湖南省岳阳市一中2023-2024学年高二年级上册数学期末联考模拟试题含解析

湖南省岳阳市一中2023-2024学年高二上数学期末联考模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2

1.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点(加>0)到其焦点的距离为5,双曲线的土—y2=i左顶点为A,若

n

双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数〃的值是()

11

A.-B.-

35

11

C.—D.—

925

2.已知奇函数/(x)=e'+meT-2x,则/(/)>/(2a+3)的解集为()

A.(-^o,-l)l(3,+oo)B.-3)(1,+oo)

C.(-l,3)D.(-3,l)

22

3.已知双曲线A-2=l(“>0/>0),过其右焦点R作渐近线的垂线，垂足为延长EB交另一条渐近线于点A.

ab

已知0为原点，且则|AF|=()

,11。

A.4。B.---

3

10〃.

C.---D.3d

3

1nJC

4.已知函数=则下列判断正确的是()

A.直线y=ex-l与曲线y=相切

B.函数/(x)只有极大值，无极小值

C.若0与t2互为相反数，则左(%)的极值与人。)的极值互为相反数

D.若「与t2互为倒数，则九(%)的极值与A(%)的极值互为倒数

5.如图，已知正方体A3CD-，点尸是棱CG中点，设直线A3为“，直线A2为人对于下列两个命

题：①过点尸有且只有一条直线/与。、方都相交；②过点尸有且只有两条直线/与a、b都成75。角.以下判断正确的

是()

A.①为真命题，②为真命题B.①为真命题，②为假命题

C.①为假命题，②为真命题D.①为假命题，②为假命题

(x-y+5)(x+y)>0

6.不等式'7八"表示的平面区域是一个()

0<%<3

A.三角形B.直角三角形

C.矩形D.梯形

7.在ABC中，8=30。，BC=2,AB=A则边AC的长等于()

A.73-1B.1

C.73D.2

8.已知为偶函数，且当九目0,a)时，/(x)+#,(x)<0,其中尸(力为/(力的导数,则不等式

(l-x)/(x-l)+2封(2x)>0的解集为()

A.B.(-l,+co)

。卜局D.g+s]

Q1C

9.已知函数/(x)=d—sinx+e%—3,其中e是自然数对数的底数，若/(〃—1)+/(2/)<。，则实数a的取值范

围是

A.[-

乙乙

C.(-00,-1]u[-1,+co)D.(-oo,-^]o[l,+oo)

10.某公司有320名员工，将这些员工编号为1,2,3,…，320,从这些员工中使用系统抽样的方法抽取20人进行“学

习强国”的问卷调查，若54号被抽到，则下面被抽到的是()

A.72号B.150号

C.256号D.300号

11.过点以（一2,m），N（m,4）的直线的斜率等于1,则机的值为（）

A.lB.4

C.1或3D.1或4

12.已知圆G的圆心在x轴上，半径为1，且过点（2,—1）,圆&：（X-4）2+（J-2）2=10,则圆G，C2的公共弦

长为

y[62[―

A・------B・342

4

D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

120

13.已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为T（f）=+15,其中T"）为蜥蜴的体温（单位：。C），/为太阳落

山后的时间（单位：min）.当/=min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为-L2C/min

22

14.已知双曲线C：亍―2L=i（机〉o）的一个焦点坐标为（3,0）,则其渐近线方程为

2

ry20),F(V2,0)

15.已知椭圆。：二+1(〃>b>为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,

ab2

则椭圆C的方程为.

16.已知数列｛。“｝满足4+2出+4%+~+2〃-%“=5,将数列｛&｝按如下方式排列成新数列：%,为，出，/，

43，〃3，a3，。399•••9绿陶第8,.…则新数列的前70项和为_______

（2〃-1）项

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知数列｛&｝是公差为2的等差数列，它的前”项和为S,”且a1,名，%成等比数列.

（1）求｛&｝的通项公式;

4

（2）求数列-----卜的前〃项和北.

〔44+1J

18.（12分）“中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图①，桥上有五个拱形桥架紧密相连，

每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称.如图②，一个拱形

桥架可以近似看作是由等腰梯形和其上方的抛物线（部分）组成，建立如图所示的平面直角坐标系，

已知AB=44m，ZA=45°,AC=4m,CD=5m,立柱DN=5.55m.

图①图②

(1)求立柱CM及横梁MF的长；

(2)求抛物线MOF的方程和桥梁的拱高

19.(12分)已知正项数列｛4｝的前几项和S“满足4s“=a；+2q+l("eN*)

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若a=2"an,求数列也｝的前n项和Tn.

20.(12分)已知等比数列｛4｝的前"项和为S“，且q+%=10,%+%=20.

(1)求｛4｝的通项公式；

S］ss

(2)2n.

21.(12分)已知数列｛4｝的前几项和为S“，且S"=〃2+〃

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵记优=±3L,求数列也｝的前几项和Tn

22.(10分)已知函数/(月=必—3ox+2,曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为3x+y+m=O.

(I)求实数"，m的值;

(II)求/(尤)在区间［L2］上的最值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】首先根据抛物线焦半径公式得到1+^=5,从而得到y2=8x,再根据曲线的一条渐近线与直线AM平行,

斜率相等求解即可.

【详解】由题知：1+(=5,解得，=4,抛物线＞2=8%.

4

双曲线的《―y2=i左顶点为人卜册刀)，kAM

1+yfn

因为双曲线的一条渐近线与直线40平行,

411

所以FF'解得/

故选：C

2、A

【解析】先由/(0)=0求出加的值，进而可得了(另的解析式，对/(%)求导，利用基本不等式可判断了'(%)2。恒成

立，可判断了(力的单调性，根据单调性脱掉了,再解不等式即可.

【详解】的定义域为R,因为/。)=/+机1-2》是奇函数，

所以/(0)=e°+7〃e°=1+机=0,可得：m=-l,

所以/(x)=—2x,

经检验/(x)=e*--2x是奇函数，符合题意,

所以/(x)="—ef—2x,

因为e”>0»

所以f\x)=ex+e-x-2>2y/ex-e-x-2=0，

当且仅当d=即x=0时等号成立，

x

所以/(X)=/—e--lx^R上单调递增,

由/(4)>/(2。+3)可得标>2。+3,

即(a—3)(a+l)>0,解得：a>3或a<—l,

所以/(/)>+3)的解集为(f,—。(3,y),

故选：A.

3、C

【解析】画出图象，结合渐近线方程得至!l|EB|=b,|0@=a,进而得到tanNAO3=g,结合渐近线的斜率及角度

关系，列出方程，求出b=2a,从而求出|A同.

.I)r~)f)

【详解】渐近线为y=±—x,如图，过点F作歹3垂直y=—x于点8交丁=—-x于点4则歹(c,0)到渐近线丁=一x

aaaa

距离为恒用=则|0用=—忸歹|2=a,X|6>A|=|a,由勾股定理得：|A3|=ga,则

2

tanZA(9B=|||=|,XtanZJBOF=-,ZAOB=-^BOF^=n-2ZBOF,所以

2b

2tanZBOF4

tan/AOB=-tan2/BOF=-

l-tan2ZBOF解得：b=2a,所以

故选：C

4、C

|r)丫

【解析】求出函数£(x)=y(/eRjwO)的导函数，通过在某点处的导数为该点处切线的斜率，求出切线方程，并

且判断出极值，通过结合％与t2互为相反数，若。与互为倒数，分别判断Z,。)的极值与4(%)的极值是否互为相

反数，以及是否互为倒数.

【详解】以为=坐(/6氏"0),力⑺」二”令E(x)=O,得lnx=L所以x'=e，

XJCt

因为£(1)=1，/⑴=°，所以曲线y=/；(x)在点(LO)处的切线方程为了=》一1,故A错；

当f<0时，存在/e(0,+oo)使£(%)=0,且当xw(O,Xo)时，/(%)<0；

当xe(和+⑹时，£(尤)>0,即工⑴有极小值，无极大值，故B错误；

设/为工(％)的极值点，则xj=e,且

所以£(%0)=—产=；，力(/)=—9=；，当4+，2=°时，

xjetxet2

人(Xo)+/(Xo)=；(乎)=0；当品=1时，力(x0)"2(x°)=」wl，

故C正确，D错误.

5、A

【解析】①由正方形的性质，可以延伸正方形，再利用两条平行线确定一个平面即可；

②一组邻边与对角面夹角相等，在平面内绕尸转动，可以得到二条直线与a、6的夹角都等于75.

【详解】如下图所示，在侧面正方形4513A和再延伸一个正方形与耳仍和D/iFD,则平面E.C和CXF在

同一个平面内，所以过点P,有且只有一条直线/,即石耳与a、A相交，故①为真命题；

取4A中点N,连PN,由于a、分为异面直线，。、〜的夹角等于4片与分的夹角.由于4Gu平面AG，NP<Z平面

4G，NPAG，所以Np平面AG，所以NF与44与6的夹角都为45.又因为c。，平面AG，所以

与4月与8的夹角都为90,而45<75<90，所以过点P,在平面4。内存在一条直线，使得与4片与分的夹角

都为75，同理可得，过点P,在平面4C内存在一条直线，使得与。与A。的夹角都为75；故②为真命题.

故选：A

6、D

【解析】作出不等式组所表示平面区域，可得出结论.

x-y+5>0x-y+5<0

(x-y+5)(x+y)>0

【详解】由\八刀可得<x+y>0或<x+y<0

0<x<30<x<3

(x-y+5)(x+y)>0

作出不等式组I'八"所表示的平面区域如下图中的阴影部分区域所示:

0<x<3

7、B

【解析】利用余弦定理即得

【详解】由余弦定理，ftAC2=AB2+BC2-2AB-BCcosB=3+4-2^x2x—=1,

J2

解得AC=1

故选：B.

8、A

【解析】根据已知不等式和要求解的不等式特征，构造函数g(x)=4(£)，将问题转化为解不等式g(2x)>g(x-1).

通过已知条件研究g(x)的奇偶性和单调性即可解该不等式.

【详解】令g(x)=4(x),

则根据题意可知，8(-才)=~xf(-^)=-xf(^)=-g(x),...g(X)是奇函数，

g'(x)=/(%)+矿(%)，

...当x>0时，g'(X)<0,g(x)单调递减，

；g(x)是奇函数，g(0)=0,.,.g(x)在R上单调递减，

由不等式(1—x)/(x—1)+2对■(2x)>0得，

2^f(2x)>(x-l)/(x-l)=>g(2x)>g(x-l)=>2x<x-l=>x<-l.

故选：A.

9、B

【解析】利用函数的奇偶性将函数转化为/(M)g(N)的形式，再利用单调性脱去对应法则/,转化为一般的二次

不等式求解即可

【详解】由于/(x)=x3-sin%+e*—-,,贝!=-x3+sinx+e'x--f(x),故函数/(x)为奇函数

故原不等式/(a-DV(2a2)<0,可转化为f(2a2)<-fCa-l)=/(l-a),即/(2a2)<fCl-a)；

又f(x)=3x2-cosx+ex+e~x,由于8+«-"22,ex+e~x-cosx>0,

所以/(x)=3,-cosY+e^+e-x2。恒成立，

故函数/GO单调递增，则由/(2层)9(1-〃)可得,2«2<1-a,BP2«2+a-1<0,

解得一1<。<1,

2

故选3

【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判定及应用，考查了不等式的解法，属于中档题

10、B

【解析】根据系统抽样分成20个小组，每组16人中抽一人，故抽到的序号相差16的整数倍，即可求解.

【详解】•••用系统抽样的方法从320名员工中抽取一个容量为20的样本

320

——=16,即每隔16人抽取一人

20

；54号被抽到

...下面被抽到的是54+16x6=150号，而其他选项中的数字不满足与54相差16的整数倍，故答案为：B

故选：B

11、A

【解析】解方程*=1即得解.

m+2

4—m

【详解】由题得——=1,.•.冽=1.

m+2

故选：A

【点睛】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

12、A

【解析】根据题意设圆G方程为:（x-a）2+y2=l，代点（2,-1）即可求出a，进而求出G方程，两圆方程做差即可求得公

共弦所在直线方程,再利用垂径定理去求弦长.

【详解】设圆G的圆心为（。，°），则其标准方程为：（x-+/=1,

将点（2,-1）代入G方程，解得a=2,

故G方程为：（x—2）2+丁=1,

两圆&,C2方程作差得其公共弦所在直线方程为:4%+4j-7=0,

|8-7|_V2

圆心C（2,0）到该直线的距离为

716+16-8

因此公共弦长为2

故选:A.

【点睛】本题综合考查圆的方程及直线与圆，圆与圆位置关系，属于中档题.一般遇见直线与圆相交问题时,常利用垂径定

理解决问题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、5

【解析】求得导函数，令r«）=-L2,计算即可得出结果.

190

【详解】=—+15,

-120

/«)=

«+5)2

-120

令T")=-L2,得：——7=-1.2.

«+5)2

解得：t=5.

「•时刻，=5min时，蜥蜴的体温的瞬时变化率为-1.2C/min

故答案为：5.

14、y=±—

2

【解析】根据双曲线的定义由焦点坐标求出加，即可得到双曲线方程，从而得到其渐近线方程;

Y22

【详解】解：因为双曲线C—-乙=1（机〉0）的一个焦点坐标为（3,0）,即「2=4,°2=9,b2^mJLc2=a2+b2,

4

所以加=5,所以双曲线方程为工-2=1,所以双曲线的渐近线为>=土@「

452

故答案为：y=±^-x

2

2222

15、工+匕=1##匕+J

4224

【解析】将x=c代入椭圆。的方程，可得出y=±-,可得出关于。的等式，求出。的值，进而可求得〃的值，由此

a

可得出椭圆。的方程.

2

C丫22

【详解】将X=C代入椭圆C的方程可得J+与=1,可得丫=±b幺，

a2b1a

由已知可得”=21/—2）=2,整理可得—2=o，a>0,解得。=2,

aa

_____22

所以，b=y/a2-c2=V2»因此，椭圆C的方程为?+'=1.

22

故答案为：土+匕=1.

42

47

16、一##2.9375

16

【解析】先根据题干条件得到凡弓,再利用错位相减法求前64项和，最后求出前70项和.

n]fl—]

2

【详解】4+2a2+4^-----^"2"1。Z7=5①，当〃=1时，Q1=3；当〃22时，。1+22+4%~1-----1_2"=———②,

①-②得：即““

又％=（满足%=十，所以4=（

由1+3+5H-----F（2〃-1）==64,得〃=8

人「13515lo13515

令5=己+中+牙+…+吩'贝n1I15s=中+护+>+…+于'

1/

曲T粕甘殂1。1C1C1c11512122J15749lc749

两式相减得一S=—+2x—+2x—H----l-2x———-=—H——-——-~-——-=------>tm贝!!5=二^

22222328292,129512256

2

749675247

所以新数列的前70项和为k+石===7

256225616

47

故答案为：——

16

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

n

17、(1)an=2n+2,(2)小了前⑵

【解析】(D由题意可得%=q+25-1),从而可求出〃一进而可求得｛4｝的通项公式;

44111

（2）由（1）可得-----

4A+i(2〃+2)[2(〃+1)+2广诉汨=而一於'然后利用裂项相消求和法可求得结

果

【详解】(1)因为数列｛q｝是公差为2的等差数列，且%,%，%成等比数列，

所以a；=01a7即（q+4『=«!（4+12）,解得％=4,

所以4=2〃+2；

/4_4_1_1_____1_

(2)由(1)得@4+](2〃+2)(2〃+4)(几+1)(〃+2)〃+1〃+2，

所以(=11—力+&-…士)=g—$

18、(1)CM=4m,MF=36m

(2)x2=-lOOy,OH=7.24m

【解析】(1)根据梯形的几何性质，即可求解；

(2)表示出的坐标，代入抛物线方程中，结合条件解得p值，继而求得拱高.

【小问1详解】

由题意，知NA=45°,AC=4%则。0=4/%

因为A3尸M是等腰梯形，由对称性知：

AC=BE—4m,

所以MF=CE=AB—AC—E3=44—4—4=36(加)，

【小问2详解】

由(1)知S=—AC=18,

所以点M的横坐标为-18,

则N的横坐标为-(18-5)=-13.

设点M,N的纵坐标分别为山，y2,

由图形，知卜一%|=|5.55-4|=1.55

设抛物线的方程为必=-2py(p>0),将点M,N代入，得

(-18)2=-2孙，

(-13)2=—2p%，

两式相减，得2加山W)=182・132=155,

解得：2P=100

故抛物线的方程为好二100卜

11

因此，当x=-18时，y------x9------x324=—3.24根,

100100

故闻=3.24%

所以桥梁的拱高0H=3.24+4=7.24m.

19、(1)an=2n-l

+I

(2)Ti=(2n-3)2"+6

【解析】小问1：利用通项公式4与S”的关系即可求出%;

小问2：根据⑴可得2=(2〃-结合错位相减法即可求出前〃项和

【小问1详解】

当〃=1时，4sl=a；+2q+1,%=1.

当时，4S〃=a；+2a〃+l(〃eN*),…①，4s2=a；_]+2a+l(〃eN*),…②

①一②得：4%=a；-+2an-2an_x,

即：(%+«„_1)(«„-an_1-2)=0.

an>0,:.an-a^=2

..•｛4｝是以1为首项，以2为公差的等差数列，

a”=2〃-1；

【小问2详解】

由⑴可知2=(2〃—1)2,则

1=1x21+3x2?+...+(2〃—1)2",…①

23

两边同乘2得：2Tn=lx2+3x2++(2〃-1)2向，…②

①一②得：-7；=21+2X22++2x2n-(2«-l)2n+1

=2+1；:)-(2附-1)2向=-6-(2H-3)-2n+1,

n+l

:.Tn=(2n-3)2+6.

20、(1)4=2"

(2)2YI-2d----

2〃T

【解析】⑴设｛%,｝的公比为《，根据题意求得4,q的值，即可求得｛4｝的通项公式；

s