概率论与数理统计期末考试试题及答案

四、(本题12分)设二维随机向量的联合分布律为

一、单项选择题(每题3分共18分)

若事件A、5适合尸(A5)=0,则以下说法正确的是().

(A)A与3互斥(互不相容)；

(B)P(A)=O或B(3)=0;

(C)A与3同时出现是不可能事件；

(1)(D)P(A)>0,则P(5|A)=0.

(2)设随机变量X其概率分布为X-1012

P0.20.30.10.4

则尸{XV1.5}=()o

(A)0.6(B)1(C)0(D)1

2

设事件4与4同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是

()

(A)P(A)=P(A1A2)(B)P(A)>P(A1)+P(A2)-I

(C)P(A)=P(A1UA2)(D)P(A)<P(A])+P(A2)-I

设随机变量X~N(-3,1),y〜N(2,1),且X与y相互独

立，令Z=X-2Y+7,则Z~().

(A)MO,5);(B)N(O,3);(C)N(O,46);(D)N(O,54).

1.D2.A3.B4.A5.A6.B填空题l.p(团2.

第1页

(1)如果。(4)>0/(3)>0/(臼5)=。(4),则P(5|A)=

（2）设随机变量X的分布函数为

0,x<0,

歹(x)=,

1一(1+%)6，x>0.

则X的密度函数f（x）=,

P（X>2）=.

三、（6分）设A5相互独立，P（A）=0.7,P（AUB）=0.88,求尸（4-5）.

四、（6分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T,

各电梯在

运行的概率均为0.7,求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。

五、（6分）设随机变量X的概率密度为,

求随机变量Y=2X+1的概率密度。

六、（8分）已知随机变量X与y的概率分布为

-10Y0

42

（1）而且「国¥=0}=1.求随机变量*与/的联合分布；⑵判断x与y

是否相互独立？

七、（8分）设二维随机变量（x,y）的联合密度函数为

12e-（3x*4y）,x>o,y>o,

/(x,y)=<

求：（1）P（O<x<1,0<y<2）；（2）求x的边缘密度。

八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从参数为的

第2页

指数分布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。

若工厂售出一台设备盈利1。。元，调换一台设备厂方需花费300元,

求工厂出售一台设备净盈利的期望。

十、（7分）设供电站供应某地区1。。0户居民用电，各户用电情况

相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从［。，20］上的均匀

分布，利用中心极限定理求这1。。。户居民每日用电量超过1。1。。

度的概率。（所求概率用标准正态分布函数①⑴的值表示）

第3页

三、解：0.88=P(Au5)=P(A)+P(5)-P(A5)

=P(A)+P(5)-P(A)P(5)(因为A,5相互独立)……••2分

=0.7+P(5)-0.7P(5).................3

分

贝！|P(B)=0.6..................4

分

P(A—B)=P(A)-P(A5)=P(A)-P(A)P(B)

=0.7-0.7x0.6=0.28.................6分

解：用X表示时刻T运行的电梯数，则X~b(4,0.7)................2

分

所求概率p{x>1}=1-P{X=0}.................4分

=l-C°(0.7)°(l-0.7)4=0.9919................6

分

解：因为y=2x+l是单调可导的，故可用公式法计算.........1

分

当XAO时，y>1..................2

分

由y=2x+1,得x=-_-,x'=—.................4分

22

V—11

从而y的密度函数为％(y)=...................5分

0y<1

第4页

1.二

—■e2y>1

_2

—<

0y<l

分

解：因为p{xy=o}=i,所以尸长y#o}=o

⑴根据边缘概率与联合概率之间的关系得出

-101

/111

00

442

0101

122

111

424

,•,.4分

（2）因为P{Y=O,y=o}=oP^X=o}p#=o}=；*；=g

所以X与y不相互独立

••,8分

解：用X,表示第i户居民的用电量，则X「U[0,20]

EX.=214=I。加，=竺少=吧.....2分

，2!123

则1000户居民的用电量为x=£x,,由独立同分布中心极限定

1=1

第5页

理

p{x>10100}=l-p{x<10100}3分

X-1000x1010100-1000x10

=]-2<4分

*0弓JlOOOx与

10100-1000x10

X—―)・6分

I100

'lOOOx—

V3

=1-

7分

解：(1)P(0<X<1,0<y<2)=|dxf12e-(3x+4y)dy...............-2分

00

=£3e-3d14e—4”=[1工][「]

=[l-e-3][l-e-8]..................4分

⑵九(%)=广12d小+4，)出.........6分

J—00

=<3/'%>0.....................8分因为

0x<0

i1-Lx

x~e(l)得/(%)=/4x〉0................2分

40x<0

用y表示出售一台设备的净盈利

100X>1

Y=<3分

100-3000<X<l

1J

贝!JP(Y=100)=

第6页

P(Y=-200)=£=l-e^..............4分

_1_1_1

所以"=100xe*+(-200)x(1-ef=300J1-200B33.64(元)

一、填空题(每小题3分，共30分)

1、“事件A,5,C中至少有一个不发生”这一事件可以表示

为•

2、设P(A)=0.7,P(Aff)=0.3，贝!JP(AB)=.

3、袋中有6个白球,5个红球，从中任取3个，恰好抽到2个红球的

概率.

4、设随机变量X的分布律为尸(X=k)=2,最=1,2,,8),则

8

CL—.

5、设随机变量X在(2,8)内服从均匀分布，则

P(—2<X<4)=.

6、设随机变量x的分布律为，则y=x2的分布律

是.

X—2—101

181~1

A515515

7、设随机变量X服从参数为X的泊松分布,且已知与(X-1)(X-2)]=1,

贝！]九=.

8、设x4，多是来自正态总体以-2,9)的样本,亍是样本均植,则克

服从的分布是

二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的

6。件产品中有12件是次品,乙企业生产的5。件产品中有1。件

次品.两家企业生产的产品混合在一起存放，现从中任取1件进行

检验.求：

(1)求取出的产品为次品的概率；

(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率.

三、(本题12分)设随机变量X的概率密度为

kx,0<x<3

/(%)=<2-1,3<x<4⑴确定常数K⑵求X的分布函数

0,其它

第7页

尸(x)；⑶求冲＜XW；卜

第8页

试求：（1）a的值；（2）x与y的边缘分布律；（3）x与y是否独立?为什

么？

五、（本题12分）设随机变量x的概率密度为

x,0<x<1,

f（x）=<2-x,l<x<2,求E（X）,D（X）

、0,其他.

一、填空题（每小题3分，共30分）

1、曲或耳5c2、0.63、2或3或0.36364、15、

G：H

14

16、317、18、N(-2,l)

3

55

二、解设ApA?分别表示取出的产品为甲企业与乙企业生产,5表示

取出的零件为次品，则由已知有

P（A）=-^2.=­P（A,）==—,P（BIA）=—=—,P（B\A2）=—=—.....2分

G11011-110111605505

⑴由全概率公式得

P(B)=P(A)P(BIA,)+P(A.)P(B|742)=1X1+AX1=1...............7分

⑵由贝叶斯公式得

51

p(4)p(叫&)_TT义弓—5

P（4W）=12分

P(B)iTT

5

三、体题12分）

解（1）由概率密度的性质知

故J............................................................3分

6

⑵当尤40时,/(无)=「加)力=0；

J—00

当0<x<3时，F(x)=J=J-；

当3Wx<4时，F(x)-j/Q)力=J。［fdf+j12-1］力=一;x?+2x—3；

当x»4时，F(x)=j"/⑺d/=J：：力+，12—g'=1；

故X的分布函数为

第9页

0,x<0

12

---X,0<x<3

12

F(x)=<19分

X2

4-+2x-3,3<x<4

,x>4

⑶P“<X弓卜呜R⑴吟14112分

1248...............................

四、

解⑴由分布律的性质知

故a=0.3.....................................................................4分

(2)(x,y)分别关于x与y的边缘分布律为

X012

6分

~p~0.40.30.3......................................................

Y12

8分

p0.40.6

⑶由于p{x=o,y=l}=o.l,p{x=0}p{y=l}=0.4x0.4=0.16，故

所以X与y不相互独立.1..2.分......................................

五、(本题12分)设随机变量x的概率密度为

求E(X),D(X).

1

+12-1-3-2

解E(X)=fxf{x}Ax-\x2dx+[x(2-x)dx=-x3+x2--=1..............6分

J-ooJoJiaa

L。」oL°Ji

E(X2)=j■二x2f(x)dx=J；x3dx+J：X2(2-x)dx=；...............................9分

22

D(X)=E(X)-[E(X)]=1..................................................12分

o

一、填空题(每空3分，共45分)

1、已知P(A)=0.92,P(B)=0.93,P(B|才)=0.85,则P(A|R)

=P(AUB)=

1

2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为"A发生且

B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率

为:；

3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日

在同一个月份的概率：

没有任何人的生日在同一个月份的概率

第1。页

A",x<0

1/4,Q<x<2

4、已知随机变量X的密度函数为：[°，X22，则常

数A=,分布函数F(X)=,概率

P{-0.5<X<1}=；

5、设随机变量x~B(2,p)、Y~B(l,p),若尸{X21}=5/9,则

P=,若X与Y独立，则Z=max(X,Y)的分布

律：；

6、设X~8(200,0.01),y~P(4),且X与Y相互独立，则

D(2X-3Y)=,

1、(12分)设连续型随机变量X的密度函数为：

0<x<2

(p(x)=<

其它求：1)RI2X_11<2}；2)y=x2的密

度函数％(y)；3)EQX-1)；

2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为

Jl/4,Iy1<%,0<%<2,

1)1°，其他求边缘密度函数久(%)，%(y)；

2)问X与Y是否独立？是否相关？计算Z=X+Y的密度函数

<PzQ)

1、(1。分)设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽

车或飞机来的概率分别是3/10,1/5,1/10与2/5。如果他乘飞

机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4,

1/3,l/2o现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？

CjjCgX112叱6!

1、0.8286,0.988;2、2/3;3、126126；4、

-+0<x<2

24

1/2,F(x)=P{-0.5<X<1}=42;5、p

1/3,Z=max(X,Y)的分布律：Z012P

8/2716/273/27;

第11页

6、D(2X-3Y)=43.92

二、计算题(35分)

9

P{I2X-1I<2}=P{-O.5<X<1.5}=-

1、解1)16

,、(")+曳(->/7))，y〉。

%。)=j

o,y<0

0<y<4

=<4

2)0,其它

45

、E(2X-l)=2EX-l=2x--l=-

3)33

X

0<x<20<x<2

(Px(%)=J(p(x,y)dy=<4,4<2

~8r、

2、解：1)[°，其它0,其它

2)显然，甲@y)丰Qx(x)%(y),所以X与Y不独立。又因为EY=0,

EXY=0,所以，COV(X,Y)=0,因此X与Y不相关。

p+oo

(pz(z)=I(p(x,z—x)dx

>

1z

丸o4o4

<z<---<z<

=-,28

-，

其

它

3其它a

J

1、解：设事件Al,A2,A3,A4分别表示交通工具“火车、轮

船、汽车与飞机”，其概率分别等于3/10,1/5,1/10与2/5,事

件B表示“迟到”，

已知概率?⑻4J，123,4分别等于I/%1/3,1/2,0

,P{5)=tp(4)P(6IA,)=至

则M120

由概率判断他乘火车的可能性最大。

一、填空题(每小题4分，共2。分)

1、设事件4,3独立，且P(A)=0.5,P(B)=0.6，贝！］尸(4耳)=。

./、ffcx2,0<x<2