高考数学大二轮复习 等差数列、等比数列教学案

等差数列、等比数列

［考情考向•高考导航］

1.等差数列、等比数列的判定及基本运算是每年高考的热点，在考查基本运算的同时，

也注重考查对函数与方程、等价转化等数学思想的应用.

2.对等差数列、等比数列性质的考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式

和前刀项和.

真题体验•主干整合做真题理圭于感悟高考

［真题体验］

1.(2019•全国III卷)已知各项均为正数的等比数列｛a｝的前4项和为15,且a=3&+4囱，

则a=()

A.16B.8

C.4D.2

解析：C［应用等比数列前〃项和公式解题时，要注意公比是否等于1,防止出错.设正

份1+131Q~\~80+劭°=15,份1=1,

数的等比数列｛%｝的公比为q,则_2一解得_

4—3oaiq十42,1q—2,o

.•.&=包/=4,故选C.］

2.(2016•某某卷)设｛a｝是首项为正数的等比数列，公比为5则“60”是“对任意的

正整数刀，的i+的()

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

解析：C［设数列的首项为功，则期—1+期=&/〃-2+也产-1=包/L2(1+点，当60,因

为l+q的符号不确定，所以无法判断出-1+期的符号；反之，若加-i+a<0,

即^<-1<0,故“60”是“对任意的正整数〃，曲r+/<0”的必要不充分条件.］

3.(2019•全国I卷)记S为等差数列｛a｝的前〃项和.已知W=一四

(1)若&=4,求｛&｝的通项公式；

(2)若为>0,求使得S2a的刀的取值X围.

解：⑴设3｝的公差为名

由£=一与得%+4d=0.

由&=4得2+2d=4.

于是劭=8,d=­2.

因此｛a｝的通项公式为^=10—2/7.

⑵由⑴得出=—4=故a=(〃-5)&

_n77—9d

Sn=2'

由国>0知d<0,故等价于〃2—ll“+10W0,解得IWAWIO,

所以〃的取值X围是{A|1W〃W1O,〃GN}.

［主干整合］

1.等差数列

(1)通项公式：an=ai+(72—1)d：

/、1、〒八、刀&+&,nn-\

(2)求和公式：Sn=---------=〃2+---------d\

⑶性质：

①若如7?,p,0£N*,且/+〃=〃+s则3+&=%+%；

②为=劣+(77—4&

③S,£加一S,SL$0，…，成等差数列.

2.等比数列

(1)通项公式：a=&q"T(qW0)；

(2)求和公式：0=1,Sn=na^qWl,Sn=~一~~~一=斗——；

1—71—7

⑶性质:

①若如n,p,°£N*,_&m+n=p+q,则为•劣=为•4；

m

®an=am•q~\

③S,52m—Sm,Sim—Sm,…(SW0)成等比数列.

热点聚焦•能力突破研热点析重点方法突破

热点一等差、等比数列的基本运算

［题组突破］

1.（2019•某某三模）已知数列｛a｝是等比数列，数列伉｝是等差数列，若人•注•如=一

3/，A+&+d=71r,则tan^;^的值是()

A.一^3B.一1

D.^3

解析：A［依题意得，次=（一十）工3加=7兀，

.「7TI2b67兀

..戊=—yj3,be=~-~，又。

O1-国•氏1—届—

加十为（/兀）（71171r

故tan;-----------=tan~~r~=tan一2几一~~=—tan-=_M3，选A.]

1—<34•备[3/13）3Y

2.（2020•某某调研）已知等比数列｛a｝公比为仍其前〃项和为S,若&,关，企成等差

数列，则/等于（）

1

B

A.-2-

c.-5或iD.—i或5

解析：A［若q=l,则3功+6&=2X9国,

得a=0,矛盾，故

解得/=-3或1（舍），故选A.]

3.（2019•某某三模）设S为等差数列｛aj的前〃项和，（〃+l）S<〃S+i5eN*）.若竺<

—1,则（）

A.S的最大值是&B.S的最小值是发

C.S的最大值是SD.S的最小值是岳

E_LLn「,/Ic〜cZF4/I.\11a+&〃+l&+4+1.TE/口

斛析：D[由（T?+1）SV77S+1得（〃+1）•<刀•，整理得

a〃<a〃+i,所以等差数列｛aj是递增数列，又竺<—1,所以a>0,a,VO,所以数列｛2｝的前7

a7

项为负值，即S的最小值是S.]

解后反思

等差、等比数列基本运算的关注点

（1）基本量：在等差（比）数列中，首项以和公差d（公比g）是两个基本元素；

（2）解题思路：①设基本量为和d（0）；②列、解方程（组）；把条件转化为关于4和d（°）

的方程（组），然后求解，注意整体计算，以减少计算量.

热点二等差（比）数列的判断与证明

[例1]（2020•某某质检）已知数列｛4｝满足a〃=34T+依"一g2,—R）.

（1）设团=1,k=o,证明数歹“&一1是等比数列；

⑵对任意AGR,是否存在一个实数t,使得⑸+»（〃GN*）且依｝为等差数列？若

0

存在，求出力的值；若不存在，请说明理由.

［解析］⑴证明:当4=0时，an=3an-i—1,所以a—1=3a_L、=3(&—1—51,

_1

a~~211fI］i

即-----7=3,又&一—科。，所以数歹Ua一不是首项为弓，公比为3的等比数歹U.

1乙乙।句z

⑵当刀22时，bn—bn-i=^an-\-1)一^1(劣一1+t)=1(a+t-3an-i—3t)=/(3劣一1+«3"

——1+t——3an-\——3%)

1/〃、1+2方

二币(43=k---.

uo

要使伍｝为等差数列，则必须使1+2-0,.•"=一/

即对任意的AGR,存在t=一/使｛4｝为等差数列.

方法技巧»>

判断和证明等差或等比数列的方法

(1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前〃项和公式法，但不作为证明

方法.

(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列

即可；

(3)a>ajI-ia„+1(/7^2,〃eN*)是｛&｝为等比数列的必要而不充分条件，也就是要注意判断

一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.

肛突破练1

(2019•某某二模)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后

成为等比数歹U｛4｝中的底b4,h.

(1)求数列｛4｝的通项公式.

(2)数列1M的前n项和为S,求证：数歹是等比数列.

解析：(1)设成等差数列的三个正数分别为a—d,a,a+d.

依题意，得a—d~\-a~\~a~\-d—15.

解得a=5.

所以｛4｝中的如瓜,区依次为7—d10,18+4

依题意，有(7—#(18+初=100,

解得d=2或d=-13(舍去)・

故伉｝的第3项为5,公比为2.

5

由h=b\•22,即5=bi•22,解得bi=-.

所以b产仄-q-x=--2〃T=5•2〃T,

即数列｛4｝的通项公式4=5-2段

-1-2,

455

(2)由⑴得数列伉｝的前刀项和S=—=5•2^2--,即5+彳=5-2T.

1—244

55S+i+15.2”T

由S+1=5，1=仄.=2可知，

TT0。4

s+Z

数歹"S+1|是以£为首项，2为公比的等比数列.

热点三等差与等比数列的综合问题

［例2］(2018•某某卷)设｛aj是等差数列，其前〃项和为S5CN*)；｛4｝是等比数列，

公比大于0,其前〃项和为北(〃GN*).已知4=1,bi=bi+2,bi—att+aa,6=&+2备.

(1)求S和北；

(2)若S+(71+后+…+北)=a〃+46〃，求正整数〃的值.

［审题指导］(1)利用条件求出等比数列的公比和等差数列的首项及公差，写出通项公

式，进而求出前〃项和.

(2)由(1)知北=2〃-1,将其拆成2〃和一1两部分，｛2〃｝是等比数列，易求和，一1是常数,

易求和，再结合S=""J1和已知条件,可求得〃的值.

［解析］(1)设等比数列｛刃的公比为0,由打=1,幼=庆+2,可得炉—g—2=o,因此

l—2n

为q>0,可得0=2,故4=2〃T.所以，7；=——

1—z

设等差数列｛a｝的公差为d,由Z?4=&+a5,可得2+3d=4,由曲=a+2含，可得34+

__,,,“…n〃+1

==

13d.—16f从而句=1,<7=1,故3,nJi.所以，Sn2.

2x1—2"

(2)由(1),有T+T+-+T=(21+22+-+20~n=~~十——〃=2"+】一〃一2.

i2n1-Z

由5L+(71+Ti-\----H北)=a〃+4A,可得~~\-2"+'—n—2=a+2"",整理得—3n—

4=0,

解得〃=—1(舍)，或〃=4.所以，〃的值为4.

I思维升华I

(1)关于等差、等比数列的综合问题大多为两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键

是求出两个数列的基本量；首项和公差（或公比），灵活运用性质转化条件，简化运算，准确

记忆相关的公式是解决此类问题的关键.

（2）求数列中的最大项，可以利用图象或者数列的单调性求解，同时注意数列的单调性与

函数单调性的区别.

以突破练2

（2020•某某八校联考）已知等比数列｛a0｝的公比0>1,a=2,且为，a2,a,一8成等差数

9n—1.30+1

列，数列｛a.4｝的前〃项和为-------;———.

（1）分别求出数列｛&｝和｛&>｝的通项公式；

⑵设数列]玉的前〃项和为S,己知V〃GN*,SW以恒成立，某某数〃的最小值.

解析：（1）;为=2,且a,&,a一8成等差数列，

・•2+838,

即2句+—8,q—2Q—3=0,

.,•<7=3或一19而0>1,••Q=3,

,•・劣=2•3n~\

2〃一1・3”+l

丁a+a262H-----\-ab—

1nn2

<3iAi+S2&+,•,+an-\bn-\

2n—3・3”一】+1

=2，

两式相减得ah=2n•3"T(/?22).

,.•&=2•3”—1，6〃=T?(〃22),

令77=1,可求得6i=l,:.bn=n.

(2),・,数列｛a｝是首项为2,公比为3的等比数列,

...数歹是首项为1公比为4的等比数列，

4-佶)1

•••s尸34[i—⑶/

3

WGN*,恒成立，故实数0的最小值为7

热点四数列与传统文化的交汇创新

数学数学建模一一数列实际应用中的核心素养

建模以学习过的数学知识为基础，把现实生活中的实际问题通过“建模”转化为数学

素养问题一一数列问题，进而通过数学运算来解释实际问题，并接受实际的检验.

［例3］（2018•卷）"十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载靖最早用数学方法计算

出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,

依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都

等于飞区.若第一个单音的频率为£则第八个单音的频率为（）

A.^弟.3

C.12毋fD.12取f

［解析］D［由题意可知，单音的频率构成以以=/"为首项，为公比的等比数列,

则&==f•（1躯）,=1折7f故选D.］

I思维升华I

涉及等比数列的数学文化题频繁出现在考试试题中.解决这类问题的关键是将古代实际

问题转化为现代数学问题，掌握等比数列的概念、通项公式和前〃项和公式.

也突破练3

（2020•某某模拟）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及

其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四

节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中

第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（）

17一7一

A.石-升B.］升

解析：A［自上而下依次设各节竹子的容积分别为功，女,…，国,依题意有

己1+/+&+&=3,、3417、

因为a+a=81+2,&+4=2含，故e+&+为=77+1=7"，故选A.］

&+冬+含=4./J。

置课时作业•限时提能"速度练规范高效提能

限时45分钟满分74分

一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）

1.（2019•全国I卷）记S为等差数列｛a｝的前〃项和.已知&=0,与=5,贝lj（）

A.a=2〃-5B.劣=3〃-10

C.Sn=2nSnD.Sn=~n~2n

14功+6d=0,

解析：A[设｛&｝的公差为名贝仙।7解得4=—3,d=2.

〔&+4d=5,

・'・4=-3+（〃-1）•2=2〃-5,

,nn~\2-ar

Sn=—3n+---------X2=77—4/7,故选A.]

2.（多选题）设等比数列｛a｝的公比为仍其前〃项和为S,前刀项积为北，并且满足条

Qn-1

件@1>1,&•外>1,----则下列结论正确的是（）

<38—1

A.B.ai,为>1

C.S的最大值为&D.北的最大值为方

解析：AD[本题考查等比数列的性质及前〃项积的最值.

&-1.

Vsi>l,&•为>1,---r<0,57>La<1,

为一1

.*.0<（7<b故A正确；&&=啬<1,故B错误；

・・・功>1,0〈61,・・・数列为递减数列，・・・s无最大值，故C错误，

又&>1,为<1,・,.7是数歹!1｛北｝中的最大项，故D正确.故选AD.]

3.（2020•某某模拟）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金筵，长五尺,

斩本一尺，重四斤，斩未一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金基，

长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，

问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金维由粗到细是均匀变化的，问第二

尺与第四尺的重量之和为（）

A.6斤B.9斤

C.9.5斤D.12斤

解析：A[依题意，金筵由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项&=4,则a=

2,由等差数列的性质得色+a=@+a=6,所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤，故选A.]

4.（2020•荆州质检）已知数列｛a｝满足5a+1=25•5&，且&+&+为=9,则104（a+

2+a）等于（）

A.-3B.3

11

C.——D."

oo

解析：A[75^+1=25•5a=52+品，

••4+i=a+2,

・•・数列｛a｝是等差数列，且公差为2.

*.*/+2+a=9,

.*.3a4=9,&=3.

a+2+心)21一3.

5.（2020•豫西五校联考）在等差数列｛%｝中，其前〃项和是S,若S5>0,5i6<0,则在

SS2

，，…，F中最大的是（)

3,1&

A国

A.-B.—

a为

515

D.—

.39315

解析：B［由于/=.名竺s=157>0,

1631+316

516-Q=8(a+&)<0,

可得金>0,H9Vo.

、、传SS&WSo515

这样一>0,—>0,…，一>0,—<0,—<0,…，一<0,

改3,8国510515

而0VSVSV…V&,ai>a2>,,,>as>0,

所以在"，—,…，邑中最大的是内.

&85备

故选B.］

6.（2020•某某联考）数列｛aj是以a为首项，6为公比的等比数列，数列｛4｝满足4=1

+a+&+…+&(4=1,2,…),数列｛｝满足=2+61+益+…+6〃(〃=1,2,…)，若｛｝为等比

数列，则己+6等于（）

A.4B.3

C.乖D.6

解析：B［由题意知，当6=1时，。不是等比数列,

所以6W1.由an=ati1',

,a1—I)aat)1

侍儿=1+—

贝U=2+1+不b1-6”

~1—1

abaa产

=2一~=—十一42,

1-b

ab

27-0,

1-b

要使。为等比数列，必有〈

l~b+a

.l-b=°

Q,~~1,

得a+6=3.]

b=2,

7.(2020•某某二调)已知为,女,a,a依次成等比数列，且公比。不为1,将此数列删

去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数1的值是()

.1+mR±1+V^

A.2B-2

±1+七

2

解析：B［因为公比1不为1,所以删去的数不是&,以①若删去&,则由2a3=a+&

得+又aWO,所以2/=1+/,整理得Q2(?—1)=(Q—1)(0+1),又qWl,

所以q=q+l,又q>0,得［=上9&②若删去改,则由2/=4+&得+又

aWO,所以2。=1+",整理得？(?+1)(q—1)=2-1.又0W1,则可得°(°+1)=1,又q>0,

得打二^后

综上所述，故选B.］

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

8.(2020•资阳诊断)设数列｛2｝是以2为首项，1为公差的等差数列，数列｛〃｝是以1为

首项，2为公比的等比数列，则奶+----ba瓦值为.

nx

解析：依题意得a=2+(〃-1)X1=刀+1,4=1X2"T=2"T,abn=bn+l=2~+lf因此

1一o9V9

aAi+a&H---Fabw—(2°+1)+(2'+1)H----F(29+1)=-■~~+10=2‘°+9=1033.

1—L

答案：1033

9.(2019•卷)设等差数列｛aj的前〃项和为S.若为=-3,&=-10,则as=,

S„的最小值为.

解析：本题考查等差数列的通项公式、求和公式、等差数列的性质，难度不大，注重重

要知识、基础知识、基本运算能力的考查.

等差数列｛aj中，&=523=—10,得a3=—2,a2=—3,公差d=a「az=\,£k=a-i+2d

=0,由等差数列｛aj的性质得时，a〃WO,时，为大于0,所以S的最小值为a或

&，即为一10.

答案：（1）0（2）-10

10.（2019•某某三模）设等差数列｛&｝的各项均为整数，其公差"0,劣=6,若我,a,

8（%>5）是公比为qG7>0）的等比数列，则/的值为.

解析：由a3am=*,（6—2中[6+（勿一5）d\=36,

得-2d\_5—5）d-3勿+21]—0

・・,生0,・・・（力一5）d—3勿+21=0,

,30一216

:・d=----=3---

m—5m—5

由加>5,m,d£Z知/一5为6的正约数

：.m—5可取1,2,3,6

当勿一5=1,〃=6时，d=-3,

a.561

。=工=6-26