高考数学二轮复习二常用逻辑用语梳理纠错预测学案（文含解析）（全国统考版）

常用逻辑用语

常用逻辑用语

・・••:命题趋势I••・・

对于逻辑用语的考查，主要以充分必要条件，命题真假的判断为主.充分必要条件一般

以其他知识作为载体进行考查.

⑥」I

.・••［考点清单J.

1.四种命题的关系

(1)逆命题与否命题互为逆否关系.

(2)互为逆否命题的两个命题同真假；当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它

的逆否命题的真假.

(3)当已知一个命题的真假时，只能由此得出它的逆否命题的真假性，不能判断它的逆命题

与否命题的真假.

2.充分、必要条件

(1)P=q,则P是q的充分条件；

(2)p卬则p是q的必要条件；

(3)poq,则P和q互为充要条件.

3.简单的逻辑联结词

(1)若命题pVq为真，则命题p或q有一个为真，或两个都为真；

(2)若命题pAq为真，则要求p,q都为真.

4.全称命题与特称命题互相否定

否定

VxGM,p(x)<=>3x0eM,rp(x())

5."或"“且"联词的否定形式

UP或q”的否定形式是“非P且非q"，"P且q”的否定形式是“非P或非矿'.

.竇精题集训

(70分钟)

o经典训练题

一、选择题.

1.设a,b是两条不同的直线，a是平面且bua,那么“a〃b”是“a〃a”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】当直线a在平面a内时，由不能推出a//a;

当a//a时，a有可能与b平行或异面，

所以是“a//a”的既不充分也不必要条件，故选D.

【点评】本题考查线线与线面位置关系的判断，充分与必要条件的判断，属于基础题.

2.已知命题p：3%GR,x2-x+1>0；命题q：若。2<扶，则a<b.下列命题为真命题

的是0

A.pAqB.pA-7QC.-7pAqD.pA-?q

【答案】B

【解析】命题p：3xeR,x2-x+l>0;知：P是真命题，rp是假命题；

命题q：若。2<川，则a<b;知：q是假命题，rq是真命题，

.1.pArq是真命题，故选B.

【点评】本题考查了命题的真假性判断，根据原命题的真假性，应用复合命题的真假判断方

法，属于简单题.

3.已知空间中不过同一点的三条直线根，n,I,贝n,，在同一平面”是“m,n,/两两相

交”的0

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】依题意m,n,，是空间不过同一点的三条直线，

当m,n,1在同一平面时，可能加〃〃〃/,故不能得出m,n,/两两相交；

当n,2两两相交时，设mn7i=Z,mr\I=B,nn/=6,

根据公理2可知m,n确定一个平面a,而Bemua,C6nca,

根据公理1可知，直线8C,即/ua,所以讥，n,，在同一平面.

综上所述，“m,n,，在同一平面”是“m,n,，两两相交”的必要不充分条件，故选B.

【点评】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.

4.已知命题p:Vx>0,ln(x+1)>0;命题若a>b,则。2>乒，下列命题为真命题

的是0

A.p/\qB.pA-\pC.—\pAqD.—i夕

【答案】B

【解析】由x>0时，x+l>l,ln(x+l)有意义，知?是真命题，

由2>1,22—12；-1>-2,(-1)2<(-2)2可知g是假命题,

即均是真命题，故选B.

【点评】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非

真值表，进一步作岀判断.

5.给出下列两个命题：命题P：空间任意三个向量都是共面向量；命题q:”

是“Inx<Inv”的充要条件，那么下列命题中为真命题的是()

A.pAqB.pVqC.(-?p)AqD.(中)Vq

【答案】D

【解析】平行于同一平面的向量叫共面向量，故空间任意三个向量不一定都是共面向量，

例如在三条两两垂直的直线上取向量，则不共面，故命题p错，为假命题；

由解得p；

由Inx<Iny,解得0VxVy,

故"(J)”不是“仙工<111丁”的充要条件，故命题q错，为假命题,

所以「p为真命题，

故p/\q,pvq,(-7p)/\q为假命题，(rp)Vq为真命题，故选D.

【点评】本题主要考查了向量共面，以及对数函数、指数函数的基本性质、复合命题的真假

的判断，

属于基础题型.

6.已知直线I是平面a和平面0的交线，异面直线a,b分别在平面a和平面0内.

命题P：直线a,b中至多有一条与直线，相交；

命题q：直线a,b中至少有一条与直线1相交；

命题s：直线a,b都不与直线1相交.

则下列命题中是真命题的为。

A.pV(rq)B.(-/p)AsC.q八(-is)D.(-ip)A(-jq)

【答案】C

【解析】由题意直线1是平面a和平面6的交线，异面直线a,b分别在平面a和平面6内，可知,

命题P：直线a,b可以都与直线，相交，所以命题p为假命题；

命题q：若直线a,b都不与直线/相交，则直线a,b都平行于直线2,那么直线a,6平行，

与题意a,b为异面直线矛盾，所以命题q为真命题；

命题s:直线a,b都不与直线，相交，则直线a,b都平行于直线，，那么直线a,b平行，与

题意a,b为异面直线矛盾，所以命题s为假命题；

由复合命题真假可知，对于A,p为假命题，rq为假命题，所以pv(rq)为假命题；

对于B,rp为真命题，s为假命题，所以(rp)As为假命题；

对于c,q为真命题，rs为真命题，所以q/\(「s)为真命题；

对于D,rp为真命题，rq为假命题，sinx0=cosx0,所以(rp)A(rq)为假命题，

综上可知，C为真命题，故选C.

【点评】本题考查了命题真假判断，复合命题真假判断，点、线、面的位置关系，属于基础

题.

6R

7.已知命题p：VxGR+,lgx>0;q:3%o-sin=cosx0,则下列命题中为真命题

的是()

A.->qB.pAqC.rpAqD.rqVp

【答案】C

【解析】由于当0<x<l时，lgx<o,故命题P为假命题;

Tl

由于当工0=彳时，sinx0=cosx0,故命题q为真命题，

所以rpAq是真命题，故选C.

【点评】本题主要考了复合命题真假关系的判断，结合条件，首先判断命题P，q的真假，再

判断复合命题的真假.

8.命题“若a>l,则mx>0,使得a*>必”的否命题为()

A.若a41,则Vx>0,ax<x2B.若aWl,则mx>0,ax<x2

C.若a>l,5|lj3x<0,ax>x2D.若a>l,!UlJVx>0,ax<x2

【答案】A

【解析】命题“若a>1,则mx>0,使得a'>好”的否命题为“若a<1,则Vx>0,a"<

故选A.

【点评】本题考查四种命题的应用，考查否命题的写法，属于基础题.

9.下列命题中假命题有：03mGR,使/(X)=(加+，+2)/”-硏3是幕函数；030eR,

使sinecoseut成立；③VaeR,使ax+2y+a-2=0恒过定点；@Vx>0,不等式

2工+色24成立的充要条件是a22.则假命题是()

x

A.3个B.2个C.1个D.0个

【答案】B

【解析】①中，令加+丄+2=1,即7712+771+1=0,其A=1—4=—3<0,

m

所以方程m2+漢+1=0无解，故①错；

②中，由sin6»cose=|,得sin26=[>l不成立，故②错；

③中，由ax+2y+a—2=0,得(x+l)a+2y—2=0,

所以ax+2y+a-2=0恒过定点(一1,1),故③正确；

④中，当a22时，2工+3之20^24成立，

x

反之，当2%+q24成立，贝lja/+4K=-2(x-1尸+2恒成立，

x

所以a22,故④正确，

故选B.

【点评】命题的真假判断，需要考生对各章节知识点熟悉.

10.下列命题中正确命题的个数是（）

①对于命题eR,使得+X+1<0,则rp：Vx€R,均有/+久+1>0;

②命题“已知X,yeR,若x+y*3,则X。2或y彳1”是真命题；

③“0<%<4”是“log?x<1"的必要不充分条件；

④已知直线I丄平面a,直线n〃平面6,则“a〃£”是“1心的必要不充分条件.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对于命题p：mx€R,使得工2+x+l<0,则rp:Vx€R,均有%2+x+l之0,故①

不正确；

命题”已知x,yeR,若x+yK3,则XR2或yK1”的逆否命题为：“已知x,yeR,若x=2

且y=1,

则x+y=3”为真命题，故②正确；

由logzXVl,得0<久<2,故"0<x<4”是“log2X<l”的必要不充分条件，故③正确；

因为《，直线I丄平面a,所以直线1丄平面/?,又直线〃〃平面依所以，丄小充分性成立,

故④不正确，

故选B.

【点评】本题考查命题的真假判断，掌握命题的否定，必要不充分条件的定义，互为逆否命

题的等价性是解题关键.

11.下列说法中，正确的是。

A.命题“若a*<b/,则a<b"的逆命题是真命题

B.命题“存在久6R,/-x>0”的否定是：“任意x6R,%2-x<0,'

C.命题“p或q”为真命题，则命题“P”和命题"q”均为真命题

D.已知X6R,则“x>1”是“>2”的充分不必要条件

【答案】B

【解析】A.命题“若am2cbm2,则a<b"的逆命题是“若a<b,则。病<6病”是假命题,

m=0时不成立；

B.命题“存在xeR,/一%>0”的否定是：，，任意xeR,x2-x<0,5,正确；

C."p或q”为真命题，则命题“P”和命题至少有一个为真命题，因此不正确;

D.X6R,则“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,因此不正确,

故选B.

【点评】本题考查了简易逻辑的判断方法，属于基础题型.

12.对于实数a,b,m,下列说法：①若a>b,贝ija/〉/)/；②若。>依则a|a|>b|b|;

③若b>a>0,m>0,则"+〉@;④若a>b>0,且|ln4|=|lnb|,则2a+6的最小

h+mb111

值为2&.其中是真命题的为()

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】B

【解析】对于①，当机=0时，am2=bm2=0,所以①是假命题；

对于②，当a>0时,a|a|>b网成立；

当a<0时，a|a|>b|b|等价于一a2>—次,即a2cb2,

因为b<a<0,所以a2<F,所以a冋>b|b|成立；

当a=0时，b<0,所以a|a|>b|b|成立，

所以②是真命题；

a+ma(a+m]h-(b+m]a(h-a}m

对于③，因为b>a>0,m>0,所以三卫一£=^一2~~L=5—<->0,

b+mb[b+m)b[b+m)b

〃+〃2Cl

所以;——>-,所以③是真命题；

b+mb

对于④，因为a>b>0,且何止卩训，所以a>1>b>0,且lna=-lnb,所以ab=l,

因为2a+b=2a+丄22竝，当且仅当2。=丄，即。=立时成立，—<1,不合题意，

aa22

所以2a+b的最小值不是2V2,

又由—|=2--,因为a>l,所以—|=2-----y>0,

a)a\a)a"

所以y=2a+丄是〃的增函数，2a+丄在a>1时没有最小值.所以④是假命题，

aa

故选B.

【点评】本题主要考查了以命题为背景的命题的真假判定，以及不等式的性质和基本不等式

的应用，

其中解答中熟记不等式基本性质和基本不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

13.以下说法中正确的是。

①Vx6R,x2—x+1>0

②若pVq为真命题，则pAq为真命题

③x>1是好+%-2>0的充分不必要条件

④“若x>y,则d>y2”的逆否命题为真命题

A.①②B.①③C.②③D.③④

【答案】B

【解析】①函数y=/-％+1开口向上，△<(),因此vxeR,x2-x+1>0,正确；

②pVq为真命题，则其中一个为假命题或都是真命题，因此pAq不一定为真命题，错误；

③由J+x—2>0,得x>l或x<—2,因止匕x>1=d+x-2>0,

但d+x—2>0」x>1,即x>1是一+x—2>0的充分不必要条件，正确；

@x>y^x2>y2,原命题为假命题，因此它的逆否命题为假命题，错误，

故选B.

【点评】本题考查了任意性命题的判断，“且"和“或''的理解，充要条件的判断，原命题与逆否

命题真假值的关系.

二、填空题.

14.设neN+，一元二次方程“2-4x+n=0有整数根的充要条件是兀=.

【答案】3或4

【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算.

x=4士年薪=2±冃,

2

因为“是整数，即2±vr。为整数，所以二痴为整数，且“W4,

又因为n€N+，取n=1,2,3,4,验证可知n=3,4符合题意；

反之n=3,4时，可推出一元二次方程刀2-4尤+〃=0有整数根.

【点评】本题考了一元二次方程有实根的充要条件及分来讨论的思想，属于基础题.

15.能说明“若/(x)>/(0)对任意的xe(0,2］都成立，则/(x)在［0,2］上是增函数”为假命题的

一个函数是.

【答案】/(x)=sinx(答案不唯一)

..[0,x=0

【解析】令/(x)=〈r],则/(X)>/(0)对任意的xe(0,2]都成立，但/(x)在[0,2]

4—x,x€(0,21

上不是增函数.

又如，令f(x)=sinx,则/(0)=0,/(x)>/(0)对任意的xe(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]

上不是增函数.

【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题型.

16.下列命题正确的是.(写出所有正确命题的序号)

①已知a,beR,"a>1且b>1”是“ab>1”的充分条件；

②已知平面向量a,②“同>1且网>「'是屮+力|>1"的必要不充分条件；

③已知a,bER,-a2+b2>1”是“|a|+\b\>1”的充分不必要条件；

④命题P：使ex。2%+1且IngW比一1”的否定为rp:“Vx6R,都有e'Cx+l

且Inx〉x-1".

【答案】①③

【解析】对于①，已知a,beR,"a>l且b>l”是“ab>「的充分条件，正确；

对于②，向量的加法法则可知，“冋〉1且问〉1”不能得到“|4+目〉1”；

“+4>1”不能得到“时>1且网〉1”,故错；

对于③，在单位圆/+y2=1上或圆外任取一点P(a,b),满足“a?+/,2>1”，

根据三角形两边之和大于第三边，一定有“㈤+\b\>1”，

在单位圆内任取一点M(a,b),满足“|a|+|b|Nl",但不满足，’宓+"之1”,故正确;

对于④，命题P：叼&6R,使第2xo+1且In34親一1”的否定为rp：“VxeR,都有e，<

x+1或lnx>x-1”,故错,

故答案为①③.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质，考查向量的运算，考查命题的否定,

属于中档题.

•高频易错题

一、选择题.

1.命题“VxeR,3nGN*.使得nNX?”的否定形式是()

A.VxeR,Bn6N*,使得n<x?B.Vx6R,Vn6N",使得几<好

C.BxeR,BneN*,使得n<x?D.3xGR,VneN*,使得n</

【答案】D

【解析】V的否定是丄三的否定是V,八2/的否定是=<小,故选口.

【点评】考查了全称命题与特称命题的否定，注意在写命题的否定的时候，把条件当中的特

称量词改成全称量词，全称量词改写成特称量词，结论改成否定的形式.

2.已知下列命题：

①“VxeR,x2+5x>6”的否定是FxeR,x2+5x<6M;

②已知p,q为两个命题，若“pvq”为假命题，则”(“)八(.)”为真命题；

③“a>2019”是“a>2020”的充分不必要条件；

④“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.

其中真命题的序号为()

A.③④B.①②C.①③D.②④

【答案】B

2,,

【解析】“VXWR,d+5%>6”的否定是TxeR,x+5x<61正确；

已知为两个命题，若“pvq”为假命题，则"()「)/\(/?)”为真命题，正确；

“a>2019”是“a>2020”的必要不充分条件，错误；

“若xy=0,则x=0且y=0”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误，

故选B.

【点评】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条

件等概念是解题基础.

3.下列叙述中正确的是0

A.若a,b,c6R,贝『ad+bx+c>0”的充分条件是“屍_4ac<0«

B.若a,b,ceR,则“a/>c*”的充要条件是“a>c”

C.命题“对任意xeR,有好之o”的否定是“存在xeR,有好之。，，

D.，是一条直线，a,6是两个不同的平面，若，丄a,lip,则a〃1

【答案】D

【解析】当a<0时，"接一4四40"推不出"a^+bx+cNO",A错；

当b=0时，"a＞c"推不出"。/＞仍2”,B错；

命题“对任意X6R,有的否定是“存在xeR,有/＜0"，C错；

因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D正确.

【点评】本题考查了充分、必要条件，当P的充分条件是q时，则q=P；当P的必要条件是

q时，则p=q;

当P的充要条件是q时，则P=q.

Tl

4.已知函数/'(x)=2sin(3x+")(。＞0,夕€—,Tt)的部分图象如图所示，其中

即命题〃：/(x)=2sin但x+”],命题q：将/⑺的图象向右平移g个单位，

2136丿6

得到函数y=2sin(^x+1)的图象.则以下判断正确的是0

A.p/\q为真B.pVq为假C.p/\(rq)为真D.(rp)vq为真

【答案】C

【解析】由|〃N|=g,可得♦57T

2"=—,解得<o=~<

23

结合f(O)=l,可得sin夕=]

结合ee—,7T

函数的解析式为/(x)=2sin＞则命题p是真命题.

7T

将函数八支)的图像上所有的点向右平移2个单位，

6

/z兀)\兀(5u717[-2、

所得函数的解析式为/X—7=2sin-X+---的图像，即命题4为假命题，

\6丿13618丿

则pAq为假命题；pVq为真命题；pA(rq)为真命题；(rp)vq为假命题，

本题选择C选项.

【点评】本题结合三角函数考查复合命题的真假的判断，要求考生三角函数图象及三角函数

的性质熟悉，

对逻辑联词的概念清晰，难度中等.

❷精准预测题

一、选择题.

1.给出命题：若函数y=/。)是塞函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命

题、否命题、

逆否命题三个命题中，真命题的个数是0

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】若函数y=f(x)是黑函数，则函数y=f(x