2023年高考数学一模试题汇编（江苏）02 复数与不等式（解析版）

专题02复数与不等式

一、单选题

1.4-7

1.(2023•江苏常州・华罗庚中学校考模拟预测)已知复数Z是纯虚数，P是实数，则W=()

1+1

A.-iB.iC.-2iD.2i

【答案】A

【解析】由题意设Z=历(b∈R),

,1+zl+⅛i(l+⅛i)(l-i)(l+⅛)+(⅛-l)i

贝"---=-----=----------=-------------,

1+i1+i(l-i)(l+i)2

因为]二+z是实数，所以6—1=0,得b=l,

1+1

所以z=i,

所以z=—i，

故选：A.

2.(2023.江苏泰州.泰州中学校考一模)若复数Z满足止土包=l-2i,其中i为虚数单位，则复数Z的虚部

Z

是()

A.-----B.-----iC.2iD.2

33

【答案】D

【解析】由已知岂叫=l-2i,故5=(l-2i)znz=∙r∖=l+2i,

故Z的虚部是2.

故答案为：D

3.(2023•江苏无锡•统考模拟预测)已知复数Z满足[-i)i=4+3i,则IZl=()

A.2√5B.3C.2√3D.3√2

【答案】D

-4+3i-(4+3i)(-i)

【解析】依题意，z-i=空一，则有z='"/+i=3-4i+i=3-3i,于是得z=3+3i,

iɪ-(-ɪ)

所以d=ʌ/ɜ2+32=35/2.

故选：D

4.(2023•江苏南通・统考模拟预测)在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为OZ，将OZ绕点。

按逆时针方向旋转60。后，再将模变为原来的右倍，得到向量。4,则04对应的复数的实部是()

A.6B.—6C.2乖ID.-2-^3

【答案】B

［解析］OZ=(0,4)绕O点逆时针方向旋转60。后变为OZ2=(-2疯2)再将模变为√3倍,得OZ1=(-6,2√3),

对应的复数的实部是一6.

故选：B.

5.(2023・江苏扬州•统考模拟预测)已知复数Z满足Zi=5-3i,则5在复平面所对应的点所在的象限为()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】因为Z=F=-3-5i,所以5=-3+5i在复平面对应的点(-3,5)位于第二象限.

故选：B

6.(2023•江苏盐城•阜宁县东沟中学校考模拟预测)已知复数Z满足z∙(l+i)2=(l-4i)2(αeR),则Z为实数

的一个充分条件是()

A.α=0B.α=lC.a=y∣2D.cι=2

【答案】B

【解析】设Z=/?,则Z?(l+i)~=(1—ai)~,贝∣J2⅛i=1—々2一25，

［2b=-2a

所以〈22解得：。=±1，

∖-a~=0

所以Z为实数的一个充分条件是α=l.

故选：B

7.(2023•江苏苏州・苏州中学校考模拟预测)已知复数Z与(Z+2),8i都是纯虚数，则Z的共辗复数为()

A.2B.-2C.2iD.-2i

【答案】D

【解析】设Z=加,bH0,则(Z+2)2+8i=(⅛i+2)2+8i=4+4⅛i+⅛2i2÷8i

=4一从+(4b+8)i为纯虚数，则有：解得：b=2,

4⅛+8≠0

故z=2i,则Z=-2i-

故选：D.

8.（2023•江苏苏州・苏州中学校考模拟预测）已知复数z=」+也i,则L5等于（）.

22Z

A.—1B.0C.—ʌ/ɜiD.-1—ʌ/ɜi

【答案】D

.,ɪ_2_2(-1-Gi)__2-2√⅞_1√3.

【解析】因为z=」+.iiin

'z^-l+√3i-(-i√3i)(-i-√3i)-4^22'

22+

Z=i,

"2"^2^

所以，+彳=T_后,

Z

故选：D

9.（2。23.江苏宿迁.江苏省沐阳高级中学校考模拟预测）当0时，不等式x+±≥α恒成立，则实数.

的取值范围是（）

A.{a∖a≤2}B.{a∖a≥2}

C.{a∖a≥3}D.{a∖a≤3]

【答案】D

【解析】因为x〉l,所以x—1>0,

所以x+-∖=x-l+J-+l≥2+l=3,当且仅当x=2时取等号，

x-1x-l

故x的最小值为3.

X-I

因为当x>l时，不等式x+J-≥4恒成立，

x-∖

所以4≤3.

故选：D.

10.（2023•江苏常州•江苏省前黄高级中学校考一模）下列命题为真命题的是（）

A.若a>b,贝！］℃2>602B.若α<b<0,贝!）/eɑbv/

C.若c>α>b>0,则a<-D.若α>b>c>O,则@“十0

c—ac-bbb+c

【答案】D

【解析】对于A选项，当C=O时，显然不成立，故A选项为假命题；

对于B选项，当。=-3/=一2时，满足α<8<0,但q2<t⅛<Z?不满足，故B选项为假命题:

对于C选项，当c=3,4=2,b=l时，==不满足，故C选项为假命题;

c-a3-2c-b2

对于D选项，由于αX>c>O,所以/产=坐察TL铲⅛=骼普>。，

hb+cb[b+c)b[b+c)h(b+c)

即故D选项为真命题.

bb+c

故选：D.

11.(2023・江苏南京•模拟预测)设。、b均为非零实数且α<b,则下列结论中正确的是()

A.—>丁B.a1<b1C.-2<TTD.cr,<Z?3

abcrb

【答案】D

【解析】对于A,取〃=T,人=1,则A错误；

ab

对于B,取。=—1,⅛=1,则/=序，B错误；

对于C,取。=一1,b=lt则A='，C错误；

13

对于D,因α<),则。3-α3=s-α)g2+4b+42)=s-4)κb+-4+—∕]>o,即/<氏D正确.

24

故选：D

12.(2023•江苏南通•校联考模拟预测)当XeR时，不等式f-2x-l-α≥O恒成立，则实数。的取值范围

是()

A.(-∞,-2]B.(YO,-2)

C.(-∞,0]D.(-∞,0)

【答案】A

【解析】由题意，当XeR时，不等式/-2x-l-α≥0恒成立，

故A=(-2y+4(l+”)≤0

解得4≤-2

故实数。的取值范围是(→^,-2]

故选：A

13.(2023•江苏•校联考一模)已知x>0,y>O,且x+3y='-∙!∙,则y的最大值为()

yX

A.1B.ʌ-C.2D.-

【答案】D

【解析】x+3y='-1,x+1='_3y,

yXXy

又x>0,所以x+1=，_3y22,

Xy

当且仅当x=l时，等号成立，

y>0,3√+2γ-1≤0,

所以

故选：D.

二、多选题

14.（2023•江苏南京・南京市第一中学校考模拟预测）若复数Z满足：zR+2i）=8+6i,则（）

A.z的实部为3B.z的虚部为1

C.zz=√10D.Z在复平面上对应的点位于第一象限

【答案】ABD

【解析】设z=α+历（a,b∈R）,因为z0+2i）=8+6i,所以Q+2iz=8+6i,所以）+2zi=8+6i,

所以/+〃一劝=8，%=6,所以α=3,b=l,所以z=3+i,所以Z的实部为3,虚部为1,故A,B正确；

Zl=IZ「=10,故C不正确；Z在复平面上对应的点（3,1）位于第--象限，故D正确.

故选:ABD.

15∙（2023∙江苏常州•常州高级中学校考模拟预测）设z/,Z2,Z3为复数，z/对.下列命题中正确的是（）

A.若∣Z2∣=∣Z3∣,则Z2=±Z3B.若Z∕Z2=Z∕Z3,则Z2=Z3

C.若Z2=Z3,则∣Z∕Z2∣=∣Z∕Z3∣D.若Z∕Z2=∣Z后则z∕=Z2

【答案】BC

【解析】A：由复数模的概念可知，上卜㈤不能得到Z2=±Z3,例如Z2=l+i,Z3=lτ∙,A错误；

B：由Z∣Z2=Z∣Z3可得4卜2-Z3）=0,因为ZlH0,所以Z2-Z3=O,即Z2=Z3,B正确；

2-ZZZZZ

C:若7=Z3,贝∣JZ2=Z3,（I）（）（I）（I）

W∣Z∣Z2∣I∣⅞Γ=⅞∣22-⅞⅞'

又Zk0,则|平2『-|平3|2=0,故∣Z∣Z2∣⅛∣,故C正确;

D:IRzl=l+z,Z2=l-i,显然满足乎2=上/，但4≠Z2,D错误.

故选：BC.

16.（2023•江苏•统考模拟预测）已知〃g糖水中含有αg糖（6>a>0）,若再添加mg糖完全溶解在其中，则

糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大），根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（）

a-∖-ma+ma+2"

B.-------<---------

ʌ-Γh+mb+m⅛+2w

21

C.(a+2m)(fe+m)<(6r+∕w)(Z?+2m)D.

3〃_]F7

【答案】ABD

∩a+m

【解析】对于A,由题意可知£<产,正确；

bb+m

Ti-a+ma+m+Tl-tn=丝之，正确：

对于B因U1Λ为相<2'〃，所pcr以l-----<--------------

9b+tnb+ιn+2m-m⅛+2m

a+ma+m+ma+2m(

对于C,-----<---------=-------即clnIa+∕n)(⅛+2m)<(a+2ni)[b+∕n),错误;

b+mb+m+mb+2nι

22+1_3_11

对于D,———<「，正确.

3〃一13Λ-1+1-3Γ-3ΓΓF

故选：ABD

17.（2023•江苏南京•一模）若“<b<0,则下列不等式恒成立的是（）

【答案】AC

11a-（a-b]b1I

【解析】对于A选项，由于人<0,故。一。<0,所以一L=~~ττ<0,即」<乙,故A

a-baaJ[a-b）a∖a-b）a-τba

选项正确;

11也I-Iala-b<0,故百命,故B选项错误;

对于B选项，由于故。一人<0,j—∣-τr∣=I∣∣,∣=Γ7∏J

∖a∖例∖a∖∖b∖∖a∖∖b∖

对于C选项，因为α<人<0,故O>—>:,所以O>b+，〉〃+：,所以(a+，]>[/?+，],故C选项正确;

ahab∖b)∖a)

对于D选项,令〃=-2/=-1，则a+，=/?+?=-1∙,所以>[∕7+∙l]不成立,故D选项错误；

2ah2∖a)∖b)

故选:AC

18.(2023•江苏南通•一模)已知。〉0,〃>0,〃+/?=C出则()

A.∏+2⅛≥3+2√2B.2Λ+2Λ≥8

C.cιbH----≥5d

ab∙5*0

【答案】ABD

【解析】对于A,因为〃+6=。人，所以,+；=1,

ab

从而4+26=(4+3)([+1]=3+丝+建3+2但.3=3+20,正确.

∖ab)ab∖ab

对于B,因为"∕j≤(誓)，所以”+∕,≤(号J,解得α+b≥4,

所以2"+2"≥2,2"∙2"=2y∣^≥2亚=8,正确.

对于C,令必=r(r≥4),/«)=/+；,在［1,+8)为增函数，

17I17

所以/(f)在［4,*x>)上单调递增，从而ft"?,即必+B≥=,错误.

对于D,因为(、=•+：方)≤2(∙!∙+()=2,所以正确.

故选：ABD

三、填空题

19.(2023•江苏常州•华罗庚中学校联考三模)已知复数z=［为，则z∙W=

【答案】>0,25

【解析】Z=芈，"

(l-√3i)(l+√3i)444164

故答案沏ɪ

20.(2023•江苏南通•校联考模拟预测)已知复数Z为纯虚数，若(2-i)z=α-6i(其中i为虚数单位)，则

实数”的值为

【答案】-3

【解析】因为复数Z为纯虚数，所以设z=6ig≠0),

h=a

由(2-i)z=a-6i=>(2-i)∙2i=α-6i=>2Z?i+Z?=a-6i=>≡>a=b=-3

2⅛=-6

故答案为：-3

21.(20123•江苏淮安•统考一模)在R上定义新运算区：xθʃ=x(l-y).若不等式(x-a)位(x+α)<l对

WXeR恒成立，则a的取值范围是

ɪ3

【答案】

2,2

【解析】不等式Q-a)<S>(x+q)<l对任意实数X恒成立,

即为(x—a)(1—x-α)<l,

化筒得V-x-T+q+bO在R上恒成立，

则判别式△<(),即I-4(-∕+α+l)<0,

即有4α2-4a-