九年级数学讲义-2213二次函数的图象和性质

九年级数学讲义-2213二次函数的图象和性质目录contents二次函数基本概念与性质二次函数图象变换规律二次函数与一元二次方程关系二次函数在实际问题中应用举例典型例题解析及思路拓展课堂小结与课后作业布置01二次函数基本概念与性质形如$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的函数称为二次函数。二次函数定义二次函数的一般表达式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为常数，且$aneq0$。二次函数表达式在二次函数中，$a$称为二次项系数，$b$称为一次项系数，$c$称为常数项。二次函数系数二次函数定义及表达式对称轴二次函数的图象关于直线$x=-frac{b}{2a}$对称，该直线称为抛物线的对称轴。抛物线形状二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数$a$决定。当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。顶点抛物线的顶点坐标为$left(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$，该点也是抛物线的最值点。二次函数图象特征单调性当$a>0$时，二次函数在区间$(-infty,-frac{b}{2a}]$上单调递减，在区间$[-frac{b}{2a},+infty)$上单调递增；当$a<0$时，二次函数在区间$(-infty,-frac{b}{2a}]$上单调递增，在区间$[-frac{b}{2a},+infty)$上单调递减。最值当$a>0$时，二次函数有最小值$c-frac{b^2}{4a}$，无最大值；当$a<0$时，二次函数有最大值$c-frac{b^2}{4a}$，无最小值。零点二次函数的零点即为一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。根据判别式$Delta=b^2-4ac$的大小关系，可以确定二次函数的零点个数及分布情况。二次函数性质总结02二次函数图象变换规律0102平移变换规律当二次函数的图象沿y轴向上（下）平移h个单位时，其函数表达式中的y替换为y+h（y-h）。当二次函数的图象沿x轴向左（右）平移k个单位时，其函数表达式中的x替换为x+k（x-k）。当二次函数的图象在x轴方向上伸缩a倍时，其函数表达式中的x替换为ax。当二次函数的图象在y轴方向上伸缩b倍时，其函数表达式中的y替换为by。伸缩变换规律二次函数y=ax^2+bx+c的图象关于y轴对称，即当x取相反数时，函数值不变。二次函数y=a(x-h)^2+k的图象关于直线x=h对称，即当x=h时，函数取得最值k。若二次函数的图象既关于y轴对称又关于直线x=h对称，则该函数为偶函数，且对称轴为y轴。对称变换规律03二次函数与一元二次方程关系通过配方将一元二次方程转化为完全平方形式，进而求解。配方法公式法因式分解法利用一元二次方程的求根公式直接求解。将一元二次方程进行因式分解，转化为两个一元一次方程求解。030201一元二次方程求解方法回顾当$b^2-4ac>0$时，二次函数图象与$x$轴有两个交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根；当$b^2-4ac=0$时，有一个交点（重根），对应一元二次方程有两个相等的实数根；当$b^2-4ac<0$时，无交点，对应一元二次方程无实数根。二次函数$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）与对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有密切关系。二次函数的图象与$x$轴的交点即为对应一元二次方程的根。二次函数与一元二次方程对应关系通过观察二次函数的图象，可以直接得到对应一元二次方程的根的情况。当图象与$x$轴有一个交点时，该交点的横坐标即为方程的重根。当图象与$x$轴有两个交点时，可以通过测量或计算得到两个交点的横坐标，即为方程的两个实数根。当图象与$x$轴无交点时，说明方程无实数根。利用二次函数图象解一元二次方程04二次函数在实际问题中应用举例建模步骤确定自变量和因变量，通常自变量为时间、数量等，因变量为利润。根据题意列出二次函数关系式，通常利润与自变量之间存在二次函数关系。利润最大化问题建模与求解利用二次函数的性质，找到最大值点，即利润最大化点。利润最大化问题建模与求解将二次函数关系式配方成顶点式，直接读出顶点坐标，得到最大值。配方法利用二次函数的顶点公式，求出顶点坐标，得到最大值。公式法利润最大化问题建模与求解建模步骤确定自变量和因变量，通常自变量为长度、宽度等，因变量为面积。根据题意列出二次函数关系式，通常面积与自变量之间存在二次函数关系。面积最大化问题建模与求解利用二次函数的性质，找到最大值点，即面积最大化点。面积最大化问题建模与求解将二次函数关系式配方成顶点式，直接读出顶点坐标，得到最大值。利用二次函数的顶点公式，求出顶点坐标，得到最大值。面积最大化问题建模与求解公式法配方法建模步骤仔细阅读题目，理解题意，确定自变量和因变量。根据题意列出二次函数关系式。其他实际问题建模与求解利用二次函数的性质进行求解。求解方法根据具体问题选择合适的求解方法，如配方法、公式法等。注意实际问题中自变量的取值范围，确保解符合实际情况。01020304其他实际问题建模与求解05典型例题解析及思路拓展第二季度第一季度第四季度第三季度例题1解析例题2解析典型例题解析已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(1,0)$，$B(2,0)$，$C(3,4)$，求该二次函数的解析式。根据已知条件，可以设该二次函数的解析式为$y=a(x-1)(x-2)$。将点$C(3,4)$的坐标代入解析式，得到$4=a(3-1)(3-2)$，解得$a=2$。因此，该二次函数的解析式为$y=2(x-1)(x-2)$。已知二次函数$y=x^2-2x-3$，求该函数在区间$[-1,4]$上的最大值和最小值。首先，将该二次函数化为顶点式$y=(x-1)^2-4$。由此可知，该函数的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。在区间$[-1,4]$上，当$x=1$时，函数取得最小值$y_{text{min}}=-4$；当$x=4$时，函数取得最大值$y_{text{max}}=5$。思路拓展与举一反三对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以通过配方的方法将其化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，从而更容易地找出函数的对称轴和顶点坐标。这对于解决与二次函数图象和性质相关的问题非常有帮助。拓展1在解决二次函数的最值问题时，我们需要注意函数的定义域和值域。如果函数的定义域受到限制（例如在一个特定的区间内），则我们需要考虑端点处的函数值以及对称轴上的函数值来确定最值。此外，我们还需要注意二次函数的开口方向（由系数$a$决定），以确定函数在定义域内的单调性。拓展206课堂小结与课后作业布置010204课堂小结回顾本节课重点内容二次函数的定义和一般形式二次函数的图象：抛物线抛物线的开口方向、对称轴和顶点