2022-2023学年辽宁省辽阳市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省辽阳市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录,

下列四幅作品分别代表“立春”、”谷雨”、”白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的

是（）

A.

2.如果a-b>0,那么下列不等式成立的是()

A.a-Fb<0B,a+l>b+lC.a<bD.—a>—b

3.不等式组解集为-14%vl,下列在数轴上表示正确的是（）

B--i0I2>

A.

C.D.

0

4.下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（）

A.a(%+y)=Q%+ay

B.2a(b+c)-3(b+c)=(2Q-3)(h+c)

C.15x5=3x2•5x3

2

D.a+2a+1=Q(Q+2)+1

5.如图所示，三架飞机P,Q,R保持编队飞行，某时刻在

--3

坐标系中的坐标分别为（—1,1）,（—3,1）,（—1,—1）.30秒后,7P

上2

飞机P飞到P'（4,3）位置，则飞机Q,R的位置Q',?分别为（）

飞3

t11

A.Q'(2,3),R'(4,l)O\23

B.Q'(2,3),

C.Q'(2,2),

D.Q'(3,3),R'(3,l)

6.如图，在△ABC中，分别以点4和点B为圆心，以相同的长（大

于;4B）为半径作弧，两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于

点D,交AC于点E,连接CD.已知△CDE的面积比^CDB的面积小5,

则△4DE的面积为（）

A.5

B.4

C.3

D.2

7.如图，将△ABC沿4c边所在直线平移至△EDF,则①ZE=CF,②4B=ED,③4B//ED,

④乙HCF=Z.HEC+4B中正确的结论有（）

A.一个B.二个C.三个D.四个

8.如图，一次函数旷=kx+b（k40）的图象经过点4（一1,一2）和

点8（—2,0）,'—次函数y=2%的图象过点4则不等式2xSkr+b

的解集为（）

A.x<—1

B.x<—2

C.x>1

D.-2<x<-1

9.如图，有一块直角三角形纸片，ZC=90°,AC=6,BC=8,若要在边C4上找一点D,使

得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边4B上，则点。到顶点C的距离是（）

A

10.如图，在四边形/BCD中，4B//DC,NZMB的平分线交BC于点E,DE1AE,若4D=12,

BC=8,则四边形4BCD的周长为（）

A.32B.20C.16D.28

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11.已知x—2y=—5,xy=—2,则My—2xy2=.

12.已知关于x的方程3k-5x=-9的解是非负数，则k的最小值为.

13.己知4/+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，贝味的值为

14.如图，△ABC中，"=60。，Z.ABC=80°,将△4BC绕点0

B逆时针旋转，得到ADBE,若DE//BC,则旋转的最小度数为

15.己知不等式的｛:*:解集是x<2,贝b的取值范围是.

16.一张试卷共20道题，做对一题得5分，做错或4不做一题扣3分，小辛做了全部试题，若

要成绩及格（注：60分及以上成绩为及格），那么小辛至少要做对道题.

17.在△ABC中，AB^AC,点。在AC边上，连接BD,若4ABD=30。，△DBC为等腰三角

形，贝叱B4C的度数为.

18.已知等边A/IBC的边长为4,点P是边BC上的动点，将4

4BP绕点4逆时针旋转60。得到AaCQ,点。是4C边的中点，连

接DQ,则DQ的最小值是.

三、解答题(本大题共6小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本小题10.0分)

计算题、分解因式：

(l)x2y—2xy2+y3；

J3+x<2(x-2)+7

1J(5x-1<3(x+l),

20.(本小题10.0分)

如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是4(1,1)、8(4,2)、C(3,5).

Q)以点。为旋转中心，将△4BC逆时针旋转90。，得到AAiBiCi，请画出△&B1QG4、B、C的

对应点分别为4、为、Q)；

⑵将△ABC平移，使平移后点B、C对应点殳，。2分别在y轴和%轴上，画出平移后的2c2；

(3)设点P在坐标轴上，且AAPB与AABC的面积相等，则点P的坐标为.

21.（本小题8.0分）

如图，在△力BC中，AB=AC,。为力B边的中点，DEJ.4C于点E,DF_LBC于点尸，DE=DF.

求证：△4BC是等边三角形.

22.（本小题12.0分）

2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品.某商店准备购进4B两种型号的兔子

挂件.已知购进4型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元，且4型号兔子挂件比B型

号兔子挂件每件贵15元.

（1）该商店购进4B两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？

（2）该商店计划购进4B两种型号的兔子挂件共50件，且4B两种型号的兔子挂件每件售价

分别定为48元，30元.假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则4型

号兔子挂件至少要购进多少件？

23.（本小题12.0分）

【探究】（1）如图1,在四边形中ABCD中，AB=AD,^BAD=120°,ZB=Z.ADC=90°,E、

F分别是BC、CD上的点，S.AEAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.

小李同学探究此问题的方法是：尸。延长到点G,使。G=BE,连接4G,先证明△ABE^ADG,

再证明△AEFNAAGF,即可得出BE,EF,FD之间的数量关系.他的结论是.

【拓展】（2）如图2,已知△ABC是等腰直角三角形，NC=90。.将三角板的45。角的顶点与点C

重合，使这个角落在"1CB的内部，两边分别与斜边4B交于E、F两点，然后将这个角绕着点

C在乙4cB的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段AE、EF、BF之间的数量关系，

并说明理由：

【实际应用】(3)如图2,在四边形/WCC中，4BAD=乙BCD=90°,AB=AD,若AC=5cm,

则四边形4BCC的面积为cm2.

24.(本小题12.0分)

如图，直线匕：y=x+3与过点4(3,0)的直线L交于点C(l,m),与x轴交于点B,。。1.万轴于

点D.

(1)求直线%的函数表达式；

(2)点P是线段4c上一动点，若NCDP=45。，求点P的坐标；

(3)在x轴上是否存在点P,使得以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写

出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：选项。能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以

是中心对称图形；

选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以不

是中心对称图形，

故选：D.

根据中心对称图形的概念和各图的特点求解.

本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.【答案】B

【解析】解：•・•Q-b>0,

・•・Q>b,

4、va-6>0,

工不能判断a+b<0,故A不符合题意；

B、va-6>0,

：・a>b,

・•・a+1>b+1,故8符合题意；

C、a—b>0,

a>b,故C不符合题意；

D、,：a—b>0,

:,a>b,

--a<-b,故Q不符合题意.

故选：B.

根据不等式的性质逐个判断即可.

本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：不等式组解集为表示在数轴上为:

根据已知解集确定出数轴上表示的解集即可.

此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,2向右画；<,

W向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式

的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“2”，“W”要用

实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示.

4.【答案】B

【解析】解：A.a(x+y)=ax+ay,是整式乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；

8.2a(b+c)-3(b+c)=(2a-3)(b+c),符合因式分解的定义，故本选项符合题意；

C.15%5=3%2-%5,等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不合题意；

D.a2+2a+l=a(a+2)+l,等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项

不合题意.

故选：B.

根据因式分解的意义对各选项进行逐一分析即可.

本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多

项式因式分解，也叫做分解因式.

5.【答案】A

【解析】解：由点P(—1,1)到P'(4,3)知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位，

•••点Q(-3,1)的对应点。坐标为(2,3),点的对应点R'(4,l),

故选：A.

本题考查了坐标与图形变化-平移，熟练掌握在平面直角坐标系确定点的坐标是解题的关键.

由点P(-1,1)到P'(4,3)知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位，据此可得.

6.【答案】2

【解析】解：由作图得：MN是的垂直平分线，

•••CD是△ABC的中线，

△4co和4BC0的面积相等，

CDE的面积比^CDB的面积小5,

△CDE的面积比44CD的面积小5,

•••△4DE的面积为5,

故选:A.

根据中线的性质及面积的和差求解.

本题考查了基本作图，掌握几种常见的基本作图的方法及中线的性质是解题的关键.

7.【答案】。

【解析】

【分析】

本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与

原图形的形状和大小完全相同.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这

两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等.利用平移的性质对①②③直接判

断；根据三角形外角性质对④进行判断.

【解答】

解：•・•△ABC沿4c边所在直线平移至△EDF,

AE=CF,AB=DE,AB//DE,=/.HEC,所以①②③正确，

•••Z.HCF=/.A+Z.B,

乙HCF=4HEC+NB,所以⑷正确.

故选：D.

8.【答案】A

【解析［解：由图象可知I：正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b（k丰0）的图的交点是4（一1,一2）,

不等式2x<kx+b的解集是x<-1.

故选：A.

根据图象知正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b（k丰0）的图象的交点，即可得出不等式2x<

kx+b的解集.

本题考查一次函数和一元一次不等式，能利用数形结合，找到不等式与一次函数图象的关系是解

答此题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：过点。作DEJ.4B于点E,

A

BC=BE=8,CD=DE,乙BCD=乙BED=/.DEA=90°,

在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102,

AB=10,

AEAB-BE=10-8=2,

设CD=DE=x,则ZM=AC-CD=6-x,

在RtAOEA中，由勾股定理，得公+22=(6—x)2,

解得x=|，

即CD=I，

故选：B.

根据折叠的性质可得BC=BE=8,CD=DE,乙BCD=乙BED=/.DEA=90°,利用勾股定理列

式求出4B,从而求出4E,设CD=DE=x,表示出4D,然后在RtaDEA中，利用勾股定理列式

计算即可得解.

本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt^DEB的三边，然后利用勾

股定理列出方程是解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：如图所示，延长48、DE相交于点F,

•・•的平分线交BC于点E,

・•.Z.DAE=Z.FAE,

•・•DE1AE,

・・・乙4ED=乙AEF=90°,

vAE=AE,

•••△4EDwzMEF(S4S),

:,DE=EF,AD=AFf

-AB//DC,

・•・Z.CDE=乙EFB,

在^DECfflAFEB中,

2CDE=(EFB

DE=EF,

ZDEC=乙FEB

•••△DECWAFEBQ4S4),

・・.DC=BF,

vAB+DC=AB+BF=AF=12,

・•・四边形4BCD的周长为AD+AB+BC+DC=4。+AF+BC=12+12+8=32,

故选：A.

延长48、DE相交于点尸，根据△AE。2A/EF得到。E=E凡AD=AFf再证明△DEC三△FEB得

到DC=BF,从而推算出四边形ABC。的周长等于24D+8c得到答案.

本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形、平行线和

角平分线的相关知识.

11.【答案】10

【解析】解：％—2y=—5,xy=-2,

:.x2y-2xy2=xy(x—2y)=-2x(—5)=10.

故答案为：10.

提出公因式，把原式变形为xy(x-2y),即可求解.

本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法一一提公因式法、公式法、

十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键.

12.【答案】-3

【解析】解：方程3k-5x=-9,

解得：%=嗒，

由题意得：嗒20，

解得：k>—3,

・••k的最小值为一3,

故答案为：一3.

把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得到答案.

此题考查了解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于化的不等式求出k的范围是解题的关键.

13.【答案】±12

【解析】解：•♦•4/+依+9可以用完全平方公式进行因式分解，

2

4x+fcx+9=(2x)2±12x+32=(2%±3产，

：.k=±12,

故答案为：±12.

利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值.

此题考查了因式分解一运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

14.【答案】400

【解析】解：•••在A4BC中，44=60。，Z.ABC=80°,

“=180°-60°-80°=40°,

•••将△4BC绕点B逆时针旋转，得到ADBE,

="=40°,

vDE/IBC,

•••4CBE=NE=40°,

••・旋转的最小度数为40。，

故答案为：40°.

根据三角形的内角和和旋转的性质以及平行线的性质即可得到结论.

本题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段

的夹角等于旋转角.

15.【答案】a>2

【解析】解：由不等式组｛:22a的解集是％<2，

因此a的取值范围是a>2.

故答案为：a22.

根据不等式组的求解规律：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无解，探究a的

取值范围即可.

本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找

不到”的原则是解答此题的关键.

16.【答案】15

【解析】解：设小辛要做对x道题，依题意有

5x—3(20—x)>60,

解得：x>15.

故小辛至少要做对15道题.

故答案为：15.

设小辛做对x道题，根据共有20道选择题，对于每道题答对了得5分，做错或不做扣3分，小辛若

想考试成绩及格，可列不等式求解.

本题考查一元一次不等式的应用，设出做对的，剩下的就是不做或做错的，根据考试成绩及格(60

分及以上)这个不等量关系可列出不等式求解.

17.【答案】40°或20。

【解析】解：如图:

设NB4C的度数为％,

,:AB=ACf

・•・Z.ABC=zC,

，・4BDC是△4BD的一个外角，

:.Z-BDC=Z.A+Z.ABD=%+30°,

分三种情况：

当BD=BC时，

•••Z.BDC—ZC=久+30°,

・•・/.ABC=4。=x+30°,

v/.A+Z.ABC+ZC=180°,

Ax4-%4-30°+%+30°=180°,

・•・x=40°,

・・・乙BAC=40°；

当CB=CO时，

:.乙CDB=Z.CBD=%4-30°,

・•・Z.ABC=乙ABD+乙CBD=x4-30°+30°=%4-60°,

•••Z-ABC=zC=x+60°,

•・•Z.A+/.ABC4-zC=180°,

・・・%+%+60。+%+60°=180°,

・•・x=20°,

・・・Z-BAC=20°；

当DB=DC时,

•••Z.DBC=ZC,不成立，舍去；

综上所述：NB4C的度数为40。或20。，

故答案为：40。或20。.

设484c的度数为X,利用等腰三角形的性质可得：N4BC=",从而利用三角形的外角性质可得

zB£)C=x+30°,然后分三种情况：当BD=BC时；当CB=C。时；当DB=DC时；分别进行计

算即可解答.

本题考查了等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解题的关键.

18•【答案】＜3

【解析】解：如图，由旋转可得4ICQ=4B=60。,

又•••乙4cB=60°,

Z.BCQ=120°,

•・•点。是AC边的中点，

CD=2,

当DQ1CQ时，OQ的长最小，

此时，4CDQ=30°,

=1,

DQ=，22一7=

•••DQ的最小值是C，

故答案为

根据旋转的性质，即可得到NBCQ=120。，当DQJ.CQ时，OQ的长最小，再根据勾股定理，即可

得到DQ的最小值.

本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角

等于旋转角.

19.【答案】解：(1)原式=y(%2-2%y+y2)

=y(x-y)2；

(2)解不等式3+%工2%-4+7得：%>0,

解不等式5%—1<3%+3得：%<2,

故不等式组的解集为：0Sx<2.

【解析】(1)提取公因式并且运用完全平方公式进行分解即可；

(2)根据解不等式组的方式，分别解出每一个不等式，再找出解集的公共部分得到不等式组的解集.

本题主要考查因式分解，解一元一次不等式组.熟练掌握计算技巧是解题的关键.

20.【答案】(8,0)或(0,4)

【解析】解：(1)如图所示，AAiBiCi即为所求；

(2)如图所示，2c2即为所求；

(3)A4BC的面积为：3x4—1.5-1.5—4=5,

•・•△4PB的面积为5,

当P在x轴上时：设P(x,0),

.--4.5-i(x-l)-j(4-x)=5,

解得：％=8,

当P在y轴上时，设P(0,y),

IX4x(1+3)-ix(y-1)-ix3x(5-y)=5,

解得：y=4,

故答案为：(8,0)或(0,4).

y1

(1)根据网格线的特点及旋转的意义作图；

(2)根据网格线的特点及平移的性质作图；

(3)根据割补法求解.

本题考查了旋转变换和平移变换，掌握变换的特点及割补法求面积是解题的关键.

21.【答案】证明：・・・。为的中点，

:.AD=BD.

•・•DE1AC,DF1BC,

・・・"ED=乙BFD=90°.

在RtaADE和尸中，

(AD=BD

^DE=DFf

・・・Rt△ADE^Rt△BDF(HL),

:.Z-A—Z-B,

CA—CB,

-AB=AC,

:.AB=BC=AC

.•.△4BC是等边三角形.

【解析】证明Rt△ADE=Rt△BOF得到Z4=4B,则C4=CB,然后根据等边三角形的判定方法

得到结论.

本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形.

22.【答案】解：(1)设4型号兔子挂件每件进价x元，则8型号兔子挂件每件进价(X-15)元，

根据题意得：3x+4(%-15)=220,

解得x=40,

•••X-15=40-15=25,

答：A型号兔子挂件每件进价40元，则8型号兔子挂件每件进价25元；

(2)设购进4型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件(50-m)件，

则(48-40)m+(30-25)(50-m)>310,

解得血＞20,

答：4型号兔子挂件至少要购进21件.

【解析】(1)设/型号兔子挂件每件进价%元，则B型号兔子挂件每件进价。-15)元，根据购进4型

号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元列出方程，解方程即可；

(2)设购进A型号兔子挂件m件，则购进8型号的兔子挂件(50-徵)件，根据两种挂件利润之和大于

310列出不等式，解不等式即可.

本题考查一元一次不等式和一元一次方程的应用，关键是找到数量关系列出不等式和方程.

23.【答案】BE+DF=EF12.5

【解析】解：(1)结论是：BE+DF=EF,理由如下：

延长FO到点G,使DG=8E,连接4G,

vZ.B=Z.ADC=90°,

:.乙B—Z.ADG—90°,

在△ABE和AADG中，

DG=BE

Z-B—Z.ADG,

AB=AD

•••△4BEwZk4DG(S4S),

:.AE=AG,乙BAE=Z-DAG,

v乙BAD=120°,Z.EAF=60°,

:.Z.BAE+Z.DAF=60°,

ADAG+Z-DAF=60°,

・•・Z-EAF=/-GAF=60°,

在^AEF^-WL4GF中，

AF=AF

^LEAF=匕GAF,

AE=AG

・•.△AEF三△4GF(SAS),

・・・EF=FG,

•・,DG+DF=GF,

・•・BE+DF=EF；

(2)/lE2+5F2=EF2,理由如下：

将4ACE绕点C逆时针旋转90。得4BCE',连接E'F,

A^ACE+Z.BCF=45°,

v/.ACE=乙BCE',

•••乙BCE'+&BCF=45°=乙E'CF,

4ECF=乙E'CF,

在ACEF和ACER中，

CF=CF

乙ECF=乙E'CF,

CE=CE'

CEFm4CE'F(SAS),

•••EF=E'F,

•••△ABC是等腰直角三角形，ZC=90°,

•••NA=/.ABC=45°,

v"BE'=NA=45°,

Z.E'BF=90。，

在RtABE,中，BE'2+BF2=E'F2,

■■■BE'=AE,

AE2+BF2=EF2.

(3)解：过点4作AM_LBC垂足为M,作4VLCD,交CD延长线于点N,

图3

•••^BAD=/.BCD=90°,

・・・乙B+Z.ADC=180°,

v乙ADN+Z.ADC=180°,

・•・(B=(ADN,

-AMIBC,AN1CD,

・•・Z.AMB=CN=90°,

vAB=AD,

•••△4BM/40N(44S),

：.AM=AN,

-AC=AC,

・・・Rt△AMC三Rt△ANC(HL),

・•・/,ACM=Z-ACN=45°,

・・・乙4cM=Z.CAM=45°,

.•.△ACM是等腰直角三角形，

"AC=5,AM2+CM2=AC2,

.-.AM=CM=?，

四边形ZBCC面积=四边形力MCN面积=2SAACM=2X|X年x詈=12.5.

(1)延长尸。到点G,使。G=BE,连接力G,先根据S4S证明AZBE三△4)G得4E=AG,再证明△

AEF=A4G尸可得EF=FG,即可得出结论；

(2)将△4CE绕点C逆时针旋转90。得△BCE',连接E'F,可证△CEF三△CE'F,得E'F=EF,可证

△BE'F是直角三角形，即可得出结论；

(3)过点4作4M1BC垂足为M,作AN1CD,交CD延长线于点N,先证△ABM^LADN,可得4M=

AN,再证AAMC三△4NC,可得44cM=45。，由勾股定理可得CM长，再求四边形力MCN面积，

即可求得结论.

本题考查的是三角形全等的综合题，主要涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形性质及

判定、勾股定理等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题关键.

24.【答案】解：(1)在