专题1.5空间向量的探索性问题（强化训练）

题型一平行中的探索性问题题型二垂直中的探索性问题题型三夹角中的探索性问题题型四距离中的探索性问题题型一平行中的探索性问题1．如图所示，在四棱锥P-ABCD，PA面ABCD，底面ABCD为正方形.(1)求证：AB面PAD；(2)已知ACnBD=O，在棱PD上是否存在一点E，使PB//面ACE，如果存在请确定点E的位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由.2．如图，正四棱锥S一ABCD的底面边长为2，侧棱长是2，点P为侧棱SD上的点.(3)在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC．若存在，求SE:EC的值；若不存在，试说明理由.3．已知直角梯形BQPC中，ZCBQ=90。，BQ//如图，将四边形ABCD沿AD向上翻折，使得平面ABCDL平面ADPQ.CP，(1)在PD上是否存在一点H，使得CH//平面BDQ？4．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABLBC,AB=BC=1,AA1=2，D是AA1的中点.(1)求异面直线A1C1与B1D所成角的大小；(3)在B1C上是否存在一点E，使得DE//平面ABC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.5．中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，ABCD是正方形，PAL平面ABCD，PA=AB=2，点E，F是PC，AD的中点.(1)若要经过点E和棱AB将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；(2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由.6．如图，底面为直角梯形的四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，侧棱AA1L底面ABCD，E为A1B1的中点，且‘ABE为等腰直角三角形，AB//CD，ABLBC，AB=2CD=2BC.(1)求证：ABLDE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(3)线段EA上是否存在点F，使EC//平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由.7．如图1，在平面内，ABCD是ZBAD=形分别沿AD，CD折起，使D,,与D¢重合于点D1．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧（图2）.(1)设二面角E一AC一D1的大小为θ,若<(2)若在线段D1E上存在点P，使平面PA1C1平面EAC，求与BE之间满足的关系式，并证明：当8．如图，已知四棱锥P一ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，(1)求CP与平面ABCD所成角的正弦值；(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B,Q两点的截面，且AC平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQFL平面PAD？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由.题型二垂直中的探索性问题9．如图，正方形ABCD所在平面外一点P满足PB⊥平面ABCD，且AB＝3，PB＝4.(1)求点A到平面PCD的距离；(2)线段BP上是否存在点E，使得DE⊥平面PAC，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由.10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1A的中点.(1)求证：BC1∥平面CEF；(2)在棱A1B1上是否存在点G，使得EG⊥CE？若存在，求A1G的长度；若不存在，说明理由.点E是BC的中点，(1)求证：A1B平面AC1E；(2)求证：A1C平面ABC1；BDBC(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.并求BC的值.12．正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，先将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B.(1)求二面角E－DF－C的余弦值；(2)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论.13．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点.(1)证明：MN∥平面ABCD(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN，如果存在，求出线段AS的长度.14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为AD的中点，且AA1=4，AB=BC=2，点P在线段BD1上.(1)问：是否存在一点P，使得直线BD1平面PEC？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请说明理由.(2)若P是线段BD1的中点，求平面PEC与平面ECD1的夹角的余弦值.15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点.(1)求证：PC∥平面BDE.(2)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度.(3)若PA=2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由.(1)证明：EFLEB；(2)在平面EFB内寻求一点M，使得AML平面EFB，求此时二面角M一AB一F的平面角的正弦值.题型三夹角中的探索性问题17．在三棱锥P一ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点P在底面ABC上的射影为棱BC的中点O，且PB与底面ABC所成角为，点M为线段PO上一动点.(1)求证：BCLAM；(2)是否存在点M，使得二面角P一AB一M的余弦值为，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.18．如图，在‘ABC中，ÐB=90。，P为AB边上一动点，PD//BC交AC于点D，现将‘PDA沿PD翻折至‘PDA,.(1)证明：平面CBA,L平面PBA,；的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由.(1)求证：BCL平面PBD；(2)求直线AP与平面PBD所成角的正弦值；(3)侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角E一BD一P的余弦值为若不存在，说明理由.20．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦EF交CD于点G，其中(1)证明：平面AEFL平面ABCD;(2)判断上底面圆周上是否存在点P，使得二面角P-EF-A的余弦值为．若存在，求AP的长;若不存在，请说明理由.21．如图，四棱锥P-ACBD，PD平面ACBD，且ADDB，DB=1，PA=2，‘ABC是边长为2的正三角形.(1)求证：AC//平面PBD；(2)求平面ABP与平面ABC夹角的余弦值；(3)线段PC上是否存在点E，使得DE与平面ABP所成角的正弦值为，若存在，请指出点E的位置；若不存在，请说明理由.22．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PBC平面ABC，‘PBC为等边三角形，D，E分别为PC，PB的中点，BDPA，BC=2，AC=1.(1)求证：AC平面PBC；(2)在线段AC上是否存在点F，使得平面DEF与平面ABC的夹角为，若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由.23．已知底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，PA//DQ，PA=AD=3DQ=3，点E、F分别为线段PB、CQ的中点.(1)求证：EF//平面PADQ；(2)求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；(3)线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由.24．如图，正三棱柱ABC-DEF中，AB=AD=2，点G为线段BE上一点（含端点）.(1)当G为BE的中点时，求证：CD平面AFG(2)是否存在一点G，使平面AFG与平面ABC所成角的余弦值为1？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.题型四距离中的探索性问题25．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为长方形，AA1=1，AB=BC=2，ABC=120。，AM=CM.(1)求证：平面AA1C1CL平面C1MB；(2)求直线A1B和平面C1MB所成角的正弦值；(3)在线段A1B上是否存在一点T，使得点T到直线MC1的距离是，若存在求A1T的长，不存在说明理由.E为PD的中点.(1)求证：ACLPD；(2)求二面角E一ACD的大小；(3)在侧棱PC上是否存在点F，使得点F到平面AEC的距离为66？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.以BE为折痕将‘BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1=2，如图2.(1)求证：平面BC1EL平面ABED；(2)在棱DC1上是否存在点P，使得P到平面ABC1的距离为？若存在，求出直线EP与平面ABC1所成角的正弦值.28．如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AB=2AD=2DC=4，E,F分别是AD,BC的中点，且EF交AC于点O，现将梯形ABCD沿对角线AC翻折成直二面角P一A1C1一B1.(2)证明：C1B1LPA1；的值；若不存在，请说明理由.29．图1是直角梯形ABCD，AB//CD，ZD=90，AB=2，DC=3，AD=，C=2E，以BE为折痕(1)求证：平面BC1EL平面ABED；(2)在棱DC1上是否存在点P，使得C1到平面PBE的距离为？若存在，求出二面角P一BE一A的大小；若不存在，说明理由.30．图1是直角梯形ABCD，AB//CD，∠D＝90°,四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°,以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1=.(1)求证：平面BC1EL平面ABED.(2)在棱DC1上是否存在点P，使得点P到平面ABC1的距离为？若存在，求出直线EP与平面ABC1所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.M为线段PB上一点.(1)若PM=PB，求证：AM∥平面PCD；3否存在点Q，使得点Q到直线AD3,若存在请指出点Q的位置，若不存在请说明理由.题型一平行中的探索性问题题型二垂直中的探索性问题题型三夹角中的探索性问题题型四距离中的探索性问题题型一平行中的探索性问题1．如图所示，在四棱锥P-ABCD，PA面ABCD，底面ABCD为正方形.(1)求证：AB面PAD；(2)已知ACnBD=O，在棱PD上是否存在一点E，使PB//面ACE，如果存在请确定点E的位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点E为线段PD的中点时，PB//面ACE，理由见解析【分析】（1）通过证明PALAB和ABLAD即可证明ABL面PAD.（2）由几何知识建立空间直角坐标系，根据点E在棱PD上，设出正方形边长，PA的长，进而表达出点E坐标，通过PB//面ACE解出点E坐标，即可确定点E的位置.【详解】（1）在四棱锥P-ABCD中，PAL面ABCD∴PALAB，PALAD，在正方形ABCD中，ABLAD，∴ABL面PAD（2）建立空间直角坐标系如下图所示：则E0,y0,-y0+z0∴A(0,0,0)，B(2t,0,0)，C(2t,2t,0)，D(0,2t,0∴=(2t,0,-z0)，设面ACE的一个法向量为=(x,y,z)，0y=y0-z0z，(y0()0-z0，若PB//面ACE，则L，0-z0=-2t(z0)(1),-2ty0+z0)(z0)(1)∴当点E为线段PD的中点时，PB//面ACE.-y0z0(z0)0-(z0)2．如图，正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长是2，点P为侧棱SD上的点.(1)求正四棱锥S-ABCD的体积；(2)若SDL平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；(3)在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC．若存在，求SE:EC的值；若不存在，试说明理由.【答案】(1)(2)30o(3)当SE:EC=2:1时，BE//平面PAC.【分析】（1）作出辅助线，找到正四棱锥的高，并求出长度，利用锥体体积公式求出答案；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小；出答案.因为正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长是2，即SO为正四棱锥的高， 3 3cosθ=则正方形ABCD的面积为22=4，---------（2）以O为坐标原点，OB,OC,OS分别为x轴、y轴---------于是S(0,0,),D(一,0,0),C(0,,0)，故OCLSD，从而ACLSD，所以平面PAC的一个法向量=(,0,)，平面DAC的一个法向量=(0,0,).由图可知二面角P一AC一D为锐角，设所求二面角为θ,------OS.DS所求二面角的大小为30O；（3）在棱SC上存在一点E使BE//平面PAC.由（2）得是平面PAC的一个法向量，而BE不在平面PAC内，故BE//平面PAC.如图，将四边形ABCD沿AD向上翻折，使得平面ABCDL平面ADPQ.(1)在PD上是否存在一点H，使得CH//平面BDQ？【答案】(1)H为DP的中点时，CH//平面BDQ，证明见解析；【分析】（1）取DP的中点为H，证明BQ//CH，利用线面平行判定定理证明CH//平面BDQ；（2）建立空间直角坐标系，求平面BPQ和平面CPQ的法向量，利用向量夹角公式求二面角B一PQ一C的余弦值.【详解】（1）当点H为DP的中点时，CH//平面BDQ，证明如下：由已知AB//DC,AB=DC=1,ZCBA=90。，所以四边形ABCD为矩形，所以BC//AD，CDLDA，已知DP=2，点H为DP的中点，则DH=1，又AQ=1，AQ//DH，所以四边形BCHQ为平行四边形，所以BQ//CH，又CH仁平面BDQ，BQ仁平面BDQ，所以CH//平面BDQ，所以在PD上存在一点H，使得CH//平面BDQ；3’（2）因为平面ABCDL平面ADPQ，平面ABCD八平面ADPQ=AD，CDLDA，CD仁平面ABCD，所以CDL平面ADPQ，又DALDP，---------以点D为原点，分别以DA,DP，DC为x,y,z----------------------------设平面BPQ的法向量为n1，设平面CPQ的法向量为，=(a,b,c)，所以==设二面角B-PQ-C的平面角为θ,cosθ=3---3---,观察图象可得cosθ>0，所以cosθ=.所以二面角B-PQ-C的余弦值为AC1AC14．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABLBC,AB=BC=1,AA1=2，D是AA1的中点.(1)求异面直线A1C1与B1D所成角的大小；(3)在B1C上是否存在一点E，使得DE//平面ABC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)异面直线A1C1与B1D所成角的大小为60。；(2)二面角C一B1DB的余弦值为；(3)存在点E，使得DE//平面ABC，此时=1.【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线A1C1与B1D的方向向量，利用向量夹角公式求夹角；（2）求平面CB1D和平面BB1D的法向量，利用向量夹角公式求结论；（3）设=λ,再求的坐标，由条件列方程求λ,由此可得结论.【详解】（1）以点B为原点，以BC,BA,BB1为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系；BD BD 2x2设异面直线A1C1与B1D所成角的大小为θ,则cosθ所以异面直线A1C1与B1D所成角的大小为60。；设平面CB1D的法向量为=(x,y,z)，则观察图象可得二面角C一B1D一B为锐二面角，（3）假设存在点E，使得DE//平面ABC，设B1E则B1C--------------------所以λ=，所以存在点E，使得DE//平面ABC，此时=1.5．中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，ABCD是正方形，PAL平面ABCD，PA=AB=2，点E，F是PC，AD的中点.(1)若要经过点E和棱AB将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；(2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【分析】（1）根据线面平行的判定定理可得AB//平面PCD，设PD的中点为G，根据线面平行的性质可得BE,EG,AG就是应画的线，然后根据线面垂直的判定定理结合条件可得截面周长；（2）建立空间直角坐标系，可得平面BEF的法向量，设PD八平面BEF=H，根据线面垂直的性质可得H的位置，进而即得.所以AB//平面PCD，又AB仁平面ABE，设平面ABE一平面PCD=l，则AB//l，设PD的中点为G，连接EG,AG，则EG//CD，又AB//CD，所以AB//EG，即EG为l，BE,EG,AG就是应画的线，因为PAL平面ABCD，AB仁平面ABCD，所以ABLPA，又ABLAD，PA一AD=A，PA,AD仁平面PAD，所以ABL平面PAD，AG仁平面PAD，所以ABLAG，即截面ABEG为直角梯形，又PA=AB=2，2（2）以点A为坐标原点分别为x，y，z轴的正向建立空间直角坐标系，设平面BEF的法向量为=(x,y,z)，设PD平面BEF=H，设=λ=λ(0,2,2)，又P(0,0,2)，∴H(0,2λ,2一2λ)，(2)即H为PD的三等分点（|PH=3PD)|，连接EH,FH，即EH,(2)6．如图，底面为直角梯形的四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，侧棱AA1l底面ABCD，E为A1B1的中点，且ΔABE为等腰直角三角形，AB//CD，ABlBC，AB=2CD=2BC.(1)求证：ABlDE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(3)线段EA上是否存在点F，使EC//平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)当F满足=时，有EC//平面FBD.【分析】（1）根据线面垂直的性质证明ABl平面EOD，即可证明ABlDE；（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（3）根据线面平行的判定定理，结合空间直角坐标系即可得到结论.∵EB=EA，∴EOlAB，------则------则sinθ=------∵四边形ABCD是直角梯形，AB=2CD=2BC，ABLBC,∴四边形OBCD为正方形，∴ABLOD，又EO，DO为平面EOD内的两条相交直线，∴ABL平面EOD，由ED仁平面EOD，∴ABLDE.（2）∵平面ABEL平面ABCD，且EOLAB，∴EOL平面ABCD，∴EOLOD，由OD，OA，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O_xyz，∵ΔEAB为等腰直角三角形，则平面ABE的一个法向量为=(1,0,0设直线EC与平面ABE所成角为θ,EC.OD---EC---333即直线EC与平面ABE所成角的正弦值是33（3）存在F，且=时，有EC//平面FBD，设平面FBD的法向量为=(a,b,c)，∵EC仁平面FBD，∴EC//平面FBD.即当F满足=时，有EC//平面FBD.形分别沿AD，CD折起，使D''与D¢重合于点D1．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧（图2）.(1)设二面角E-AC-D1的大小为θ,若<θ<，求线段BE的长的取值范围；(2)若在线段D1E上存在点P，使平面PA1C1Ⅱ平面EAC，求与BE之间满足的关系式，并证明：当【答案】(1)a,(2)=BE，证明见解析【分析】（1）设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系如图．设BE=t(t>0)，得到平面D1AC和平面EAC的法向量，从而得到二面角E-AC-D1的余弦值的表达式，再根据其范围，得到t的范围；（2）假设存在满足题意的点P，令=λ,从而得到P点坐标，得到A1P∥平面EAC，则.=0，得到等式，解出λ.【详解】（1）因为D1DLAD,D1DLDC,ADnDC=D，AD,DC仁平面ABCD，故D1DL平面ABCD，设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系设平面D1AC的法向量为=(x1,y1,z1)，1-y1令z1设平面EAC的法向量为=(x2,y2,z2)，222---二面角E-AC-D1的大小为θ,由题设可得cosθ==4t-a20t22.:<θ<cosθe,，14t-a2-16at-3a2<0且44t214t-a3所以t的取值范围是a,.,0,a，:=-a,,,由平面PA1C1:t.-=0，化简得：λ=t产a即=BE，8．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，(1)求CP与平面ABCD所成角的正弦值；(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B,Q两点的截面，且ACⅡ平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQFL平面PAD？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由.【答案】(1)DP时，使得平面BEQFDP时，使得平面BEQF⊥平面PAD.【分析】对于（1取AB中点为H，先由条件证得PH⊥平面ABCD，后可得答案.对于（2由（1）分析可知AB⊥AC，建立以A为原点的空间直角坐标系，找到平面BEQF，平面PAD法向量，后可得答案.【详解】（1）证明：取棱AB长的一半为单位长度.则在ΔABC中，AB=2，BC=4，∠ABC得AC=2，故AB2+AC2=BC2常AB⊥AC.又PB⊥AC，PB∩AB=B，PB仁平面PAB，AB仁平面PAB，故AC⊥平面PAB.又AC仁平面ABCD，AC⊥平面PAB，则平面ABCD⊥平面PAB.取AB中点H，连接PH，CH.因ΔPAB是等边三角形，则PH⊥AB，又PH仁平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD⊥平面PAB，故PH⊥平面ABCD.得∠PCH是CP与平面ABCD所成的角.在直角三角形△PCH中，PH=，（2）假设存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.如图，以A为原点，分别以为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，，D，P，，)是平面PAD的法向量，则.设=λ，其中0≤λ≤1.3λ4,22λ,λ)连接EF，因AC∥平面BEQF，AC仁平面PAC，平面PAC∩平面BEQF=EF，5--设n2(x2,y2,z2)是平面BEQF的法向量，j=y2λ,0,43λ.----2由平面BEQF⊥平面PAD，知n1L故在侧棱PD上存在点Q且当DQ3DP时，使得平面BEQF⊥平面PAD.2.3【点睛】关键点点睛：本题涉及线面角，及立体几何中的动点问题.对于（1关键能在各种线面关系中做出相应线面角的平面角.对于（2求动平面的法向量时，可利用线面平行关系找到动平面内向量的共线向量.题型二垂直中的探索性问题9．如图，正方形ABCD所在平面外一点P满足PB⊥平面ABCD，且AB＝3，PB＝4.(1)求点A到平面PCD的距离；(2)线段BP上是否存在点E，使得DE⊥平面PAC，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由.【答案】(1)12；(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用等积法，根据线面垂直，面面垂直的判定及性质结合条件即得；由PB⊥平面ABCD，PB=平面PBC，可得平面PBC⊥平面ABCD，而DC⊥BC，且平面PBC八平面ABCD=BC，DC仁平面ABCD，∴DC⊥平面PBC，PC仁平面PBC，可得DC⊥PC，∵CD＝3，PC=2+42设A到平面PCD的距离为h，则x＝， ∴点A ,（2）以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，解得t=，不合题意，故线段BP上不存在点E，使得DE⊥平面PAC.10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1A的中点.(1)求证：BC1∥平面CEF；(2)在棱A1B1上是否存在点G，使得EG⊥CE？若存在，求A1G的长度；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析 1.4【分析】（1）连结AD1，则FE∥BC1，由此能证明BC1∥平面CEF.（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在棱A1B1上存在点G，使得EG⊥CE，且A1G= 1.4【详解】（1）连结AD1，则BC1∥AD1，AD1∥FE，∴FE∥BC1，∵FE⊂面CEF，BC1⊄面CFE，∴BC1∥平面CEF.（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，假设棱A1B1上是存在点G，使得EG⊥CE，设A1G=λ（0≤λ≤1∵EG⊥CE，∴EG.CE=22-λ=0∴在棱A1B1上存在点G，使得EG⊥CE，且A1G= 1.4点E是BC的中点，(1)求证：A1B平面AC1E；(2)求证：A1CL平面ABC1；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADLA1B.并求的值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【分析】(1)连接AC1，A1C，记两直线的交点为F，证明EF//A1B，根据线面平行判定定理证明A1B平面AC1E；(2)证明AC1LA1C，A1CLAB，根据线面垂直判定定理证明A1CL平面ABC1；(3)以A为原点，AC，AB，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设=λ(0<λ<1)，由垂直关系列方程求出λ即可.【详解】（1）连接AC1，A1C，记两直线的交点为F，因为四边形AA1C1C是正方形，所以F为A1C的中点，又点E为BC的中点，所以FE//A1B，A1B仁平面AC1E，FE仁平面AC1E，所以A1B平面AC1E；（2）因为AB3，BC5，AC4，所以BC2AB2AC2，所以ABAC，又平面ABC平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1CAC，AB平面ABC，所以AB平面AA1C1C，因为A1C平面AA1C1C，所以ABA1C，因为四边形AA1C1C是正方形，所以AC1A1C，又AC1nABA，AC1平面ABC1，AB平面ABC1，所以A1C平面ABC1；（3）因为AB平面AA1C1C，ACAA1，故以A为原点，AC，AB，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐设在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，且01，则，--------------------------------所以在线段BC1上存在点D25,25,25，使得ADA12．正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，先将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B.(1)求二面角E－DF－C的余弦值；(2)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论.【答案】(1)；(2)lDE，证明见解析.【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面EDF和平面CDF的法向量，结合向量夹角公式可求二面角E-DF－C的余弦值；（2）设P(x,y,0)，由条件列方程求点P坐标即可.【详解】（1）由已知ADlDC,BDlDC，所以经ADB为二面角A－DC－B的平面角，又二面角A－DC－B为直二面角，所以ADlDB，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，E0,,，(1) 77 77)为平面EDF的一个法向量，---------321.DA321.---DAn∴二面角E－DF－C的余弦值为.因为APLDE，x,y,0)，∵//，∴(x1)y把y=代入上式得x=，(2)---1---∴BP=3BC，(2)13．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MDL平面ABCD，NBL平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点.(1)证明：MNⅡ平面ABCD(2)在线段AN上是否存在点S，使得ESl平面AMN，如果存在，求出线段AS的长度.【答案】(1)证明过程见详解(2)2【分析】(1)连接BD，由题意可知：四边形MDBN为平行四边形，得到MN//DB，利用线面平行的判定即可证明；(2)根据题意，建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点的坐标，假设在线段AN上存在点S，使得ESl平面AMN，求得的坐标，可设==(0,λ,λ)，由ESl平面AMN可得关于λ的方程组，解得λ的值，可得的坐标以及的值，从而得出结论.因为MDl平面ABCD，NBl平面ABCD，所以MD//NB，又因为MD=NB=1，所以四边形MDBN为平行四边形，所以MN//DB,BD仁平面ABCD,MN红ABCD,所以MNⅡ平面ABCD.（2）由题意知：DM,DC,DA两两垂直，以点D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，21假设在线段AN上存在点S，使得ESL平面AMN，连接AE，设=，λ=01λ=01故当=时，ESL平面AMN.14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为AD的中点，且AA1=4，AB=BC=2，点P在线段BD1上.(1)问：是否存在一点P，使得直线BD1L平面PEC？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请说明理由.(2)若P是线段BD1的中点，求平面PEC与平面ECD1的夹角的余弦值.【答案】(1)不存在，理由见解析【分析】（1）假设直线BD1L平面PEC，利用线面垂直的性质则有BD1LCE，进而可证明CELBD，与实际情况不符，从而证明不成立2）分别以AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．空间向量法求平面PEC与平面ECD1的夹角的余弦值即可.理由如下：若直线BD1L平面PEC，则必有BD1LCE.如图，连接BD，假设BD1LCE，因为DD1L平面ABCD，所以DD1LCE，仁面BDD1，所以CEL平面BDD1，所以CELBD，显然不成立，所以线段BD1上不存在点P，使得直线BD1L平面PEC.（2）分别以AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.--------------------设平面PCE的法向量为=(x,y,z)，设平面ECD1的法向量为=(x,,y,,z,)，令y'=-4，得平面ECD1的一个法向量为=(2,-4,1).所以所以所以平面PEC与平面ECD1的夹角的余弦值为21.15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点.(1)求证：PCⅡ平面BDE.(2)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度.(3)若PA=2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)PA长为2或4【分析】（1）根据线面垂直的性质可得CDLDA，再根据线面垂直的判定可得CDL平面ADP，进而以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，设PA=a(a>0)，求出平面BDE的法向量=(x0,y0,z0)，再证明11（2）由（1设平面PCD的法向量为=(x1,y1（3）令=λ(0<λ<1)，再根据=(-2,1,-1)，与=(2-2λ,-2λ,2λ)平行列式求解λ,进而根据空间向量模长公式求解即可.因为ABCD为正方形，所以CDLDA.又PA八DA=A，且PA,DA仁平面ADP，所以CDL平面ADP.如图，以D为原点建立空间直角坐标系D一xyz，设PA=a(a>设平面BDE的法向量为=(x0,y0,z0)，0----因为PC仁平面BDE，所以PCⅡ平面BDE.令x1---(a)---(a)+2a444a+2a444a设直线BE与平面PCD所成的角为θ,则sinθ=则-----2-----2-----BE.n2---BE--2n2a 22 10，解得a=2或a=4，所以PA长为2令=λ(0<λ<1)，所以F(2一2λ,2一2λ,2λ)，所以2λ=λ,解得λ=((2)2(2)2(2)21(222)1(222).3(1)证明：EFLEB；(2)在平面EFB内寻求一点M，使得AML平面EFB，求此时二面角M一AB一F的平面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）以C为原点，CA,CB,CF分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可证（2）根据四点共面、线面垂直等求出点M的坐标，再利用空间向量坐标运算即可求得二面角M一AB一F的平面角的正弦值.00x1y10x1y1,,----111---建立空间直角坐标系，------------（2）设平面EFB的法向量为nx,y,z，0xz0xzEBn0xyz0y0xz0xzEBn0xyz0y2z即Ml1,2l,l，又M平面EFB，故存在实数a,b,c，且满足abc1，使得-------------CMaCEbCFcCBa,0,a0,0,2b0,c,0a,c,a2b，-------------l1a故la2b，解得l6，所以M6,-------设平面ABF的法向量为mx1,y1,z1，又AF1,0,2,AB1,1,0z1z1设平面MAB的法向量为tx2,y2,z2，又AM6,3,6,AB1,1,01 z21 z26则---62326ABt0x2y200z23x2x2y2,令x2, 则二面角M一ABF的平面角的正弦值为.题型三夹角中的探索性问题17．在三棱锥P一ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点P在底面ABC上的射影为棱BC的中点O，且PB与底面ABC所成角为，点M为线段PO上一动点.(1)求证：BCLAM；(2)是否存在点M，使得二面角P一AB一M的余弦值为，若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，且点M为PO的中点【分析】（1）证明出AOLBC，BCLPO，利用线面垂直的判定定理可证得BCL平面APO，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立；（2）分析可知ZPBC=，POL平面ABC，AOLBC，以点O为坐标原点，OB、AO、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点M(0,0,c)，其中0<c<3，利用空间向量法可得出关于c的方程，求出c的值，即可得出结论.【详解】（1）证明：连接AO，∵ΔABC为等边三角形，O为BC的中点，则AOLBC，因为点P在底面ABC上的射影为点O，则POL平面ABC，∵BC仁平面ABCBCLPO，∵AOnPO=O，AO、PO仁平面APO，：BCL平面APO，∵AM仁平面APO，∴BCLAM.（2）解：因为POL平面ABC，AOLBC，以点O为坐标原点，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为POL平面ABC，所以，PB与底面ABC所成的角为ZPBC=，,0,0，2，--.--. x4c2,可得4c2-48c+63=因此，当点M为PO的中点时，二面角P-AB-M的余弦值为.18．如图，在ΔABC中，DB=90。，P为AB边上一动点，PD//BC交AC于点D，现将ΔPDA沿PD翻折至(1)证明：平面CBA,L平面PBA,；(2)若PB=CB=2PD=4，且A,PLAP，线段A,C上是否存在一点E（不包括端点使得锐二面角EBD的值，若不存在请说明理由.的余弦值为，的值，若不存在请说明理由.(1)证明见解析(1)证明见解析A,EEC(2)存在，BCLBP，根据线面垂直判定定理证明BCL平面PBABCLBP，根据线面垂直判定定理证明BCL平面PBA,，根据面面垂直判定定理证明平面CBA,L平面PBA,；（2）证明APL平面A,PD，建立空间直角坐标系，=，求平面EBD，平面CBD的法向量，由条件列方程求λ即可.所以A,PLBC，又因为BCLBP，A,PnBP=P，A,P仁平面PBA,，BP仁平面PBA,，所以BCL平面PBA,，又BC仁平面CBA,，所以平面CBA,L平面PBA,.（2）因为PDⅡBC，BCLAP，∴PDLAP，又∵A,PLAP，A,PnPD=P，A,P,PD仁平面A,PD，∴APL平面A,PD，∴PA、PA,、PD两两垂直，以P点为原点，PA为x轴，PD为y轴，PA,为z轴建立空间直角坐标系，因为PB=CB=2PD=4，A'C=(-4,4,-4)，设A'E=λA'C=(-4λ,4λ,-4λ)-y-y设平面BDE法向量为=(x,y,z)，取x=1，则y=-2，z=,y(3λ-1)故n=（|1,-2,1-λ)|为平面BDE的一个法向量， mn mnyyyy解得λ=，符合题意3λ-11-λ2222(3λ-1)2λ)|=【点睛】19．四棱锥P-ABCD中，侧面PCDL底面ABCD，PDL(1)求证：BCL平面PBD；(2)求直线AP与平面PBD所成角的正弦值；(3)侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角E一BD一P的余弦值为若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用面面垂直的性质推导出PDL平面ABCD，可得出B再结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线AP与平面PBD所成角的正弦值；（3）设=λ，其中0<λ<1，利用空间向量法可得出关于λ的等式，结合0<λ<1可求得λ的值，即可得出结论.PD仁平面PCD，PDLCD，所以，PDL平面ABCD，因为BC仁平面ABCD，所以，BCLPD，取CD的中点F，连接BF，在直角梯形ABCD中，AB//CD，ZADC=90。，AB=AD=1，CD=2，因为F为CD的中点，则AD=AB=CD=DF，且AB//DF，因为CD=2，所以，BC2+BD2=因为PD八BD=D，BD、PD仁平面PBD，所以，BC6666（2）解：因为PDL平面ABCD，ZADC=90。，以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，由（1）知BCL平面PBD，所以，平面PBDAP.BC11AP.BC11cosAP,BCAP.BC所以，直线AP与平面PBD所成角的正弦值为.（3）解：设=λ=λ(0,2,-1)=(0,2λ,-λ)，其中0<λ<1，设平面BDE的法向量为=(x,y,z)，则〈-λ)z=0，取y=λ-1，可得=(1-λ,λ-1,2λ)，2λ-12λ-1cosBC,mBC.m则BC.m 2(λ-1)2+4λ2 整理可得3λ2+2λ-1=0，因为0<λ<1，解得λ=，且当λ=时，由图可知，二面角E-BD-P为锐角， 因此，侧棱PC上存在异于端点的一点E，使得二面角E-BD-P的余弦值为36，且=.20．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦EF交CD于点G，其中DG=2,DE=DF.(1)证明：平面AEF平面ABCD;(2)判断上底面圆周上是否存在点P，使得二面角PEFA的余弦值为．若存在，求AP的长;若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在点P，AP的长为2.【分析】（1）将面面垂直转化为EF平面ABCD，根据圆和圆柱的性质可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量可解.因为DEDF所以G为弦EF的中点，且EFCD.因为EFAD,ADCDD,AD、CD平面ABCD.所以EF平面ABCD.因为EF平面AEF.所以平面AEF平面ABCD.设平面PEF交圆柱上底面于PQ，交AB于点H.则二面角PEFA的大小就是二面角HEFA的大小.分别以下底面垂直于DG的直线、DG、DA为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图所示.7则A(0,0,6),E(2,2,0),F(一2,2,0)，设H(0,m,6)(0<m<6).=(2,m2,6)．设平面AEF的一个法向量为=(x1,y1,z11令z1设平面HEF的一个法向量为=(x2,y2,z2).22(x2(x2 即：AH=4．又因为EF//平面PAB,EF仁平面PEF，平面PAB八平面PEF=PQ所以EF//PQ,PQLAB，且H为PQ的中点.4所以存在点P，使得二面角P一EF4AP的长为2.21．如图，四棱锥P一ACBD，PDL平面ACBD，且ADLDB，三角形.(1)求证：AC//平面PBD；(2)求平面ABP与平面ABC夹角的余弦值；(3)线段PC上是否存在点E，使得DE与平面ABP所成角的正弦值为，若存在，请指出点E的位置； 7 7若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见详解；(2)；7(3)存在，点E与点P重合.边形ADBF为平行四边形，所以AC//DB.进而根据线面平行的判定定理，即可得出；（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系.写出各点的坐标，求出平面ABP的法向量.由已知可得=(0,0,1)即为平面ABC的一个法向量.然后根据向量法，即可求出结果；（3）=λ(0<λ<1).然后表示出=(-λ,2λ,-λ+1)，根据向量法求出线面角.令cosn1,DE223λ 3 88λ2-2λ+1,整理即可得出λ的值.因为ADLDB，所以AD2=AB2-BD2=3，所以AD=.因为ΔABC是边长为2的正三角形，F是AC中点，所以BFLAC，所以BF2=BC2-CF2=3，所以BF==AD.则在四边形ADBF中，有AF=DB，BF=AD，所以四边形ADBF为平行四边形，所以AC//DB.因为，AC仁平面PBD，DB仁平面PBD，所以AC//平面PBD.由已知PDL平面ACBD，AD仁平面ACBD，以点D为坐标原点，分别以DA,DB,DP所在的直线为x,y,z轴，如图2建立空间直角坐标系D一xyz.)是平面ABP的一个法向量，)是平面ABP的一个法向量.因为PDL平面ACBD，所以=(0,0,1)即为平面ABC的一个法向量.所以，平面ABP与平面ABC夹角的余弦值为21217（3）存在，当点E与点P重合时，满足条件.设=λ(0<λ<1).λ,2λ,λ)，(λ,2λ,λ+1).)是平面ABP的一个法向量，(λλ22323λ8λ22λ+1 3 x令=，整理可得，2λ23λ=0 3 x令解得λ=0或λ=解得λ=0或所以，λ=0，即当点E与点P重合时，满足条件.22．如图，在三棱锥P一ABC中，平面PBCL平面ABC，‘PBC为等边三角形，D，E分别为PC，PB的中点，BDLPA，BC=2，AC=1.(1)求证：ACL平面PBC；(2)在线段AC上是否存在点F，使得平面DEF与平面ABC的夹角为，若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证明BDLPC，结合BDLPA，由线面垂直判定定理和定义证明ACLBD，取BC中点G，由面面垂直性质定理证明PGL平面ABC，由此可得PGLAC，最后利用线面垂直判定定理证明ACL平面PBC；【详解】（1）：‘PBC为等边三角形，D为PC中点，：BDLPC，又：BDLPA，PAnPC=P，PA，PC仁平面PAC，：BDL平面PAC，：AC仁平面PAC，：ACLBD，取BC中点G，连接PG，:ℸPBC为等边三角形，：PGLBC，∵平面PBC平面ABC，平面PBCn平面ABCBC，PG平面PBC.∵AC平面ABC，PGAC，∵BD与PG相交，BD，PG平面PBC，AC平面PBC；（2）以C为坐标原点，CA，CB所在直线为x轴，y轴，过C且与GP平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则EE设Fa,0,00a1，则------1r则---DF0y0ax2y y0z2a取xy0z2a3,0,2a为平面DEF的一个法向量，取平面ABC的一个法向量为0,0,1，-mmn则-mn34a22，则-mn解得a=，此时CF=:在线段AC上存在点F使得平面DEF与平面ABC的夹角为，且CF= 1.223．已知底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，PA//DQ，PA=AD=3DQ=3，点E、F分别为线段PB、CQ的中点.(1)求证：EF//平面PADQ；(2)求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；(3)线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)7利用面面平行的性质可证得结论成立；法二：以点A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；（3）假设存在点M，使得=λ，其中λe[0,1]，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于λ的方程，解之即可.由题意可知点E、F分别为线段PB、CQ的中点．所以EG//PA，FH//QD，因为PA//DQ，所以EG//FH，所以点E、G、H、F四点共面，因为G、H分别为AB、CD的中点，所以GH//AD，因为AD仁平面ADQP，GH丈平面ADQP，所以GH//平面ADQP，又因为FH//QD，QD仁平面ADQP，FH丈平面ADQP，所以FH//平面ADQP，又因为FHnGH=H，FH、GHi平面EGHF，所以平面EGHF//平面ADQP，因为EF仁平面EGHF，所以EF//平面ADQP；法二：因为ABCD为正方形，且PAl平面ABCD，所以AP、AB、AD两两互相垂直，以点A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，所以.=0，所以l，又因为EF丈平面ADQP，所以EF//平面ADQP.所以平面PCQ的一个法向量为=(1,2,3)，易知平面CQD的一个法向量=(0,1,0)，设平面PCQ与平面CQD夹角为θ,则cosθ=---.mn7所以平面PCQ与平面CQD夹角余弦值为7;----------AM.m3λ+6λ+9一9λ----------AM.m3λ+6λ+9一9λ因为0≤λ≤1，解得λ=或，所以，=或=1.(1)当G为BE的中点时，求证：CDL平面AFG(2)是否存在一点G，使平面AFG与平面ABC所成角的余弦值为1？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量方法证明FG⊥CD，结合AFLCD，化简线面垂直判定定理证明CDL平面AFG；(2)设=λ,λE[0,1]，求平面AFG与平面ABC的法向量，利用向量夹角公式求两向量的夹角余弦，由条件列方程求λ即可.------以点C为原点，CA,CF为x,z轴正方向建立空间直角坐标系，，------∴FG⊥CD由菱形性质知AFLCD∵AF仁平面AFG，FG仁平面AFG，AFnFG=F∴CDL平面AFG；设=λ,λE[0,1]，则=λ=λ(0,0,2)=(0,0,2λ)578 78 G1,3,2G1,3,2λ,所以所以所以设平面AFG的法向量为=(x,y,z)，则则 取所以3,1_2λ,3)为平面AFG的一个法向量，所以 6+ 6+1_2λ2m.ncosθ=cosm,nyy2_24λ2_24 =2,使平面=2,使平面AFG与平面ABC所成角的余弦值为BE4距离中型四题的探索性问题距离中型四题25．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为长方形，AA1=1，AB=BC=2，ZABC=120。，(1)求证：平面AA1C1CL平面C1MB；(2)求直线A1B和平面C1MB所成角的正弦值；(3)在线段A1B上是否存在一点T，使得点T到直线MC1的距离是，若存在求A1T的长，不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析(2).ABAB.ABAB553【详解】（1）由于AB=BC,AM=CM，所以BMLAC，根据直三棱柱的性质可知BMLAA1，由于AC∩AA1=A，所以BML平面AA1C1C，由于BM仁平面C1MB，所以平面AA1C1CL平面C1MB.（2）设N是A1C1的中点，连接MN，则MN//AA1，MA，MB，MN，两两相互垂直.以M为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，A设平面C1MB的法向量为=(x,y,z)，则1111==(λ,λ,λ)(λE(0,1))，则过T作THLMC1=H，则MH=|λ一1|，∵d2+MH2=MT2，9∴2+λ9∴λ=λ=∴1 5∴1AT=.3E为PD的中点.(1)求证：ACPD；(2)求二面角E-AC-D的大小；(3)在侧棱PC上是否存在点F，使得点F到平面AEC的距离为66？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角；（3）设出F点坐标，用空间向量的点到平面距离公式进行求解.连接PO．因为PA=PC=2，所以ACPO.43232四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，则ACBD.又POnBDO，所以AC平面PBD，因为PD平面PBD，所以ACPD.（2）因为PBPD，所以BDPO，所以由（1）知PO平面ABCD，---------以O为原点，OB，OC，OP的方向为x轴，y轴，-