高中数学期末备考微55讲函数与导数6 导数与零点 练习题

专题：导数与零点

导言

导数与零点专题是高考考察的重点内容，下表列举了从16年起全国卷对这个点的考察:

2020年2019年2018年2017年2016年

21题:已知零

20题：证明零21题：已知零

点个数求参

全国一卷点个数点个数求参数

数，零点偏移

20题：证明零

21题：已知零

点个数，公切

全国二卷点个数求参数

线.

21题：零点分

全国三卷布

如上表所示，导数与零点是高考导数大题部分的重要命题方向之一，结合近五年全国主

要地方的模拟考试题来看，该专题大致可以分为四个具体的命题方向：

1.判断或证明零点个数.此题型以2019年全国一卷20题为典型例子，是一类较新的题

型.重点考察学生利用函数单调性与值域，零点存在性定理准确的找到零点的存在性，突出

考察学生的逻辑推理与数学运算素养，具有较高的综合性.

2.已知零点个数求参数范围.此题型在16-18年连续三年均有考察，处理此类问题有两

种常见的方法：含参数讨论及分离参数，重点考察学生利用函数单调性分析值域，数形结合

解决问题.此题型还可衍生到对过点求切线个数，公切线个数的考察上.

3.讨论或者证明零点所满足的分布特征.此题型以2020年全国三卷21题为典型例子，

需要在找到零点的基础上进一步分析出零点所满足的分布，对学生的逻辑推理，严谨表达均

有较高的要求.

4.零点偏移或者双零点，极值点问题.主要考察变量替换与构造函数解决问题的基本方

法，此类问题处理方法较多，有偏移法处理，变量代换，对数均值不等式等均可完成，在各

地的模拟题中属于常见的类型.

下面，将通过一些高考题目和典型的模拟题具体展开这四类题型的研究和讨论，找到破

解零点问题的常见思路与方法，提升逻辑推理，数学运算，直观想象的核心素养，让学生在

研究问题的过程中获得成就感.

二.题型1:判断或证明零点个数

1.己知函数/(x)=sinx-ln(l+x),/'(x)为/(x)的导数.证明:

-JT

(1)/'(X)在区间(-1,万)存在唯一极大值点；

(2)/(x)有且仅有2个零点.

V-1

2.已知函数〃x)=lnx------.

x-1

(1)讨论/(x)的单调性，并证明/(x)有且仅有两个零点；

(2)设/是/(x)的一个零点，证明：曲线y=lnx在点4(公,111%)处的切线也是曲线

y=e”的切线.

2

3.己知函数./1(%)=minx,g(x)=二~^(尤>0).

(1)讨论函数F(x)=/(x)-g(x)在(0,+co)上的单调性；

⑵判断当〃?=e时，y=/(x)与y=g(x)的图象公切线的条数，并说明理由.

4.已知函数/(x)=lnx-x+2sinx,/'(x)为/(x)的导函数.

⑴求证：:(x)在(0,万)上存在唯一零点；

(2)求证：/(无)有且仅有两个不同的零点.

3

题型2：已知零点个数求参数范围

5.已知函数/(》)=0”—52.

(1)若。=1,证明：当时，y(x)>i；

(2)若〃x)在(O.+工)只有一个零点，求。的值.

6.已知函数f(x)=ae2'+(a-2)e'-x.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

4

7.已知函数/(x)=xsinx+cosx+gax2,xe[-孙]|

(1)当。=0时，求f(x)的单调区间；

(2)当a>0,讨论的零点个数.

8.己知函数/(x)=(x-l)e"g(x)=lnx,其中e是自然对数的底数.

(1)求曲线y=/(x)在％=1处的切线方程；

(2)设函数〃(x)="(x)-g(x),若函数〃(x)恰好有2个零点，求实数匕的取值范围.(取

In3.5=1.25,ln4=1.40)

5

题型3：零点的分布特征

9.设函数f(x)=/+灰+。，曲线y=/(x)在点(3，f(g))处的切线与y轴垂直.

(1)求。.

(2)若/(X)有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1.

10.已知函数/(x)=e*-；x2一日_](%€/?).

⑴当々>1时，讨论〃x)极值点的个数；

(2)若4力分别为/(%)的最大零点和最小零点，当。一匕28时，证明：k>2.

6

11.已知函数f(x)=ex.

(1)若曲线y=/(x)在点(公,/(%))处的切线为y=Zx+。，求左的最小值：

(2)当常数me(2,+8)时，若函数g(x)=0-1)/,(尤)-m2+2在[0,+8)上有两个零点

4

xvx2,x[<x2,证明：X]+ln—

x(x—l)(x-2)+l,xW2

12.已知函数/(x)=«K-2)+U>2-0)和函数g(x)­)+】•

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若a=2Z,左e(O,l),且函数y=/(x)-g(x)有三个零点七、x2,x3,求

/(无I)+f(x2)+/(七)的取值范围.

7

题型4：零点(极值点)偏移，双零点(极值点)问题

2

13.已知函数/(x)=lnx-〃r,awR,若/(玉)=/(4)=0,证明：x[x2>e.

14.设函数/(x)=-a2lnx+x2-ax(aGR).

(1)试讨论函数/(x)的单调性；

(2)如果。>0且关于％的方程/(%)=机有两解再，x2(x,<x2),证明玉+々>2〃.

8

10

15.已知/(工)=3%~-QxlnX+QX+2,。£H有两个不同的极值点玉<%.

(1)求实数。的取值范围；

2

(2)求证：XjX2<a.

16.已知函数/(%)=。-2)炉+a(x-l)2有两个零点.

(1)求〃的取值范围；

(2)设X],%2是/(X)的两个零点，证明：须+工2<2.

9

练习题

一,x<0

1.已知函数/（幻=：,若函数尸（x）=f（x）一质在R上有3个零点，则实数%的

Inx八

取值范围为（）

匕）B.(0,—)

2.已知方程6皿=/在（0,8］上有两个不等的实数根，则实数加的取值范围为（）

2In21In231n221〃22

8,~记'丁4'e4e

3.己知函数/（x）=xlnx-ae*（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数。的取值范

围是（）

A.(0,-)B.(0,e)D.(一,e)

ee

4.若二次函数/（x）=/+i的图象与曲线c：g（x）=Q，+i（Q>o）存在公共切线，则实数

。的取值范围为

A.(0,―]

5.已知函数/"）=三/一;+1

+X——

3

（1）若。>1,求函数/（X）的极值;

（2）当0<4<1时，判断函数“X）在区间［0,2］上零点的个数.

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6.已知函数/(x)=xsinx+cosx,g(x)=x2+4.

(1)讨论函数/(%)在［-肛词上单调性；

(2)设"(x)=g(x)—4/(九)，试证明/?(x)在R上有且仅有三个零点.

7.已知函数f(x)=ax—ln(x+l),/(x)>0.

(1)求实数。的值；

(2)若函数g(x)=/(x)-sinx,求证：g(x)有且仅有两个零点.(/«1.77)

11

8.设函数/(x)=lnx+—,meR.

X

(1)当加=e(e为自然对数的底数)时，求“力的极小值;

(2)讨论函数g(x)=/'(x)-：零点的个数.

9.设函数/(x)=+ac-(a+l)lnx.

(1)讨论函数〃x)的单调性：

(2)若函数/(可有两个零点，求实数。的取值范围.

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10.已知函数“力=;^一3兀.

(1)求“X)在区间［0,回(加＞0)上的最大值和最小值；

(2)在曲线y=%2上是否存在点凡使得过点。可作三条直线与曲线＞=/(£)相切？若存

在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

11.已知函数/(%)=(x-l)e*-；取3R.

(1)。=0时，求(1,/(1))处的切线方程；

(2)x＞0时，/(x)是否存在两个极值点，若存在，求实数。的最小整数解，若不存在,

说明理由.

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12.已知函数/(x)=(1—A:)x—^lnx+k—\,ke.R,k丰0.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)设函数/(X)的导函数为g(x),若函数/(无)恰有2个零点对*2，工1<々，证明:

%,+2X2

g(3)>0-

13.已知函数〃力=四-*+8sx(aw/?).

(1)若函数“力在1宗0)上是单调函数，求实数a的取值范围；

/\/、41

⑵当。=一1时，X。为函数“X)在(0,4)上的零点，求证：不一/<,”.—―

ze(sin.VQCOS

14

14.已知函数/(x)=xlnx-5mx?-x+lj及£R.

(1)若/(幻有两个极值点，求实数机的取值范围;

(2)若函数g(x)=xlnx-/we?-elnx+e〃优有且只有三个不同的零点，分别记为

且T•的最大值为e2,求MX?的最大值.

须，入2，人

15.已知函数/(x)=axlnx-x+5，。。0.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)设〃>0,函数/(%)恰有2个零点再〈无2，证明：+x2>7O¥