高考数学一轮复习精讲必备 第30讲 圆锥曲线的综合应用（讲义含解析）

第30讲圆锥曲线的综合应用

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一、知识梳理

1与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线1的方程而+如+仁0(46不同时为0)代入

圆锥曲线C的方程F〈x,JT(或x)得到一个关于变量x(或力的方程a*+Z)x+c=0(或a/

+5y+c=0).

(1)当时，则4>0时，直线，与曲线C相交；4=0时，直线/与曲线C相切；4

V0时.，直线/与曲线C相离.

(2)当a=0时，即得到一个一次方程，则丿与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双

曲线，则直线/与双曲线的渐近线平行；若。为抛物线，则直线/与抛物线的对称轴平行

或重合.

2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.

3.弦及弦中点问题的解决方法

⑴根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中

点；

(2)点差法：利用弦两端点适合橢圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知

弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.

4.弦长的求解方法

(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.

(2)当直线的斜率存在时，斜率为4的直线丿与椭圆或双曲线相交于小汨，％),Kx2,%)

两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：

①|AB\=#1+\|x\~X21

=7(1+4)[(%+及)2-4xixJ：

②丨AB\=yll+-j21%一姪|(20)

="\^(1+目】(%+鹿)J4为先].

二、考点和典型例题

1、直线与圆锥曲线的位置关系

【典例1-11直线y=2x-l与椭圆片+片=1的位置关系是()

94

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【答案】A

【详解】

n2i2i

§+l=，.,.（。,一1）在椭圆内，

.y=2x-l恒过点（0,-1）,.•.直线y=2x-l与椭圆片+]=1相交.

故选：A.

【典例1-2】过P（0,2）且与双曲线2-—丁=1有且只有一个公共点的直线有

（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】D

【详解】

当斜率不存在时，过P的直线与双曲线没有公共点；

当斜率存在时，设直线为^=h+2,联立]得仅-/）/-4厶-5=0①.

当2-*=0，即k=±0时，①式只有一个解；

当2-公片0时，则A=16&2+20（2-/）=0,解得％=±而：

综上可知过P（O,2）且与双曲线2f-y2=1有且只有一个公共点的直线有4条.

故选：D.

【典例1-3】斜率为6的直线过抛物线C：V=4x的焦点，且与。交于48两点，则三

角形A08的面积是（。为坐标原点）（）

A.空B.逋C.BD.3

3333

【答案】B

【详解】

抛物线C:丁=4x的焦点坐标为（1,0）,

则斜率为G的直线方程为：y=6（x-i），与抛物线方程联立得：

3x2-10x+3=0,

设厶（公,）,3（X2，，2）,不妨设％=；，%=3,

则|A8|=&+3|石-x2|=y,

点0到直线的距离为d=上闽=3,

4+32

所以△?（如的面积为丄x3xYL延

2323

故选：B

22

【典例1-4】（多选）已知双曲线。:^-当=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为巴、K，

左、右顶点分别为A、4,点户是双曲线C右支上异于顶点的一点，则

（）

A.若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA的斜率与直线戶&的斜率之积为1

B.若双曲线c为等轴双曲线，且NA%=3NPA4,则/小4寸

C.若〃为焦点片关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为0

D.延长p8交双曲线右支于点0,设△产£外与的内切圆半径分别为4、4,则

2

rtr2=（c-a）

【答案】ABD

【详解】

由题意知,4（-。，0），&（。，0），耳（f0），4（c，0），设尸（见”）,对于A,若双曲线C为等轴

双曲线，则C:x2-y2=a。

nnn

则m2-n2=a2>乂----用t人=-----则以A正

〃?+a&m-am+a

对于B,设NPA4=e,则幺尸&=38/尸4工=4，，由A选项知浮即

tan6tan4e=l,

又伤«0,万），同吟｝故'+46=会解得吟木，即/尸44弋，B正确;

对于C,易得双曲线的渐近线方程为y=-2x,若戶为焦点K关于双曲线C的渐近线的对

a

Irl-22

解得，2ab，代入C：*•-%=1,>0，％>0）可得64-2。/2-3/=/。2,即

4a4+3aV-Z>4=0.

对于D设△尸石鸟的内切圆与P0P%片《分别切于5,口,7三点,由切线长定理知

阀=同|,网=|耳刀眄刀=向可，

则国刀一伝刀=|胡卜寓身=|毕|+|冏一（内3+1尸身）=1尸耳卜1尸国=2%又

忻刀+怛刀=2c,可得即=c-a,

则7（a,0）和4重合，即△尸耳鸟的内切圆圆心G的横坐标为。，同理可得.倘G的内切圆

圆心C,横坐标也为。，

则GG丄X轴，且|cc卜厶+2，作G2丄PQ于2,则&即为切点，作GG丄CQ于

G,则62|=缶

|Gq=|GA|-|GDj=4-4，|GG|=BM=|2/|+|A段=2|項|=2（c-a）,在应C2G

中，

可得|GG「=|GG『+|C2Gf,即«+4）2=«-幻2+[2.一”）]2,整理得｛/=（°一4）2,口

正确.

故选：ABD.

2

【典例1-5】（多选）已知抛物线「：x=2P>-（p>0）,过其准线上的点7&-1）作的两条

切线，切点分别为A,B,下列说法正确的是（）

A.p=2B.当1=1时，TAA.TB

C.当t=l时，直线AB的斜率为2D.△7MB面积的最小值为4

【答案】ABD

【详解】

对A,易知准线方程为》=-1,•••。=2,C：f=4y,故选项A正确.

22

对B,设直线y+l=&（x-l）,代入y=亍，得:一依+k+1=0,当直线与C相切时，有

A=0,即22-％-1=0,设办，7B斜率分别为匕，k2,易知勺，心是上述方程两根，故

明=-1,故Z4丄7B.故选项B正确.

0）•>

对C设A&M，3（孙力），其中K吟，>2咛.则小：即

y=5x-W代入点（1，T），得玉-2必+2=0,同理可得%-2）3+2=0,

故A8：x-2y+2-0,故殯p=g.故选项C不正确.

对D,同C,切线方程9：y=^x-yl；TB：y=^-x-y2,代入点,-1）有

故直线A3的方程为T=,-y,即y=gx+l,联立/=今

有炉一2択一4=0，则%[+£=2厶中2=T，故|西一百=J(X|+工2厂一4芭%2=2，产+4,又

产+4I----

(r,-l)到tx-2y+2=0的距离d=-===+4,故

Vr+4

iIx213i3

2

SAnB=-Jl+^-|x,-x2|J=-(r+4)2,故当f=0时△力48的面积小值为5x42=4,故D

正确；

故选:ABD

2、中点弦及弦长问题

22

【典例2-1】（2022•江苏•高二）已知椭圆C:*■+方=1（a>6>0）的左焦点为F,过F

作一条倾斜角为45的直线与椭圆C交于A8两点，若M（-3,2）为线段AB的中点，则椭

圆C的离心率是（）

A.&B.；C.-D.—

3255

【答案】A

【详解】

设点厶（玉,必）,B（X2,%）,依题意，,，，丁'？；一I]，

hx^+a=crb-

相减得〃（斗+々）（玉-X2）+22（扌+%）（弘一%）=0，因直线的倾斜角为45,即直线46

的斜率为五也=1,

占一刍

又M（—3,2）为线段4?的中点，贝iJ%+%=-6,乂+必=4,因此有4/_6必=0,即

b-2

--=一.

a23

所以椭圆C的离心率e=二优=flZ=B.

aY/3

故选：A

【典例2-2]（2022•内蒙古•赤峰二中高二阶段练习（文））已知双曲线C的中心在坐标

原点，其中一个焦点为尸（-2,0）,过尸的直线/与双曲线C交于4、6两点，且46的中点

为N（-3,-l）,则C的离心率为（）

A.aB.—C.亜~D.G

32

【答案】B

【详解】

由F、、两点的坐标得直线1的斜率&=1.

•.•双曲线一个焦点为（-2,0）,：.c=2.

22

设双曲线C的方程为*•-点"=1（。>0,6>0）,则"+/=4.

设厶（与,乂），8（刍,%）,则%+々=-6,%+%=-2,=1.

X—“2

丄货=1少（N+X2）（X「X2）_（）1+/）（）「》）

不一戸?P-

噂+亳=8a2=3b2»易得〃*=3,Z?2=1,c2=4»

双曲线「的离心率e=£=2&.

a3

故选：B.

【典例2-3】（河南省新乡市2021-2022学年高二下学期期末数学文科试题）已知抛物线

2

C：x=6yf直线/与C交于4夕两点，若弦A4的中点为（1,4）,则直线/的斜率为

）

丄

AB.3C.D.—3

-43

【答案】c

【详解】

玉2=6M

解:设4（x，x）,3（孙丫2），则所以x；-*=6x-6%,整理得

x；=6y2

）'|一'

x}-x26

因为弦AB的中点为（1,4）,所以黄=k=即直线/的斜率为;.

XX1-3

故选：C

【典例2-4】（多选）（2022•全国•高三专题练习）已知椭圆C:〃>+,/=1与直线

y=x+l交于A、B两点,且卜3|=半，为AB的中点，若P是直线A3上的

点，则()

A.椭圆C的离心率为立B.椭圆C的短轴长为白

2

C.OAOB=-3D.P到C的两焦点距离之差的最大值为2正

【答案】ACD

【详解】

令A(x”X)、3(9,必)，则上叫J"”：，

[mx2+佻=1

则?+共

则加储T)+”(y：一组=0,=0,

n-%2

m弘一必凹+必=o则会算"。,所以‘rixHr-

则一+

nXj—x2x}+x2

所以，~=\,则m<〃，丄>丄，椭圆的标准方程为1十二

n2mn

mn

1

所以，椭圆C的焦点在x轴上，即”=拳='=：,

a2J_n2

m

ea2-b2,b2丄，即°=正，A对:

22

x1+2y2=2b2

椭圆C的方程为丁+2丁=2〃，联立

y=x+\

△（）

消y可得3炉+4。+2-汨=0,=16-122-劝2=24。2-8>0,可得匕工,

4

+%2=----I----------I—

贝小2-2b29,•』A8|=&J（F+X2）2_4xB2'

所以，h2=31则b=,所以，椭圆。的短轴长为2b=2\/^,B错；

4

OA-OB=xix2+y[y2=x1x2+（玉+l）（x24-1）=lx{x2+（玉+/）+1=--x3+l=-3,C对;

椭圆。的方程为/+2丁=6,其标准方程为《+?=1,C=V6^3=A/3,

63

椭圆C的左焦点为4卜6,0）,右焦点为月（6,0）,如下图所示：

nm-\/3.

—=---------+1m=-l

22,解得，

设点E关于直线AB的对称点为点£（〃，,“），则■

n=1—A/3

m+y/3

即点貝-1,1-白卜

易知|PK|=|P£|,则忸闾_|p3==2夜,

当且仅当点尸、E、B三点共线时，等号成立，D对.

故选：ACD.

【典例2-5】（多选）（2021•江苏省灌云高级中学高二阶段练习）过"（1,1）作斜率为2

的直线与双曲线｝13。…）相交于从6两点，若“是46的中点，则下列表述正

确的是（)

A.KaB.渐近线方程为尸土2x

C.离心率e=bD.b>a

【答案】CD

【详解】

解：设厶（再,凶）,8（0力），

2城

1?-戸=1

，

爷

!^-=1

2_22_2

两式相减得百二占_=0,

a-b-

化简得•❷，

%一々a%+%

因为4（1,1）是46的中点，

所以9=2,即2=夜，

所以人。，渐近线方程为y=离心率为e=£=吟=6

故选：CD

3、圆锥曲线的综合应用

【典例3-1】（2022•北京•北大附中三模）已知椭圆C：5■+¥=1（。＞人＞0）经过点

A（-2,0）,B（0,-l）.

（1）求椭圆C的方程及其离心率；

（2）若尸为椭圆C上第一象限的点，直线融交）'轴于点直线PB交x轴于点N,且有

MNHAB,求点P的坐标.

【答案】⑴=离心率为¥：（2）（©貝

【解析】（1）

依题知：a=2,b=\,所以c=J/—）?=冃

所以椭圆方程为三+丁=1,离心率e=£=虫.

4a2

（2）

如图：

设第一象限有机,"＞0,—+n2=1©；

\PM\_\PN\

由MV〃A8得:

\MA\~|NB|

\PM\=^=mM=2>n

\MA\xA2'M为T="'

因此万=〃②,

m=5/2

,故p（立当.

联立①②解得V2

n=—i2丿

2

【典例3-2】（2022•陕西咸阳•二模（文））已知抛物线匚丁二？0^。）。），过焦点?作

x轴的垂线与抛物线。相交于M、N两点，Sm=2.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）若4、夕两点在抛物线，上，且|AF|+忸尸|=10,求证：直线A3的垂直平分线，恒过定

点.

【解析】⑴

因为MN过焦点且与x轴垂直，故|MM=2p,

故S△刎=g|MN|.|OF|=g.2夕］=2,

解得：P=2,从而抛物线。的方程为V=4x.

（2）

设线段A8中点为。（%,%）,4（%,y），B（x,,y2）,

由题知，直线AB的垂直平分线斜率存在,设为才,则：|厶尸|+|"|=4+%+2=10,

/.Xj+x2=8,/./=4.

#=4为

若直线A8不与X轴垂直，由<得,（乂+必）（乂一%）=4（%一天），

员=4x?

y-必442

即总------=-------=--------

玉一々yt+y22y0y0

则直线/斜率为人=-豈，

从而直线/的方程为y-%=-，（x-4）,

整理得：y=-£（x-6）恒过点（6,0）.

若直线与“轴垂直，则/为直线y=0,显然也满足恒过点（6,0）.

综上所述，直线/恒过点（6,0）.

【典例3-3】（2021•湖南•模拟预测）已知双曲线C：5-/=l（a>0/>0）的其中一个焦点

为（石,0）,一条渐近线方程为2x-y=0

（1）求双曲线C的标准方程;

（2）已知倾斜角为了的直线/与双曲线C交于两点，且线段A8的中点的纵坐标为

4,求直线/的方程.

（）

【答案】1/一上=1(2)x+y-3=0

4

（1）由焦点可知c=JL

又一条渐近线方程为2x-y=0

所以纟=2,

a

由/=储+力2可得5=/+4/，解得片=1，力2=4,

故双曲线。的标准方程为犬-21=1

4

（2）设厶（西,%）,8（々,必），仍中点的坐标为（％,4）

则斤-豈=1①，x,2_&t=i②，

44

②-①得：xj2=五_强，

~44

即忆=/^=-^=入0,又k=tan与=-1,

%44

所以%=7，

所以直线/的方程为y-4=-（x+l）,即x+y—3=0

【典例3-4]（2020•山东•高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点。，椭圆二+丁=1

4-

的顶点分别为4，4，B-B”其中点外为抛物线的焦点，如图所示.

（1）求抛物线的标准方程;

（2）若过点A的直线/与抛物线交于M，N两点，且（OM+ON）//g人,求直线/的方

程.

【答案】（1）/=8x；（2）（V6-2）x-y-4+2x/6=0.

【详解】

解：（1）由椭圆上+），=1可知储=4，b2=\,

4-

所以4=2,b=},则4（2,。），

因为抛物线的焦点为4,可设抛物线方程为y2=2Px（p>0）,

所以5=2,即p=4.

所以抛物线的标准方程为/=8x.

5,(0,-1),

若直线/无斜率，则其方程为x=-2,经检验，不符合要求.

所以直线/的斜率存在，设为3直线/过点4（-2,0）,

则直线/的方程为y=Z（x+2）,

设点加（占,乂），"（吃,月）,

[y=k（x+2）

联立方程组匕O，

[y=8x

消去得公£+（4-一8）x+4公=0.①

因为直线/与抛物线有两个交点，

k2工0k00

所以八，即。2\222，

A>0[（4%2一8）x4k2>0

解得一1<女<1,且女W0.

由①可知％+/=~~y—，

K

*一4"2«

所以y+%=火(％+2)+%(9+2)=女(％+/)+4R=---------+4k=—,

kk

8-妹28]

贝iJOM+ON=(X\+々，乂+%)=丁丁可

因为(OM+ON)〃44,且44=(2,0)—(0,—1)=(21)，

8-4公

所以2x

k2-r°

解得A=-2+>/6或％=—2—\/6,

因为且ZwO,

所以攵=-2-而不符合题意，舍去，

所以直线/的方程为尸卜2+网（x+2）,

即（遥-2）x-y-4+2#=0.

【典例3-5］（2022•全国•高考真题）已知点42,1）在双曲线J=上，

aa

直线，交。于80两点，直线ARA。的斜率之和为0.

（1）求，的斜率；

（2）若tanNPAQ=2VI,求△抬。的面积.

【答案】（1）-1;（2）电I.

9

【解析】

（1）

2241

因为点A（2,l）在双曲线c：二r--上，所以r-Y—=1,解得片=2,即双曲

a2a-