5p0.5pA(0)任意任意00A(p

)任意00任意可适用的滤波器类型LP,HP,BP,BSLP,BP微分器,Hilbert变换器微分器,Hilbert变换器，HP2、线性相位系统的频域特性通用公式：第19页,共30页，2024年2月25日，星期天3、线性相位系统的零点分布1、z=0不可能是系统的零点；2、zk是系统的零点，则zk-1也是系统的零点。若h[k]是实序列，则H(z)的零点有：——偶多项式——奇多项式Ⅰ和Ⅱ型Ⅲ和Ⅳ型由以上可以看出：第20页,共30页，2024年2月25日，星期天Re(z)Im(z)是不在单位圆上的复零点(1)3、线性相位系统的零点分布——4阶偶对称多项式。第21页,共30页，2024年2月25日，星期天Re(z)Im(z)是在单位圆上的复零点(2)3、线性相位系统的零点分布——2阶偶对称多项式。第22页,共30页，2024年2月25日，星期天Re(z)Im(z)是不在单位圆上的实零点(3)3、线性相位系统的零点分布——2阶偶对称多项式。第23页,共30页，2024年2月25日，星期天Re(z)Im(z)

任意线性相位系统是上述四种子系统的组合h[k]奇对称时，H(z)在z=1处一定有奇数阶零点。是在单位圆上的实零点(4)3、线性相位系统的零点分布——1阶奇对称多项式。——1阶偶对称多项式。第24页,共30页，2024年2月25日，星期天

四种不同类型的线性相位系统在zk=

1的零点(1)I型FIR滤波器(H(z)为偶对称多项式，M为偶数)

在zk=1和zk=-1无零点或者有偶数个零点。(2)II型FIR滤波器(H(z)为偶对称多项式，M为奇数)

在zk=1无零点或有偶数个零点，zk=-1有奇数个零点。(3)III型FIR滤波器(H(z)为奇对称多项式，M为偶数)

在zk=1和zk=-1有奇数个零点。(4)IV型FIR滤波器(H(z)为奇对称多项式，M为奇数)

在zk=1有奇数个零点，zk=-1无零点或有偶数个零点。3、线性相位系统的零点分布第25页,共30页，2024年2月25日，星期天解：例5：已知8阶III型线性相位FIR滤波器的部分零点为：z1=-0.2，z2=j0.8(1)试确定该滤波器的其他零点。

(2)设h[0]=1,求出该滤波器的系统函数H(z)。(1)z3=1/z1=-5;

z4=1/z2=-j1.25，z5=z2*=-j0.8，z6=z4*=j1.25；

z7=1;z8=-1;(2)=1-z-8+5.2(z-1-z-7)+2.2025(z-2-z-6)-6.253(z-3-

z-5)III型

在zk=1和zk=-1有奇数个零点。

单位取样响应：第26页,共30页，2024年2月25日，星期天课堂小结11、线性相位FIR数字滤波器的时域特性h[k]=

h[M-k]Ⅰ型:h[k]偶对称，M为偶数Ⅱ型:h[k]偶对称，M为奇数Ⅲ型:h[k]奇对称，M为偶数Ⅳ型:h[k]奇对称，M为奇数第27页,共30页，2024年2月25日，星期天课