2023年新高考数学一轮复习讲义第43讲 空间向量及其运算含解析

2023年新高考一轮复习讲义第43讲空间向量及其运算

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.(2022•福建•莆田锦江中学高三阶段练习)已知”=(1,2,1)是直线/的方向向量，u=(2,y,2)为平面a的

法向量，若Ua,则y的值为()

A.-2B.--

2

C.-D.4

4

2.(2022•全国•高三专题练习)已知向量二=(1,1,0),U(-1,O,2),且%a+方与2a-6互相垂直，则k的值

是()

457

A.-1B.—C.-D.—

335

3.(2022•浙江•高三开学考试)在平行六面体4BCD-ABGR中，E为的中点，下为的中点，

AE=a,AF=b,AD=c,贝ij=()

43,r4,4

A.-a—b-cB.-a—b—c

3233

「42]434

C.-a——b——cD.a——b——c

33323

4.(2022•全国•高三专题练习)d=(1,-1,3),6=(-1,4,-2),c=(1,5,x),若〃也。三向量共面，则实数工=

()

A.3B.2C.15D.5

jr

5.(2022•全国•高三专题练习)如图，空间四边形OA8C中，OA=OB=OC=2,ZAOC=ZBOC=-,

TT

N40B=m，点N分别在OA,BC上,且OM=2M4,BN=CN,则例N=()

r扃•--

3>4

6.（2022•湖南•高三开学考试）两条异面直线。力所成的角为60,在直线上分别取点AE和点aF,

使且AB_LA.已知AE=6,BF=8,EF=2历则线段A3的长为（）

A.8B.476C.473D.8百

7.（2022•湖南益阳•模拟预测）在正三棱锥P-ABC中，。是「ABC的中心,PA=AB=2,则PO.尸A=

()

A5遥述8

D.

93亍3

8.（2022•北京•高三开学考试）在棱长为2的正方体ABC。-A4G。中，点E,尸分别为棱A8,GA的中

点.点尸为线段EF上的动点.则下面结论中镣退的是（）

A.PA,=PBiB.A耳〃平面PAP

C.DtPlBtCD./qPC是锐角

9.（多选）（2022•江苏镇江•高三开学考试）已知空间向量方=（2,-1,5）,6=（-4,2,x）,则下列选项正确的

为（）

A.若“//万，则x=10

B.若a_Lb，则x=2

C.若x=-3,则,+耳=3

D.若x=0,则cos<「,〃>=一^^

6

10.（多选）（2022•全国•高三专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条

棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60。，M为AC与BQ的交点，若AB=a,AD=b,A4,=c,则下列正确

的是（）

__<

,o

AB

A.BM=-a-—b+cB.AC=a+b+c

22]

c.4G的长为石D.cos(A8,

11.（多选）（2022•全国•高三专题练习）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确

的是（）

A.两条不重合直线//,〃的方向向量分别是”=（2,3,-1）,。=（-2,-3,1）,则“4

B.直线/的方向向量4=（1,-1,2）,平面a的法向量是〃=（6,4,-1）,则/_La

C.两个不同的平面a,£的法向量分别是"=（2,2,7）,丫=（一3,4,2）,则a_L尸

D.直线/的方向向量a=（0,3,0）,平面a的法向量是〃=（0,-5,0）,则〃/a

12.（多选）（2022•全国•高三专题练习）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果

AB=（2,-1,-4）,AD=（4,2,0）,AP=（-1,2,-1）,下列结论正确的有（）

A.AP1ABB.APA.AD

C.4P是平面ABCD的一个法向量D.AP//BD

13.（2022•湖南•高三阶段练习）若直线/的方向向量〃?=（x,-l,2）,平面。的法向量”=（-2,-2,4）,且直线

平面a,则实数x的值是.

14.（2022•全国•高三专题练习）若四点A（0,2,0）,B（l,-l,0）,C（l,2,3）,。（3,2机,〃）共面，则（〃?,〃）可以

为.（写出一个符合题意的即可）

15.（2022•江苏•句容碧桂园学校高三开学考试）已知.=（3,2,-1）,b=（2,1,2）,则（a-q-（a+2到

16.（2022•全国•高三专题练习）棱长为1的正方体,P在正方体的12条棱上运动，则

AC-BP的取值范围是.

17.（2022•福建省福安市第一中学高三阶段练习）已知正四面体A8C。的棱长均为2,则

AB+-BC+-BD=

22-------------------

18.（2022•江苏镇江•高三开学考试）已知四棱锥尸-AfiS的底面是平行四边形，侧棱尸8、PC、PD1.

分别有一点E、F、G,且满足=,PF=APC，若A、E、F、G四点共面，则

3PG=-PD

2

实数.

19.（2022•全国•高三专题练习）如图，在棱长为〃的正方体ABC短-AAGR中，M为8c的中点，E为

A6与RM的交点，F为8M与c用的交点.

⑴求证：BD,1A.C,,BD,1B,C.

（2）求证：EF是异面直线AC与BC的公垂线段.

20.（2022•全国•高三专题练习）如图，在几何体ABCDE中，ABC,BCD,COE均为边长为2的等边

三角形，平面ABCJ•平面BCD,平面DCE_L平面BCD.求证：A,B,D,E四点共面；

【素养提升】

1.（2022•全国•高三专题练习）在平行六面体A88-A8CQ中,AB=2,AE>=2,M=4,

N8A。=N8441=ND4A=60,则Ba与CA所成角的正弦值为（）

A/30后「5不

A.--------R.------C.--------U.--------

42421414

2.（2022•江苏镇江•高三开学考试）四棱柱ABCD-44GR的底面ABC。是边长为1的菱形，侧棱长为

2,且NGC2=NGCr>=N8C£>=60。，则线段A。的长度是（）

A.瓜B.皿C.3D.Jn

2

3.（2022•浙江•杭州高级中学模拟预测）如图，已知矩形A8C。的对角线交于点E,A8=x,8C=l,将

△4?。沿30翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得A3ACE,则x的取值范围是（）

A.0<x<>/3B.0<x<V2

C.0cx<1D.0<x<y/b

4.（2022•江苏•华罗庚中学三模）如图，在平行六面体ABC。-44GA中，AB=AD=2,AAt=3,

ND48=ND44=NBAA=60。，点E是48中点，则异面直线4G与。E所成角余弦值是

5.（2022•浙江•模拟预测）若尸、。、R是棱长为1的正四面体棱上互不相同的三点，则PQ-QR的取值范

围是.

6.（2022•浙江省富阳中学高三阶段练习）空间两两垂直的单位向量。4，OB,OC，其中。为坐标原点,

空间一点P满足尸一2OA—心-4OC|>2|cp|（2,Zze/?）,则（OP-OA）•（OC-OA）的最大值

7.（2022•江苏•泰州中学高三开学考试）如图，已知正方形A3CD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，

AB=应,AF=t,M是线段EF的中点.

（1）求证：AM〃平面3£）E；

（2）若线段AC上总存在一点P,使得尸尸,屈，求，的最大值.

第43讲空间向量及其运算

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.(2022•福建•莆田锦江中学高三阶段练习)己知“=(1,2,1)是直线/的方向向量，

v=(2,y,2)为平面a的法向量，若，_La,则y的值为()

A.-2B.--

2

C.—D.4

4

【答案】D

【分析】根据/•1a得〃八计算得解.

【详解】因为所以“N，所以＜=2=:，计算得y=4.

2y2

故选：D.

2.(2022•全国•高三专题练习)已知向量二=(1,1,0),力=(-1,0,2),且履+b与2aM互相

垂直，则女的值是()

4八57

A.-1B.—C.-D.一

335

【答案】D

【分析】先求出—+匕与2a-匕的坐标，再由履+人与2a-6互相垂直，可得

(版+〃》(2.-8)=0,从而可求出k的值.

【详解】因为。=(1],0)，^=(-1,0,2),

所以切+b=々(U,0)+(-1,0,2)=伏-1,乂2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2),

因为心+/＞与2a-6互相垂直，

所以卜4+6＞(2“-6)=3伏-1)+2左-4=0,解得k=(,

故选：D

3.(2022•浙江•高三开学考试)在平行六面体4BCD-A8C。中，E为GR的中点，F为

8⑸的中点，AE^a,AF^b,AD=c,则A4=()

〃42,4八3,4

C.—a——b——D.a——b——

33323

【答案】C

【分析】设M=〃?,四=〃，根据空间向量的线性运算表达4瓦4尸，再联立求解机即可.

【详解】设A4,=历,A5="则AE=a=m+^n+c,AF=b=〃+；机.

424

+c,所以团=一白——b——c

333

4.（2022•全国•高三专题练习）〃=（1,-L3）,6=（-1,4,-2）,c=（1,5,幻，若三向量共

面，则实数工=（）

A.3B.2C.15D.5

【答案】D

【分析】利用向量共面的坐标运算进行求解即可.

【详解】・・"=（1,一1,3）,1=（-1,4,一2）,工小与力不共线,

又•：a、b、c三向量共面，则存在实数〃z,〃使c=+

m-n=1

即<TW+4〃=5,解得〃=2,加=3/=5.

3m-2n=x

故选：D.

5.（2022•全国•高三专题练习）如图，空间四边形03。中，OA=OB=OC=2,

TTTT

ZAOC=ZBOC=~,NAOB=—，点、M,N分别在04,BC上，且OM=2M4,

23

BN=CN,则MN=()

M

B

AV22RV46rV34nV21

3333

【答案】A

【分析】首先根据空间向量线性运算法则用。4，OB，0C表示出MN，再根据数量积的

运算律计算可得.

【详解】解：OM=2MA,BN=CN,

MN=ON-OM=-(OB+OC)--OA=--OA+-OB+-OC.

23322

TTTT

又OA=OB=OC=2,NAOC=N8OC=—,ZAOB=-

23t

所以QAOC=0，OBOC=。，04。3=„烟85。=2,

所以MN?=(--OA^--OB+-Oc]=-OA+-OB2+-O(j2--OAOB--OAOC+-OBOC

1322yl944332

*研+；侬2+；因2-^OAOB

=-x22+-x22+-x22--x2=—,

94439

所以

故选：A.

6.(2022•湖南•高三开学考试)两条异面直线“力所成的角为60,在直线。力上分别取点

4,£和点8,尸，使M_La,且A8J_6.已知AE=6,8F=8,EF=2历则线段A3的长为

()

A.8B.4瓜C.46D.

【答案】B

【分析】利用空间向量£^=£4+AB+B/7，结合模长运算处理，重点注意EA、BF的夹

角与异面直线“力的夹角之间的关系.

【详解】由题意知：EF=EA+AB+BF-所以

EF'=£^+AB2+BF2+2EAAB+2ABBF+2EABF，

又异面直线a6所成的角为60，贝IJ142=62+AB2+82+0+0±2X6X8COS60

所以卜,=川48-62-82±48,则卜耳=4"或朋=0（舍去）

故选：B.

8

8_

F--

b

7.（2022•湖南益阳•模拟预测）在正三棱锥P-ABC中，。是二ABC的中心，

PA=AB=2,则尸OPA=（）

A.2B.JLC.逑D.B

9333

【答案】D

【分析】将PA转化为PO+OA,由三棱锥是正三棱锥可知PO,OA，即可将PO-PA转化

为|PO『，结合勾股定理即可求解.

【详解】P-ABC为正三棱椎，。为A5c的中心，

；.P。，平面ABC,△ABC是等边三角形，J.POVAO,

POOA=Q,\AO\=~\AB\-^n^=苧，

故PO.PA=PO（PO+OA）=pO『=|AP|2-|AOF=4-g=§.

故选：D.

8.（2022•北京•高三开学考试）在棱长为2的正方体ABCQ-AECD中，点E,F分别为

棱A8,CQ的中点.点P为线段EF上的动点.则下面结论中垂误的是（）

5

A.尸4=尸4B.44〃平面RAP

C.D,P1B,CD./8/C是锐角

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题.

【详解】以。为坐标原点，分别以DC,。。所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐

标系，

则A（2,0,2）,矶2,2,2）,P（m,1,2-〃?）,D,（0,0,2）,C（0,2,0）,

则PA=（2-n7,-l,/n）,PB[=（2-w,l,/n）,

|PA1卜J（2—J%）2+1+吠2=,5-4）〃+2-2,|「及卜J（2-〃7y+l+〃?2=d5-4m+2m?,

所以尸4=?与，A正确；

因为4M〃AE:,a平面RAP,AEU平面RAP,

所以4片〃平面RAP,B正确；

D{P-（zn,-1,-m）,5）C=（-2,0,-2）,

所以£）尸4C=（八一1,一回•（一2,0,-2）=-2m+2m=0,

所以C正确；

COSNBPC=PB'PC=」2-肛1,哈（誓,1,/”-2）=2〃：-4,〃+l

'卜闻,0°|'2/-4,”+5•以，-4”?+52m2-4m+5

_2（/n-l）2-l

2（/M-1）2+3'

当1-变"<1+也时，cosZ^PC<0,

22

此时NB/C为钝角，故D错误.

9(多选)(2022•江苏镇江•高三开学考试)已知空间向量方=(2,7,5),b=(-4,2,x),则

下列选项正确的为()

A.若aMb，则x=10

B.若〃_Lb,则x=2

C.若x=—3,则,+以=3

D.若x=0,贝!Jcos<£力>=―^

6

【答案】BCD

【分析】对于A、B分别根据向量平行和垂直的等价条件转换计算；

对于C、D分别代向量的模的公式及夹角公式计算可得.

【详解】向量2=(2,—1,5),6=(-4,2,x)

对于A.若alb,则4=1=9,所以x=T0,故此选项错误；

-42x

对于B.若q_L6，2X(Y)+(—l)x2+5x=0,则x=2,故此选项正确；

对于C.若x=—3,贝lJ%=(-4,2,-3),则〃+6=(-2,1,2L++耳=〃+1+4=3,故此选项正

确；

rfa-h-8-2显

对于D.若x=0,则6=(-4,2,0),所以cos<>=郦।=底底=一了,故此选项正

确；

故答案为：BCD

10.(多选)(2022•全国•高三专题练习)如图，在平行六面体A8CO-ABG2中，以顶点

A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60。，M为AC与BQ的交点，若

AB=AD=byA4,=c,则下列正确的是()

A

A.BM=-a-—b+cB.AC=a+b+c

22}

c.AC的长为石D.co《AB,AC)=^~

【答案】BD

【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，

平方后计算出|更『=6,从而求出B乙卜卡；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计

算.

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A选项，BM=88^13^=AA<+^（BA+BC）=^b-^a+c,A错误，

对于B选项，AC{=AB+AD+CCx=a+b+c,B正确：

对于C选项，AG=a+/?+c,则

|AC||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a-b+2a-c+2b-c=6,

则|尼||="，C错误:

2ABAC,_V6

对于AB-ACX=a+b+c}=a+a-b+a-c=2,则cosA8,AG=D正确.

故选：BD.

H.（多选）（2022•全国•高三专题练习）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的

结论中，正确的是（）

A.两条不重合直线//,〃的方向向量分别是。=（2,3,-1）为=（一2,-3,1）,则“〃°

B.直线/的方向向量。=（1,—1,2）,平面。的法向量是M=（6,4,—1）,贝

C.两个不同的平面a,4的法向量分别是“=（2,2,-1）,n=（-3,4,2）,则a_L6

D.直线/的方向向量4=（0,3,0）,平面a的法向量是"=（0,-5,0）,则〃/&

【答案】AC

【分析】根据条件结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可.

【详解】对于A,两条不重合直线。,/2的方向向量分别是a=(2,3,-1)力=(-2,-3,1),且

b=-a,所以“4,选项A正确：

对于B,直线/的方向向量。=(1,-1,2),平面a的法向量是w=(6,4,-1)且

a-M=lx6-lx4+2x(-l)=0,所以〃/a或/ua,选项B错误；

对于C,两个不同的平面%夕的法向量分别是“=(2,2,-1)/=(-3,4,2),且

wv=2x(-3)+2x4-lx2=0,所以a_L£,选项C正确；

对于D,直线/的方向向量a=(0,3,0),平面a的法向量是〃=(0,-5,0)且“=-|a,所以

l±a,选项D错误.

故选：AC

12.(多选)(2022•全国•高三专题练习)已知点P是平行四边形ABC。所在的平面外一

点，如果A8=(2,-l,T),A£>=(4,2,0),AP=(-l,2,-l),下列结论正确的有()

A.APVABB.APLAD

C.AP是平面ABQ)的一个法向量D.AP//BD

【答案】ABC

【分析】由APA8=()，可判定A正确；由AP-AZ)=0，可判定B正确；由APJ.A8且

APJ.AO，可判定C正确；由AP是平面ABCD的一个法向量，得到AP_L8O，可判定D

不正确.

【详解】由题意，向量A8=(2,-1,Y),AO=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),

对于A中，由4PA8=2x(-l)+(-l)x2+(-4)x(-l)=0,可得APJ_AB，所以A正确；

对于B中，由”•AD=(-l)x4+2x2+(-l)x0=0,所以所以B正确；

对于C中，由且AP_LAO，可得向量AP是平面A8CD的一个法向量，所以C正

确；

对于D中，由AP是平面ABC。的一个法向量，可得APJ-BD，所以D不正确.

故选：ABC

13.(2022•湖南•高三阶段练习)若直线/的方向向量〃/=(x,-l,2),平面a的法向量

,1=(-2-2,4),且直线平面a,则实数x的值是.

【答案】-1

【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.

【详解】直线/的方向向量，"=(乂-1,2),平面a的法向量”=(-2,-2,4),直线/，平面a,

必有小//〃,即向量加与向量〃共线，

m=An>—=-=T>解得X=-1;

-2-22

故答案为：-1.

14.（2022•全国•高三专题练习）若四点A（0,2,0）,B（l,—1,0）,C（l,2,3）,仇3,2%,“）共

面，则（，","）可以为.（写出一个符合题意的即可）

【答案】（1,9）（答案不唯一，满足〃=2%+7即可）

【分析】根据共面定理列方程组求解可得，〃和〃的关系，然后可得.

【详解】因为四点A（0,2,0）,8（1,—1,0）,C（l,2,3）,0（3,2科”）共面,

所以向量A8=（l,-3,0）,AC=（1,0,3）,A/）=（3,2/n-2,〃）共面，

所以存在实数x,使得AO=xAB+yAC,

即（3,2m-2,"）=x（l,—3,0）+y（l,0,3）,

x+y=3

所以，—3%=2m-2,解得〃=2机+7,

3y=〃

令机=1,得〃=9,则（孙］可以为（1,9）.

故答案为：（1,9）（答案不唯一，满足〃=2帆+7即可）

15.（2022•江苏•句容碧桂园学校高三开学考试）已知、=（3,2,-1）,b=（2,1,2）,则

（a-/?）•（4+26）=.

【答案】2

［分析］根据空间向量的坐标运算与数量积公式求解即可

1111

【详解】因为a-b=（3,2,-l）-（2/,2）=（U,-3）,a+26=（3,2,-1）+（4,2,4）=（7,4,3）

^a-b）.（a+2^）=（l,l,-3）-（7,4,3）=7+4-9=2

故答案为：2

16.（2022•全国•高三专题练习）棱长为1的正方体尸在正方体的12条

棱上运动，则AC-BP的取值范围是.

【答案】［一草］

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得A。BP的表达式，进而求得4c尸的取

值范围.

【详解】建立如图所示空间直角坐标系，A（l,0,0）,C（0,l,0）,B（l,l,0）,

AC=（-l,l,0）,设P（x,y,z）（且P只在正方体的12条棱上运动）,

则成=(%TyTz),

ACBP=\-x+y-\=y-x,

0<x<l-l<-x<0

由于,所以=>—1<y—x<1.

0<y<l0<y<l

当x=l,y=O时，AC-8尸取最小值-1;当x=O,〉=l时，AC-8P取最大值1.

故答案为：[-1,1]

17.（2022•福建省福安市第一中学高三阶段练习）已知正四面体A8CD的棱长均为2,则

AB+-BC+-BD=

22------------------

【答案】百

【分析】C。中点为E,由向量的加法法则可知48+/8。+；8。=,百，在正三角形

AOC中即可求出答案.

【详解】如图所示：取中点为E,连接AE、BE,

在中：-BC+-BD^BE,

22

所以AB+jBC+gsD=卜8+8目=,后|,

在正三角形AOC中，E为CD中点,AD=2,DE=\

所以A£=Jm-£＞炉=6.

故答案为：耳.

18.（2022•江苏镇江•高三开学考试）已知四棱锥P-ABCC的底面是平行四边形，侧棱

2

PB、PC、PD上分别有一点E、F、G,且满足=,PF=APC，

3PG=-PD

2

若A、E、F、G四点共面，则实数几=.

【答案】|2

【分析】根据四点共面的等价条件以及AO=BC，可得出P尸关于的两个表

达式，可得出关于2的方程组，即可解得实数2的值.

【详解】因为A、E、F、G四点共面，则存在也、使得AF=nME+〃AG，

所以，PF-PA=m^PE-PA)+n(PG-PA)

/、，、2I

所以，PF=mPE+nPG+(1—/n—n)PA=(\—tn—n)PA4--mPB+—nPD,

因为A£)=BC，PD-PA=PC-PB^所以，PC=-PA+PB+PD，

21

因为PF=4PC，^(\-m-n)PA+-mPB+-nPD=-^PA+^PB+XPDy

\-rn-n=-A

27?

所以，=2,可得1一；冗=一；1,解得几=：.

-n=A

12

,9

故答案为：—.

19.（2022•全国•高三专题练习）如图，在棱长为。的正方体ABC。-ABCQ中，M为B©

的中点，E为AG与。M的交点，产为BM与cq的交点.

⑴求证：8D|J.AG，BDJBC.

(2)求证：环是异面直线AG与BC的公垂线段.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)以。为原点，D4,Z)C,Z)A分别为X、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，写

出图形中各点的坐标，用向量法证明直线垂直；

(2)用空间向量法证明直线垂直.

(1)

以。为原点，。4,。。,。。分别为小户z轴正方向建立空间直角坐标系.

坐=较=2=丝

正方体中,

EC、C、MB,F

则£>(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Dt(0,0,a),\(a,0,a),Bx[a,a,a),

G(0,a,a),

所以BR=(-a,-a,a),AG=(-a,a,0),BlC=(-a,0,a).

因为8£>「4。1=储—储+0=0,所以8RJ_AG，即BQJ.AG;

因为比卜4。=/+0_/=0,所以BRLgc,即8A_L8C；

(2)

由(1)AG=(-a,a,0),B,C=(-a,0,a).

22

所以=-；+5+0=0,所以即

EFBtC=-y+O+y=O,所以EFJ_B|C,即EF_LBC.

又EFcAG=E,EFcBC=F,

所以即是异面直线AG与BC的公垂线段.

20.(2022•全国•高三专题练习)如图，在几何体ABCDE中，ABC,BCD,CDE均为

边长为2的等边三角形，平面ABC,平面BCD,平面。CEL平面BCD.求证：A,B,

D,E四点共面；

【答案】证明见解析

【分析】取CD的中点H,连接E",取8c的中点。，连接AO,。。，证明阳，平面

BCD,衣，平面ABC,得。O,AO,80两两垂直，以。为坐标原点，04所在直线为x

轴，。8所在直线为y轴，。。所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点

\EH\=^

坐标，设由,=0求得E点坐标，证明向量8瓦区4,3。共面，得证四点

EHBC=0

共面.

【详解】

取CQ的中点”，连接EH,取BC的中点。，连接A。。。，

因为平面。CE1>平面BCZ),且平面平面3cD=C£>,

而一DCE为等边三角形,所以因此即_L平面BCZ),

因为平面ABC_L平面BCD,且平面ABC-平面3a>=3C,

又因为△BCD为等边三角形，所以“>_LBC,因此DO_L平面ABC,

又因为AOu平面ABC,因此。OLA。，

又因为‘ABC为等边三角形，所以3CLAO,因此。4,08,0。两两垂直，

从而以。为坐标原点，所在直线为*轴，。8所在直线为y轴，。。所在直线为z轴建立

如图所示的空间直角坐标系，

又因为~ABCzBC，.CDE均为边长为2的等边三角形，所以0（0,0,0）,C（0,T,0）,

B（0,l,0）,D（0,0,>/3）,A（>/3,0,0））H0,-1,y,

\7

（jA

设£1（m,九/）,则E77=----t,3。=（0,-1,6）,BC=（O,—2,0）,

］阳=6

由于=所以<

EHBC=O

因此E后-g用，所以BE=G-|，S，BA=（3T0）,BO=（0,-1,@,

所以8£=84+；瓦），由空间向量基本定理可知：BE,BA,8。共面，所以AB,。,E四点共

面；

【素养提升】

1.（2022•全国•高三专题练习）在平行六面体ABCQ-AAGR中，AB=2,AD=2,

M=4,ABAD==ZDAA,=60,则BQ与C4所成角的正弦值为（）

AV21R>/3「向n5x/7

42421414

【答案】D

【分析】先利用基底表示向量8G，C4,，再利用向量的夹角公式求解.

【详解】解：=^+^,04]=AA,-AC=AA,-AD-AB,

则8Gq=（AD+A4l）（A4t-AZ）-AB）＞

22

=ADAA,-AD-ADAB+AA.-ADAAt-ABAA]=6,

Wq=#O+A4,）2=7AZ7+2AD-AA.+AA,2=25,

-AD-AB^

=+Ab"+AB"-2A\AD-2ABAAi+2ADAB=2G，

=击，

2.（2022•江苏镇江•高三开学考试）四棱柱ABCO-ABCR的底面ABCO是边长为1的菱

形，侧棱长为2,且NGCB=N£CO=N8CO=60。，则线段AQ的长度是（）

A.y/6B.叵C.3D.VTT

2

【答案】D

【分析】根据向量运算法则表示C4,=C£>+CB+CG，平方化简计算得解.

【详解】因为04,=6+（76=8+。8+。0,且/6。8=/（；&0=/88=60。

所以（CA丫=（co+CB+CC,）2

=|CD|2+|CB|2+|cc,|2+2|CD|X|CB|XCOS600+2|c/9|x|cc||xcos60°+2画X|CC,|xcos60°

111所

=l+l+4+2x—+2x2x—+2x2x—=11

222

以|小卜而，即线段A。的长度是JTL

故选：D.

3.（2022•浙江•杭州高级中学模拟预测）如图，已知矩形A8CD的对角线交于点

E,AB=x,8C=l,将△ABD沿8。翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得A8八CE,

则x的取值范围是（）

A.0<x<V3B.()<X<V2

C.0<x<lD.0<x<>/6

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，表示出翻折后的位置A(a，6，c),利用向量垂直，数量积为

零，找出关系式笈=1-进而求得》2=2(1-〃)，再利用极限位置求得。的最小值，即可

求得答案。

【详解】如图示，设A处为沿8。翻折后的位置，

以。为坐标原点，D4QC分别为％)，轴，过点。作平面ABC。的垂线为z轴，建立空间直

角坐标系，

)Y

则A(l,0,0),B(l,x,0),C(,0,x,0),E(5,5,0),设A(a，，，c),

由于IA0=1,故。2+〃+°2=1,

1x

而网=(a-i,b-x,c),DAt=(a,b,c),CE=0),

由于，故3A_L£)A，则=a(a—D+b(。一幻+。2=0,

即hr=l—a；

又由在翻折过程中存在某个位置，便得45ACE,不妨假设BA_LCE,

1x

则84.0£=万(。_1)_53_此=0,即/_灰+。_]=0,

HPx2=bx+\—a=2(\—a),

当将△AB。翻折到如图VABD位置时，VABD位于平面ABCD内，

不妨假设此时R4'_LCE,设垂足为G

作AN_L的延长线，垂足为F,此时在x轴负半轴上方向上，。尸的长最大，a取最小

值，

由于N8A'£)=90,故EG〃A'O,

所以==，而NaEG=ZAED,

故ZA£D=ZBZM=N£ZM,又A£=A£>,

故二AED为正三角形，则NEDA=60ABDA!=ZFDA'=60,

而A7)=l,故,KiJa>-1,

故丁=2(1-4)43,x>0,则,

故x的取值范围是(0,41,

故选：A

【点睛】本题考查了空间的垂直关系，综合性较强，解答时要充分发挥空间想象力，明确

空间的点线面的位置关系，解答时涉及到空间坐标系的建立以及空间向量的应用，还要注

意极限位置的利用，有较大难度.

4.(2022•江苏•华罗庚中学三模)如图，在平行六面体ABC。-48cA中，AB=A£>=2,

M=3,N£>A8=ND4A=N8A4,=60。，点E是AB中点，则异面直线AG与。E所成角

余弦值是.

【答案】亚

22

【分析】以前,易>,£\为空间向量的一组基底，用基底表示向量丛,4匕，根据向量间的

夹角公式计算即可求解.

【详解】由题意，AB=AD=2,M=3,ZDAB=ZDA^=ZBAA,=60°

SLDE=AE-AD=-AB~AD，AC,=AB+AD+AA,

<]->->Af->->1-2->1-T

DE-AC)=1-AB-ADHAB+AD+AAA=-AB+-AB-AD+-AB-A4,

->T2Tt]—>->1-»T—>——>

-AD-AB-AD-AD-AA^/--ABAD-^—AB-AA,-AD-AD-AA

221,

=—x22--x2x2cos60°+—x2x3-cos600-22-2x3cos60°

222

IAC,|=AB+AD+应）=722+22+32+2（2X2-COS600+2X3COS60°+2X3-COS60°

=A/33，

'iDEAC,93而

IDEHACJ2x3而22

设异面直线AG与。E所成角为。，贝ijcosd=|cos<DE-AC1

故答案为：亚

22

5.（2022•浙江•模拟预测）若P、Q、R是棱长为1的正四面体棱上互不相同的三点，则

PQQR的取值范围是.

【答案】卜1，：

【分析】设点P、。、R分别棱长为1的正三棱锥A-B8的棱A。、BC、8。上的动点,

设8Q=28C,其中几€[0,1],利用三角不等式推导出利用平面向量数量积的性

质可求得PQQR>-1,取尸R的中点可得出=即可得出

PQ-QR的取值范围.