2023届江苏省决胜新高考高三年级上册12月大联考数学试题

2023届江苏省决胜新高考高三上学期12月大联考数学试题

一、单选题

1.已知z=1±i,其中i为虚数单位，则izi=（）

i

,万

A.gB.2C.V2D.注

22

【答案】B

【分析】化简z,利用复数求模公式计算.

【详解】因为2=叵"（而，=1_/，

iii

所以国=Jr+卜6）=2，

故选：B.

2.已知向量出。满足，则〃与人的夹角为（）

兀c兀-5兀r2兀

A.-B.-C.—D.—

6363

【答案】D

【分析】由|“|=|切=|。+6两边平方，得到再根据平面向量数量积的定义得到

cos<a,h>=~<根据向量夹角的范围可求出夹角.

【详解】因为|。|=|加=|。+加,

所以|+2°0+。-=a>所以。为=-万1”「‘

一一1°rr1

所以|cos<〃,b>=-小。「，所以cos<〃,b>=-不

22

2兀

因为0«<〃,方><兀，所以<。力>=彳

所以〃与b的夹角为号27r.

故选：D

3.给定空间中的直线/与平面a,则“直线/与平面a垂直”是“直线/垂直于a平面内无数条直线”的

（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据直线与平面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.

【详解】由题意，若“直线/与平面a垂直”则“直线/垂直于a平面内无数条直线''成立的，所以充分

性是成立的；

若“直线/垂直于a平面内无数条直线”则直线“直线/不一定平面a垂直”，所以必要性不成立，

所以“直线/与平面a垂直”是“直线/垂直于a平面内无数条直线”成立的充分不必要条件.

故选A.

【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记直线与平面垂直的定义，结

合充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基

础题.

4.立德中学举行“学习党代会，奋进新征程”交流会，共有6位老师、4位学生进行发言.现用抽签

的方式决定发言顺序，事件4(14厶410«€2表示“第％位发言的是学生”，则()

33

A.P(A)=-B.P(A4)=不

4

c.P(“4)=gD.P(A+4)=M

【答案】c

【分析】根据排列数的计算，结合古典概型的概率计算公式即可根据选项逐一求解.

A9?

【详解】因为尸(4)=時訐=三，所以A错误.

A1。J

A2A82

因为P(A4)=卡=77,所以B错误.

A1。15

A书

与＞=丄，所以C正确.

因为4)=

P(4)23

5

__A2A8,

因为P(4+4)=1"G我)=1-总*可，所以D错误.

Aio3

故选：C

5.已知sin(a-e)+cosa=5，则sin12a+营)=()

3\_3

A.B.C.D.

4~24

【答案】C

【分析】根据两角差的正弦公式化简得sin[a+^)=；,进而采用换元法，结合诱导公式以及二倍角

公式即可求解.

［详解］因为sin（aq］+cosa=；,

..........（nA.it.itJ31.（nA1

所以sinIa——+cosa=sinacos——cosasin—+cosa=2!—sina+—cosa=sina+—\=—.

I6丿6622I6丿2

令"a+2，则《=・工sinf=丄，

662

所以sin（2a+葛）=sin（2,-/［+葛］=sin（2/+桜）=cos2t=1-2sin2f=g.

故选：C

6.疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大

的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为（）

A.6B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】利用等差数列前〃项和公式及等差数列通项公式联立方程组解出即可.

【详解】设等差数列｛4｝的首项为4,公差为d＞0,由条件可知,

%+。4+。5=3(q+«2)，

即3（4+切）=3（冽+“）,

4+2d=24

即

q-2d=0

解得q=12,d=6,

所以最小一份的口罩个数为12个，

故选：C.

7.i^a=log,2,b=log64,c=log3e(2e),贝ij()

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b

【答案】B

【分析】由对数运算性质化简，结合不等式性质或构造/(x)=¥泮讨论单调性即可判断.

lg3+x

r注脑】5口“Ig4」g2+lg2lg(2e)_lg2+l

Ig3lg6Ig3+lg2lg(3e)lg3+l

yj17-LK

解法一：因为一<----(Z;>0,/n>72>0),所以achcc.

mm+k

解法二：设法二二髻土土」个；怆3+1,则a=/(o),b=/(ig2),c=f⑴，

lg3+xlg3+x

又因为/（幻在（0,卄）上单调递增，所以1＜人＜。.

故选：B

8.在平面直角坐标系xQy中，已知点仇，乂)在椭圆C:1+V=i上，且直线04,03的斜

率之积为贝IX：-y；+岩-=()

A.1B.3C.2D.-

2

【答案】A

【分析】利用椭圆方程和。4,08的斜率之积为-g,建立A、B两点坐标的关系，代入原式化简计算

即可.

【详解】因为厶(不凶),3(孙必)在椭圆上，

所以与+样=1，苧+£=1，

因为《JOB=~X---T.

XiX,2

所以XW=-2y%，

所以x：=2,

所以x；-y：+x；_£=弁_(l_〃+x；-l-yj=^-+^--2=l.

故选：A.

二、多选题

9.已知/(工)=2/-9/+奴+匕在工=1处取得极大值，若有三个零点，则()

A.a=2B.-5<b<-4

C./(x)的极小值为4+bD.f(b2)>f(-h)

【答案】BCD

【分析】根据极大值点可求解。=12,可判断A,进而可得/(X)的单调性，可判断C,根据三个零点得

-5<b<T可判断C,由单调性即可判断D.

【详解】因为:0)=6/-18%+。，所以/'(1)=6-18+。=0,所以々=12.故A错,

322

因为f(x)=2x-9X+12X+b,f\x)=6x-18x+12=6(x-l)(x-2),

当l<x<2时，r(x)<0,当x<l和x>2时，/!^X)>0,

所以/(x)在x=2处取得极小值，在x=1处取得极大值，

极小值为/(2)=4+b,极大值为/⑴=5+A,

若f(x)有三个零点，所以4+厶<0,5+。>0,所以一5<〃<-4,故BC正确,

因为—5<b<T,所以4<-6<5,16</<25,又因为Ax)在(2,啓)上单调递增，所以/(/)>/(-〃),

故D正确,

故选：BCD

10.己知函数/(x)=2sin(s+W)-13eN*)在区间［0,汨上有且仅有2个零点，则()

A.69=2B.f(x)的图象关于(一弓,0)对称

C./(x)的图象关于直线x=^对称D./(x)在区间号］上单调递减

1Z._U丄/一

【答案】ACD

【分析】根据零点可得?vo<|,结合。eN*,所以。=2,进而得/。)=2而(2%+^卜1,结合三

角函数的性质，根据选项即可逐一求解.

f7T11ITTTTT51r

【详解】令/。)=0,则sin3+彳所以GX+巴=2E+乙或公r+二=2E+把(Z:wZ),即

I3丿23636

2lat+-

一^或广

x=--------NkeZ)

CDCD

由于函数/(X)在区间［0,7tl上有且仅有2个零点,

兀C兀C兀C兀C兀

当k=0时，2,当女=1时，、_2兀-6，2兀+*所以2兀-6且2兀+2所

(OCD(0CDCO

以，由于oeN*,所以0=2,所以A正确.

o2

因为"x)=2sin12x+訐1,当x==所以〃x)的图象关于(-己,-1卜寸称，故B错

误，

当x=S，/信)=1，为最大值，故/(x)关于直线x=卷对称，故C正确，

jr5jrjr27r77rjrTTSir

当时，2x+qw—，所以/(x)在工£上单调递减，所以D正确.

O12J3［_3oj\_Z2j［_o12_

故选：ACD

11.正多面体统称为柏拉图体.若连接某正方体A8CC-AEGR的相邻面的中心，可以得到一个新

4

的体积为g的柏拉图体C.则()

A.。是正六面体

B.正方体488-48©A的边长为2

C.。与正方体A8CO-AAGA的表面积之比是亜

6

D.平面4CGA与。相交所得截面的面积是应

【答案】BCD

【分析】画出图形可判断A；设正方体ABC。-A8c。的边长为“，求出Q的体积，/=:,求出“

可判断B；求出正方体的表面积，C的表面积可判断C；画出截面EQFP,且是菱形，求出

面积可判断以D.

【详解】对于A,如图，。是各棱长均相等的正八面体，所以A错误；

对于B,设正方体ABCD-ABCI。的边长为a,C是正八面体，且NGM"是底面是对角线长为。的

正方形，上下两个四棱锥的高都为?，则C的体积为gxgxaxaxWx2=!/=g,所以。=2,所

232263

以B正确；

对于C,正方体ABCO-4MGA的表面积是6x2x2=24,。的各个侧面的棱长都为正等边三角形,

所以。的表面积是8x丄x正x忘x@=4石，所以如1=立，所以C正确；

22246

对于D,如图平面4"必与Q相交所得截面EQb,P、Q分别是HM、NG的中点，

且EQ、QF.FP、PE相等，EQ//FP.QF//PE,四边形EQEP是菱形，EF=2,PQ=&,其面积

为;x2x0=&,所以D正确.

故选：BCD.

12.已知曲线UV-V-9=1,则()

A.曲线C关于坐标原点对称B.曲线C关于y轴对称

C.x<--D.x2-2xy+y2>^

553

【答案】ACD

【分析】A选项，利用对称性质判断即可，取特殊点验证即可B选项；

将方程转化为关于y的二次方程，由方程有解即可判断c选项；

换元法，令，=工-丫，则》=>+£代入原方程中，利用方程有解判别式

解之即可得D选项.

【详解】因为点尸。戸)在曲线C：W-y2-孙=1上,

所以点耳(f-y)满足(-x)3-(-y)2-(-x)(-y)=x2-y2-xy=1,

所以A正确；

若P(2,D,因为点尸'(-2,1)不满足C的方程,

所以B错误；

因为x?-y2-孙=1,

所以y2+孙+1--=0,

所以彳2一4(1一/”0,

所以厶叵或工之厶叵，所以C正确;

55

设/=x-y,则》=、+七

所以(>+。2->2-(>+。>=],

所以y2—"+1—广;0,

所以『―4(1一产)20,

所以「哆

所以炉-2孙+丫221,

所以D正确.

故选：ACD

三、填空题

13.(x+l)(x-g)展开式中/的系数是

【答案】-120

【分析】根据二项式展开式的通项特征，即可求解.

【详解】卜一1”展开式的通项为小1)'/yowrwiOreN.

7

令10-2r=3nr=—(舍去)，

2

令10—2r=4nr=3,所以7；=&。(-1)3r=-120/,

综上，/的系数是-120,

故答案为：-120

14.写出一个同时满足下列性质①②的函数/(%)=.

①/⑶)=/«+f(y)；②fix)在定义域上单调递增.

【答案】log2x(满足log“x(a>l)均可)

【分析】由基本初等函数性质筛选判断即可

【详解】log“(MN)=log(,M+log„N,且f(x)=log,,x(a>1)单调递增.

故答案为：kg?》(满足log“x(”>1)均可)

22

15.己知抛物线C22=4X的焦点尸与双曲线C[:呑-==l(a>0,6>0)的右焦点重合，G与g的

公共点为M，N,且MN=4,则C?的离心率是.

【答案】V2+l##l+V2

【分析】根据抛物线和双曲线的对称性可得|y”|=2,XM=\,且M尸=2应，利用双曲线的定义可

得“的值，进而求解.

【详解】因为G与G交于点例，N,所以M,N关于X轴对称，所以|加|=2,所以X,M=1.

因为尸(1,0),所以根丄xG的另一焦点为尸，

所以MF，=+MF?=2血，所以2a=2竝-2,

所以e=m=-2----=&+1.

2a2V2-2

故答案为：0+1.

四、双空题

16.已知半径为20的球。的表面上有4B,C,£>四点，且满足AD丄平面43C,

64B=8C,AB丄8C,则四面体D-/WC的体积最大值为；若M为的中点，当

D到平面MBC的距离最大时，AMBO的面积为.

【答案】卷V7

【分析】第一空，设AD=h,6AB=BC=%,则满足4〃2+〃2=(24，即可列出体积函数丫(向，

由导数法求最值.

第二空在平面内过点。向8M作垂线，垂足为H,则。到平面M8C的距离为。H,由

DH=,1

MBMsAHDM求得[4F,由均值不等式可得最大值，即可得的各边长,

标+/

从而求得面积.

【详解】第一空，设AD=h,gB=BC=®,球心。即为8的中点，所以442+庁=32.

四面体O-ABC的体积V=，x丄/力=正（32/2-//3）,所以H=

-3/z2

32241'

时，丫'>0,丫单调递增：当〃e[后,+8时,

令丿=0,得/?=（负值舍去），当力€0,

丿<0,丫单调递减，所以当〃=样时，匕於=等血.

第二空，在平面内过点。向BM作垂线，垂足为H,则。到平面M8C的距离为D7.

.人.DHDM

ZBAM=ZDHM,NBMA=ZDMH,A-T訴,n即n

因为/+*住+杯学寸8+*+*）4（8+8）=；,当且仅当4/=配时等号成立,

所以〃=4,a=2.此时M8=O8=2JIOM=」AC=2,所以AWBO的面积为

2

gx2xj（20=币.

故答案为：大近;币.

五、解答题

17.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知8为锐角，且》sinA=Ga.

⑴求&

（2）求sinA+sinC的最大值.

【答案】⑴B=

⑵百.

【分析】（1）由2儿也厶=小结合正弦定理得到《118=且，再根据8为锐角，求出8即可得解;

2

(2)将sinA+sinC化为Gsin(A+^Jv石可求出结果.

【详解】(1)因为26sinA=G"，所以2=H1_.

a2sinA

在,ABC中，由正弦定理三=名，得当=2,所以期O=H1_.

sin4sin8sinAasinA2sinA

因为OVAVTT,所以sinAwO,所以sin8=且.

2

又因为B为锐角，所以8=1.

(2)因为0<A<兀,所以sin4+sinC=sinA+sin(兀-4—B)=sinA+sin(A+3)

3

=Gsin(A+^)4G,当且仅当4=C=1时等号成立，

所以sinA+sinC的最大值是石.

18.甲、乙两台机床加工同一规格(直径20.0mm)的机器零件，为了比较这两台机床生产的机器零

件精度的差异，随机选取了一个时间段，对该时间段内两台机床生产的所有机器零件直径的大小进

行了统计，数据如下：

规定误差不超过0.2mm的零件为一级品，误差大于0.2mm的零件为二级品.

n(ad-bc)2

附K?其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸(七“。)

女0

(1)根据以上数据完成下面的2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器

零件的精度存在差异:

一级品二级品总计

甲机床

乙机床

总计

(2)以该时间段内两台机床生产的产品的一级品和二级品的频率代替概率，从甲机床生产的零件中任

取2个，从乙机床生产的零件中任取3个，比较甲、乙机床取到一级品个数的期望的大小.

【答案】(1)表格见解析，没有;

(2)甲的期望大.

【分析】（1）根据题中数据，可以得出两机床一、二级品的数量，将得到的数据补充在2x2列联表

中，根据公式即可解出K?的值；

（2）由题意可设这2个零件中一级品的个数为X,3个零件中一级品的个数为匕

则随机变量X,丫服从二项分布，根据二项分布，即可解出期望值，得出结果.

【详解】（1）由已知可得，甲机床的二级品有19.7,20.3,共2个，其余16个为一级品;

乙机床的二级品有19.5,19.6,19.7,20.3,20.4,共5个，其余7个为一级品.

所以，2x2列联表如下：

一级品二级品总计

甲机床16218

乙机床7512

总计23730

根据列联表得宀噺詰妥=爲3.758,

因为3.758<3.841,

所以没有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异.

答：没有95%的把握认为甲、乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异.

（2）由（1）可知，从甲机床生产的零件中任取1个，取到一级品的概率为口=2=，,

1oV

7

从甲机床生产的零件中任取1个，取到一级品的概率为P2=看.

从甲机床生产的零件中任取2个，设这2个零件中一级品的个数为X,

从乙机床生产的零件中任取3个，设这3个零件中一级品的个数为Y,

则随机变量X,y服从二项分布，即*~8（25

«16647

所以E(X)=2x3=£=斗，£(K)=3x—=7_63

9936124-36

所以甲的期望的大.

答：甲的期望的大.

19.如图所示，在四棱锥尸-A8CD中，底面是菱形，。是A。的中点，点E在PC上，且AP

平面8OE.

⑴求重的值;

⑵若QP丄平面ABCDQE丄PC,AB=2,ABAD=60°,求直线OE与平面PBC所成角的正弦值.

PE1

【答案】（1）務=;

⑵迹

13

【分析】（1）根据线面平行的性质可得线线平行，根据平行成比例即可求解，

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.

【详解】（1）连接AC与8。交于点兄

因为底面ABCD是菱形，。是的中点，所以A0//8C,且40=38。，

所以AF=』FC.因为”〃平面80E,APu平面APC,

2

平面APC平面BOE=EF,

所以AP//EF,

AFPE1.PE1

所rrr以l衣=质=3'所rrr以正二§

（2）解法一：

因为底面ABCD是菱形，。是AO的中点，/B4Q=60。，所以8。丄AO.

因为。尸丄平面ABC。,4。u平面ABC。，BOu平面ABC。，所以OP丄A£>,OP丄80,建立如图所

示的空间直角坐标系。-孙z.

则0(0,0,0),4(1,0,0),8(0,瓜0),C(-2,区0).

设尸(0,0,〃),h>0,则PC=(-2,6,-/?),

所以OE=OP+PE=OP+；PC=-23也、

了才3

因为OE丄PC,所以OE・PC=±+1-竺■=(),解得力=巫

332

_|,率半)BC=(-2,0,0),PB=0,6,—半).

所以。E=

设〃=（x,y,z）为平面PBC的法向量,

x=0

则〃•BC=0,〃-P8=0,得〈厂V14

v3y---------z=0

取z=26,所以〃=（0,714,2^）为平面PBC的一个法向量.

3g

因为Ws〈〃,OE〉卜

13

所以直线0E与平面所成角的正弦值是虫.

13

解法二：因为底面ABCZ)是菱形，。是AO的中点，AB=2>

ZBAD=60°,所以NCDO=120。,CD=2,O£>=1.

在"QO中，由余弦定理OC?=CD2+OD2-2xCDxODxcos120°,

得OC=币.

因为QP丄平面A8CD,OCu平面ABCD,所以。P丄OC.

设PE=a,CE=2a,在直角中，由射影定理0庁=PExCE,

得。后=伝・

在直角-CEO中，由勾股定理0(^=0炉+篋2,得力=：,

O

所以。后2=2/=1，所以OE=@,OP=Jc尸一6<2=巫.

332

在直角尸中，作斜边3尸上的高OH,

因为;xOHxBP=gxOBxOP,所以旧.

因为。尸丄平面ABCRBCu平面438,所以O尸丄3c.

又因为08丄8C,。8u平面OBPQPu平面OBPQBOP=P,

所以BC丄平面08P,因为OHu平面08尸，所以8c丄

又因为。〃丄3P,8Cu平面PBC,3尸u平面PBC,BCBP=B,

所以丄平面P8C.

因为黑=^=

OH35/13

13

3

所以直线OE与平面所成角的正弦值是追.

13

20.已知7.为正项数列｛4｝的前〃项的乘积，且q=3,7；：=。丁.

(1)求｛%｝的通项公式;

⑵若""=(/：'蓝+i产求证：々-

【答案】（1）%=3"；

⑵证明见解析

【分析】（1）由匕产•：：：，¥=。丁,两式相除结合对数运算得则平=幽，代入数值可得数列

［呼｝是常数列，即可得通项公式；

（2）不等式由裂项相消法求和放缩即可证.

【详解】（1）T.J=a：；T；=a：“，

7*2n+2

所以卷=屋I=盛r，所以県=。丁，

所以1g（暗i）=lg（。："），即"lg%=（〃+l）lga“，

所以姐旦=里区,

/?+1n

当〃=2时，岂2=（“0）2=%3,解得出=9,

所以华=华=怆3,所以数列｛腎｝是常数列，

所以地=单=怆3,所以Iga“=〃lg3=lg3",

n1

所以%=3".

（2）讦明臼为…（""+3）*3+3）*L4"

证月.因为“（a向+1）0+］）4（3向+1）（3"+1）43"”+13"+1，

232,,+,

SPrl,,._444444“

1-"32+13+133+132+13n+l+13”+1

21.已知函数/（x）=lnx+@（aeR）.

x

⑴若f（x）的最小值为1,求实数4的值；

（2）若关于x的方程/。）=以有3个不同的实数根，求a的取值范围.

【答案】（1）1;

（2）0<"g.

【分析】（1）根据导数求解函数的单调性，由单调性即可求解最值，进而可求解“，

（2）分类讨论，利用导数求解函数的零点.

【详解】（1）因为的定义域为（o,+的，又/（幻=丄—m=三，

所以若。40,/'（的>0,/。）单调递增，无最小值，不成立.

若a>0,当xw(O,a)时,f'(x)<O,f(x)单调递减,

当xe(a,+oo)时，f(x)>O,/(x)单调递增，

所以/(x),*=/(a)=lna+l=l,a=l.

(2)设g(x)=lnx-or+@,则短(x)=丄一4一二二一":.一..

XXXX

当aWO时，g'(x)>O,g(x)单调递增，所以g(x)至多一个零点.

当心;时，因为1_4“2«0,所以-加+x-a40,所以g(x)4O,g(x)单调递减，所以g(x)至多一

个零点.

当0<。<:时，令g'(x)=O,得,=1过-4),芻=1+Jl-4f,

当内vxv9时，g'(x)〉O，g(x)单调递增，

又9(1)>0,所以0〈与<1<±,且g⑴=0,又因为g。)是连续的函数，

所以屋王)〈。，屋々)>。且以工)在(为，工2)上只有一个零点.

当%时，，*)<0,以幻单调递减，

因为gf4]=]n丄-丄+Q3=_2]HQ'+Q3,

\aJaa

设h(a)=一2In〃一丄+a。(0<a<g),

rn.i.21_23〃4—2.(1+1

则hZ(/a)x=----1—y+3〃=---------z------>0,

aaa

所以6(a)单调递增，所以訳a)<Ug)=ln4-2+：<0,得g(5)<0.

因为左二巨®二紀<丄<二,又因为g(x)是连续的函数，

所以g(X)在卜2，,)上只有一个零点，

可得g(x)在(W，+8)上只有一个零点吃.

因为g(%)+g]丄=lnx()-ar()+—+ln—-a—+ar()=0,所以g—=0,