2024届四川省成都石室天府高二年级上册数学期末综合测试试题 含解析

2024届四川省成都石室天府高二上数学期末综合测试试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.双曲线c：乙-L=1的渐近线方程为（）

164

A.九±4y=0B.4x±y=0

C.x±2y=0D.2x±y=0

22

2.已知双曲线二-斗=1（。>0,6>0）的右焦点为小渐近线为4,12,过口的直线与4垂直，且交4于点加，交/，于

ab

点N,若MN=FM，则双曲线的离心率为（）

A.y/2B.73

C.2D.百

3.阿基米德（公元前287年~公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭

圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的

离心率为也，面积为6兀，则椭圆C的标准方程为（）

2

2222

A%y1

A・----1-------—1B.±+匕=1

91634

2222

C.土+匕=1D.±+2L=I

416312

4.用2,3,4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”与事件”这个三位数大于342”（）

A.是互斥但不对立事件B.不是互斥事件

C.是对立事件D.是不可能事件

22

5.已知点P是椭圆三■+三=1上的任意一点，过点P作圆C：d+（y-l）2=l的切线，设其中一个切点为贝！

的取值范围为（）

A.[A4]B.[6,厉]

C.[V15,4]

6.过点(1,0)且与直线x-2y=0垂直的直线方程是()

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0

C.2x+y—2=0D.x+2y—1—0

7.如图在平行六面体A3CD—44G2中，AC与BD的交点记为设昭=。，AB=b，AD=c9则下列向

量中与g相等的向量是()

171

A.a—bH—cB.aH—b—c

2222

171171

C.ClH----bH-----CD.〃——b——c

2222

8.设p：(g)x<Lq：log2X<0,则。是4的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

9.数列｛。"｝中，4=2,an+1=2an,若a—+<4+2+，+4+io=2卜一2,,贝必=()

A.2B.3

C.4D.5

10.两圆(%—2p+(y—1)2=4与(%+1)2+(,一2)2=1的公切线有()

A.1条B.2条

C.3条D.4条

11.已知等差数列｛4｝满足4=2,%=10,则/=()

A.10B.12

C.14D.16

22

12.已知双曲线C：，-｝=1（。〉0力〉0）的左焦点为尸，。为坐标原点，M,N两点分别在C的左、右两支上，

若四边形。尸为菱形，则C的离心率为（）

A,V2+1B.也

C.73+1D.2及

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

13.在ABC中，cosC――,AC-4,BC-3,贝！1cosA二.

3

14.当曲线y=与直线近-丁+2左+4=。有两个不同的交点时，实数上的取值范围是

15.在等比数列｛4｝中，4=2,%=128,若数列也｝满足d=log?则数列也｝的前20项和为

16.已知命题p:\/%eR,%2+2%+a>0恒成立；q:3xeR,x2-ax+l<Q,若P，F均为真，则实数。的取值范

围__________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在①%=6,tZj+S3=50；②，2〉S9，a2+a2i<0,③Sg〉。，S］。<0这三个条件中任选一个，补

充在下面问题中并解决问题

问题：设等差数列｛2｝的前〃项和为S〃，,若，判断S”是否存在最大值，若存在，求出S”取最大

值时”的值；若不存在，说明理由

注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答记分

18.（12分）已知圆C的圆心在直线x+y—1=0,且与直线2x—y=0相切于点（0,0）.

（1）求圆。的方程；

（2）直线/过点P（3,-3）且与圆C相交，所得弦长为4,求直线/的方程.

19.（12分）在数列｛凡｝中，q=1，4M=詈工（。〉0）,且％,名,%成等比数列

（1）证明数列,是等差数列，并求｛4｝的通项公式；

2

⑵设数列也｝满足bn=（4n+1）anan+i,其前〃项和为S“，证明：Sn<n+1

20.(12分)已知抛物线卬:/=2刀(0>0)的焦点/也是椭圆上+乙=1的一个焦点，如图，过点厂任作两条互相

34

垂直的直线/1,4,分别交抛物线W于A,C,B,。四点，E,G分别为AC,的中点.

(1)求0的值；

(2)求证：直线EG过定点，并求出该定点的坐标;

(3)设直线EG交抛物线W于N两点，试求|MN|的最小值.

21.(12分)已知三角形ABC的内角A5c所对的边分别为"也c,5公垣。=3。且(7为钝角.

(1)求cosA；

(2)若。=3及，b=5,求三角形ABC的面积.

22.(10分)在等差数列｛%｝中,q=-2,%2=20.

(1)求数列｛q｝通项公式明；

⑵若或"+=；•・+%,求数列｛34｝的前几项和S“.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】根据给定的双曲线方程直接求出其渐近线方程作答.

22

【题目详解】双曲线Ct—三=1的实半轴长a=4,虚半轴长匕=2,即有q=2,而双曲线C的焦点在y轴上,

164b

所以双曲线C的渐近线的方程为y=±2%,即2x土y=0.

故选：D

2、C

【解题分析】由题设易知4是8V的中垂线，进而可得b=ga，结合双曲线参数关系及离心率公式求双曲线的离心

率即可.

【题目详解】由题意，4是7W的中垂线，故ZMOF=/MON,

—=tan60°=百,故匕=y/3a,

a

,c

•e=—=

a

故选：C.

3、D

2X2

【解题分析】设椭圆的方程为4+=l(tz>/?>0),根据题意得到a=23和";r=6»,求得。2/2的值，即可求

a

解.

22

【题目详解】由题意，椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的方程为二+==1(。〉。〉0),

ab

因为椭圆C的离心率为18,可得e=£=Y3,

2a2

2h23

又由02=/—〃，即\c=i—勺=三，解得"=28,

aa4

又因为椭圆的面积为6»,可得"兀=6»,即〃b=6,

22

联立方程组，解答/=12,〃=3,所以椭圆方程为2-+工=1.

123

故选：D.

4、B

【解题分析】根据题意列举出所有可能性，进而根据各类事件的定义求得答案.

【题目详解】由题意，将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有：

{234,243,324,342,423,432},其中偶数有{234,324,342,432},大于342的有{423,432}.

所以两个事件不是互斥事件，也不是对立事件.

故选:B.

5、B

【解题分析】设得至"PM『=|PC「—MC「=—，y+3)2+15,利用椭圆的范围求解.

【题目详解】解：设P(x,y),

贝!=|PC|2-|MC|2=^2+(y-l)2-l,

=1上X12+(y-1)2—1,

、9,

1

=--(y+3)-9+i5,

因为—3<y<3,

所以34|加「<15,即<而，

故选：B

6、C

【解题分析】根据两直线垂直时斜率乘积为-1,可以直接求出所求直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程，最后化

成一般式方程即可.

【题目详解】因为直线x-2y=0的斜率为子，故所求直线的斜率等于—2,

所求直线的方程为y—0=—2(尤—1),即2x+y-2=0,

故选:C

7、B

【解题分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出加4关于a、b、c的表达式.

【题目详解】MB[=MB+BB[=^DB+BBX—A£>)+明=a+"—gc

故选:B.

8、B

【解题分析】［gj<i=x>o,log2X<0=0<x<l,所以〃是q必要不充分条件，故选B.

考点：1.指、对数函数的性质；2.充分条件与必要条件.

9、C

【解题分析】由已知得数列｛4｝是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出乙,再利用等比数列求和可得答案.

【题目详解】•••。,+1=2%,.•.叽=2,

an

所以，数列｛&｝是以2为首项，以2为公比的等比数列，则4=2X2"T=2",

510

•••W+I+W+2++WM。工2K）=3。.1）=2（2—1），

.••2后1=25,则％+1=5,解得左=4.

故选：C.

10、D

【解题分析】求得圆心坐标分别为G（2,1）,。2（-1,2）,半径分别为4=2,2=1,根据圆圆的位置关系的判定方法，得

出两圆的位置关系，即可求解.

【题目详解】由题意，圆（x—2y+（y—1）2=4与圆（x+iy+（y—2）2=1,

可得圆心坐标分别为G（2,1）,C2（T,2）,半径分别为（=2,2=1,

贝！l|CC|=J（2+l）2+（1—2）2=瓦,r2-rx=\,r2+rx=3

所以|GG|>弓+4,可得圆G，02外离，

所以两圆共有4条切线.

故选：D.

11、D

【解题分析】根据等差数列的通项公式求出公差，再结合％=2即可得勾的值.

【题目详解】因为｛4｝是等差数列，设公差为d,所以%=q+4d,即10=2+42,所以2=2,

所以4=q+7d=2+7x2=16,

故选：D.

12、C

【解题分析】由题意可得|又可|=|。时=|0周=。且叱//0£,从而求出点N的坐标，将其代入双曲线方程中，即

可得出离心率.

【题目详解】由题意E(—c,o),四边形为菱形，如图，贝!JpW|=|ON|=|O尸］=c且肱V//OE

c

，M,N分别为C的左，右支上的点，设加点在第二象限，N在第一象限.由双曲线的对称性，可得%=5,过点N

作AWx轴交x轴于点“，贝!J|0N|=C,|0M=；|M7W=J0N|=|,所以NNO//=60。,则|NW|=手c，所以

(c百、M「

N-,^-c,所以J—=则。2"-3。21=4〃"，即eJ8e2+4=0,解得e?=4+26,或

(22J4a24b"

e2=4-2A/3，由双曲线的离心率e>l,所以取©2=4+26，则e=G+l

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

13-.一

3

【解题分析】由已知在一ABC中利用余弦定理可得AB的值，可求AB=5C,可得A=C,即可得解cosA的值

【题目详解】解：因为在中，cosC=-,AC=4,BC=3,

3

所以由余弦定理可得AB=y/AC2+BC--2AC-BC-cosC=^42+32-2x4x3x|=3,

所以43=5。，即人=。，

2

则cosA=cosC=—

2

故答案为：-

3

【解题分析】求出直线恒过的定点，结合曲线y=，4_f的图象,数形结合，找出临界状态，即可求得上的取值范

围.

【题目详解】因为产“一f,故可得必十丁=武丁之o),

其表示圆心为(0,0),半径为2的圆的上半部分;

因为Ax-y+2左+4=0,即y-4=k(x+2),

其表示过点4(-2,4),且斜率为左的直线.

在同一坐标系下作图如下:

不妨设点3(2,0),A3直线斜率为左-且过点A与圆相切的直线斜率为k2

数形结合可知：要使得曲线y=,4-炉与直线kx-y+2k+4=0有两个不同的交点,

只需644〈左2即可.

4-0

容易知：^=——=-1

-2-2;

不妨设过点A与V+丁=4相切的直线方程为y-4=&(%+2),

|2^+4|3

则由直线与圆相切可得：——~2,解得&=一心,

故人e-1,--1

3

故答案为T-LR

15、400

【解题分析】求出等比数列｛4｝的通项公式，可得出也｝的通项公式，推导出数列也｝为等差数列，利用等差数列

的求和公式即可得解.

【题目详解】设等比数列｛4｝的公比为4,则4=j^=4,则4=。1/一|=2X4〃T=22"T

所以，=log2a„=2n-l,则a+1-4=25+1)-1一(2"-1)=2,

所以，数列出｝为等差数列，

故数列也｝的前20项和为S20=20X(1+；20-1)=40Q

故答案为：400.

16、［L2］

【解题分析】根据题意得到命题?为真命题，4为假命题，结合二次函数的图象与性质，即可求解.

【题目详解】根据题意，命题P，r"均为真命题，可得命题夕为真命题，q为假命题，

由命题〃：\/%€凡％2+2%+。》0恒成立，可得劣=22-4。<0,解得aNl；

2

又由命题q：lxeR,%2—a%+l<0为假命题，nTMA2=(-a)-4<0,解得一2WaW2,

所以lWaW2,即实数。的取值范围为［L2］.

故答案为：［1,2］.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、答案不唯一，具体见解析

【解题分析】选①：易得。“=16-2〃，法一：令420求〃，即可〃为何值时S,取最大值；法二：写出S“，禾!］用等

差数列前，，项和的函数性质判断”为何值时S“有最大值;选②:由数列前〃项和及等差数列下标和的性质易得a”>0、

知+。12<0即可确定5“有最大值时"值；选③：由等差数列前"项和公式易得生〉。、%+4<。即可确定S,有最

大值时”值;

【题目详解】选①：设数列｛4｝的公差为d,%=6,%+$3=50

4+4d=6

解得q=14,d=—2,即％=14—2（几一1）=16—2〃,

4q+3d=50

法一：当时，有16—2〃20,得〃<8,

・•・当〃«7时，。〃>0；几=8,=0；时，〃〃<0,

・・・〃=7或几=8时，5〃取最大值

2

法二：Sn=-n+15M,对称轴〃=7.5,

，九=7或〃=8时，S,取最大值

选②：由%―Sg〉。，得。]2+%+。10〉0，由等差中项的性质有3%〉0,即4]>0,

由生+%<0,得%+%=%+%2<0，

%2<°，故〃=%2-。11<0,

...当时，4〉0,“212时，<2„<0,故〃=11时，s“取最大值

选③：由$9〉0,得$9=豆幺山=吃也〉0,可得%〉0,

922

由航0<0,得$=10(。7)=10(：+。6)<0,可得4+4<0,

/.a6<0,故d=4一%<0，

...当时，4〉0,时，。“<0,故〃=5时，S”取最大值

【题目点拨】关键点点睛：根据所选的条件，结合等差数列前”项和公式的性质、下标和相等的性质等确定数列中项

的正负性，找到界点”值即可.

18、(1)(尤一2)2+(y+l)2=5

(2)%=3或3x+4y+3=0

【解题分析】(1)分析可知圆心在直线x+2y=。上，联立两直线方程，可得出圆心的坐标，计算出圆的半径，即可

得出圆。的方程；

(2)利用勾股定理求出圆心到直线/的距离，然后对直线/的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，利用点

到直线的距离公式求出参数，即可得出直线/的方程.

【小问1详解】

解：过点(0,0)且与直线2x-y=0垂直的直线的方程为x+2y=0,

由题意可知，圆心C即为直线x+2y=。与直线x+y-1=。的交点，

联立\八，解得「故圆。的半径为厂="2+(-1)2=6，

龙+y—l=0[y=TY

因此，圆。的方程为(尤―2y+(y+l)2=5.

【小问2详解】

解：由勾股定理可知，圆心。到直线/的距离为万=1.

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为％=3,圆心。到直线/的距离为1,满足条件；

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y+3=k(x—3),即辰一V一3左一3=0,

|2左+1—3左一3||左+2|3

由题意可得d=J—,——'=^^=1,解得左=——,

3

此时，直线/的方程为y+3=_](x—3),即3x+4y+3=0.

综上所述，直线/的方程为％=3或3x+4y+3=0.

19、(1)证明见解析；an^—^—;(2)证明见解析

2n-l

【解题分析】(D利用已知条件推出数列工是等差数列，其公差为。，首项为1,求出通项公式，结合由4,出，

名成等比数列，转化求解即可.(2)化简通项公式，利用裂项消项法，求解数列的和即可

111

【题目详解】证明：(1)由4+1，得——=一+c,即--------

4+ia“4+1an

所以数列工是等差数列，其公差为C,首项为1,

1,/八1

因此，一=l+("—l)c,an=--7,

anl+(〃—l)c

由01M2，%成等比数列，得蜡=见％,即[一一]=lx」一

Ic+1j4c+1

解得c=2或c=0(舍去)，故为=-----

2n-l

W+1,2,11

（2）因为b”--；---=1+7-----77-----7=1'•------

4”~—1----（2九-1）（2"+1）2n—\2n+l

所以s“=4+d++d=〃+（i_g+g_/++二---

2n-l2n+\）2n+l

因为』T>°'所以s“<〃+i

【题目点拨】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点

]

的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①

〃（〃+左）k\nn+k

1J]1_____

②

(2n-l)(2n+l)2(2〃-12n+l)

[、]]]

；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,

(“+1)(“+2)

导致计算结果错误.

20、(1)p=2

（2）证明见解析，（3,0）

（3）4币

【解题分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，从而可知抛物线的焦点坐标，进而可得P的值;

（2）首先设出直线AC,5。的方程，联立直线与抛物线的方程，得到E,G坐标，令+1=242+1,可得直线EG

过点”（3,0）,再证明当左2彳1,E,H,G三点共线即可;

（3）设出EG的直线方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理找出根的关系，再利用两点间的距离公式求出最

小值即可.

【小问1详解】

22

椭圆L+匕=1的焦点坐标为（0,±1）,

34

由于抛物线W-.x2=2P火p>0）的焦点F也是椭圆—+^=1的一个焦点,

34

故厂（0,1）,即3=1,p=2；

2

小问2详解】

由（1）知，抛物线的方程为必=4y,

设4（玉，％）,C（x2,外），

由题意，直线AC的斜率左存在且左W0

设直线AC的方程为丁=依+1,

代入x?=4y可得_4=0，

则再+%2=4左，

故X+%=G+1+日2+1=4k2+2,

故AC的中点坐标为E(2左,242+1),

由ACL5。，设直线的方程为＞=—Lxx+l,

k

4

代入％2=4y可得/+―x—4=o,

k

皿4

贝!|%]+Z~

一k

411114c

故%+%=一1乂%1+1-%乂％2+1=记+2,

22八

可得5。的中点坐标为G一廿1'

2

令正+1=2左2+1得左2=1，

此时+1—2k之+1=3,

故直线EG过点”(3,0),

---0

当上2w1时，kEH=