考点11 双曲线与抛物线（含解析）2023年高考数学大一轮单元复习

考点11双曲线与抛物线-2023年

高考数学大一轮单元复习

知识回顾

识点一双曲线的定义

平面内到两个定点Fi，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于FIF2的正数)的点的轨迹叫

作双曲线，两个定点尸I，&叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距.

知识点二双曲线的标准方程

隹占在

，、八，、、、X轴上焦点在y轴上

2222

标准方程方一/=1（。>0，b>0）/一a=l（a>0，b>0）

*1

图形0X

A

焦点坐标Fi（—c,0）,尸2（C,0）尸1（0,-C)，尸2(0,C)

a,b,c的关

h2=c1-a2

系

1.求双曲线标准方程的步骤

(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标

轴上，以确定方程的形式；

(2)定量：是指确定后，〃的数值，常由条件列方程组求解.

2.双曲线标准方程的两种求法

(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a,h,c,再写出双曲线的标准方程;

(2)待定系数法：

典例1、设Q,6分别是双曲线/一若=1的左、右焦点，户是双曲线上的一点，且3|尸分|

=4\PF2\,则△PF1F2的面积等于()A.4小B.85C.24D.48

|PF1|-|PF2|=2,

解析：选C由题意，得

3|PFI|=4|PF2|,

|PFI|=8,1

解得lb,又由|FR|=10，可得△P6巳是直角三角形，则必加门=于小尸血尸尸2|=

［叫=6.z

24.故选C.

知识点三双曲线的几何性质

X2V222

标准方程经中=1(〃>0,b>0)点一条=1(4>(),b>0)

图形w

焦点Fi(~c,0),f2(的0)F|(0,­c),F2(0,C)

焦距\FIF2\=2C

范围后一〃或x>a,y£Ry<—a或y>a,%eR

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

性

顶点4（一〃，0）,人2（〃，0）4(0,—ci),A2(0,a)

质

实轴：线段A32，长：2a：虚轴：线段历&，长：2b；实半轴

轴

长：a,虚半轴长：b

离心率6=衿1+8)

渐近线产号产导

1.等轴双曲线

(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为9=1或5—

x2

^2=l(a>0)；

(2)等轴双曲线的渐近线方程为y=±t,离心率e=巾.

2.共朝双曲线的性质

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共舸双曲线.其性

质如下：

(1)有相同的渐近线；

(2)有相同的焦距；

(3)离心率不同，但两离心率倒数的平方和等于常数1.

典例2、己知尸|,尸2是双曲线正一言=1(。>0，Q0)的两个焦点，PQ是经过B且垂直于

x轴的双曲线的弦，如果/尸尸2。=90。，求双曲线的离心率.

阐设Q(c,0),将x=c代入双曲线的方程得号一£=1,那么尸土与

aDa

由1叫=|。尺|，NPBQ=9()。，知|PQ|=|尸画，所以号=2c,所以〃=2“c,

d

2

所以c2—2ac—42=(),所以住)—2x|-1=(),

即e2-2e-l=0,所以e=l+g或e=l一啦(舍去)，所以双曲线的离心率为1+让.

知识点四抛物线的定义

设产是平面内的一个定点，/是不过点F的一条定直线，则平面上到尸的距离与到/的距

离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线/称为抛物线的准线.

知识点五抛物线标准方程的几种形式

准线方

图形标准方程焦点坐标

程

-

2__E

°y=2px(p>0)像°)ar2

0

V=-2px(p>0)?2-

1x=2

f=2py(p>0)1'2)y=~2

y

'王V/=-200>0)(°')y=2

典例3、求适合下列条件的抛物线的标准方程：

(1)过点M(—6,6)；(2)焦点尸在直线/：3x—2y-6=0上.

［解|(1)由于点M(-6,6)在第二象限，.•.过M的抛物线开U向左或开口向上.

若抛物线开口向左，焦点在x轴上，

设其方程为丁=-2px(p>0),

将点M(—6,6)代入，可得36=-2px(—6)>

；.p=3.抛物线的方程为-6x.

若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为F=2pyS>0),

将点M(-6,6)代入，可得36=2px6,；.p=3,.•.抛物线的方程为『=6)，.

综上所述，抛物线的标准方程为V=-6x或f=6y.

(2)①...直线/与x轴的交点为(2,0),

...抛物线的焦点是F(2,0),,4=2,..卬=4,抛物线的标准方程是V=8x.

②•.•直线/与y轴的交点为(0,-3),

即抛物线的焦点是F(0,-3),.•考=3,.・.p=6,.•.抛物线的标准方程是『=一12»

综上所述，所求抛物线的标准方程是V=8x或？=一12»

知识点六抛物线的简单几何性质

类型y1=2px(p>0)y2=-2px(p>0)j^=2py(p>0)/=-2py(p>0)

和\tyl

图形臼r

7\V©)

焦

3°)［甘,o)(0,9K0,-2)

恺点

质;佳

_2

X=x=y=-2y=2

线一22

范

x>0,y£R烂0,y£Rxe/?,y>0xGR,y<0

围

为

X轴y轴

称轴

顶

0(0,0)

点

离

e=l

心率

开

□方向右向左向上向下

向

抛物线的标准方程与对称恺三、焦点位置的关系

。>0时，焦点在x轴正半轴上，开口向

一次项为X

右

y=ax项，对称轴为X

“<0时，焦点在x轴负半轴上，开口向

轴

左

公>0时，焦点在y轴正半轴上，开口向

一次项为)'

上

j^=ay项，对称轴为y

。<0时，焦点在y轴负半轴上，开口向

轴

下

典例4、己知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆F+尸=4相交的公共弦长

为2小，求抛物线的方程；

(2)设尸是抛物线)2=4x上任意一点，设A(3,0),求|以|的最小值.

[解1⑴设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0)或丫2=一2〃入0>0),抛物线与圆的交点

4(xi,yi),8(X2)j2)(yi>0,)，2<0)，则1训+阅=2小>即%—丫2=2巾.由对称性，知”=一

M，代入上式，得)，1=小，把yi=45代入f+尸=4,得xi=±l,所以点(1,小)在抛物线

V=2px上，点(一1,小)在抛物线尸=一24上，可得p=].于是所求抛物线的方程为V=3x

或尸=一3犬.

(2)设点P的坐标为(x,y),则V=4x，x>0,

|B4|2=(x-3)2+y2=?-6x+9+4.r=x2-2x+9=(x-l)2+8.

当x=l时，|明的最小值为2啦.

强化训练

一、单选题

1.双曲线—y2=8的渐近线方程是（)

A.y=±—xB.y=±2x

C.y-+\[2xD.y=±-^-x

2.抛物线V=2x的焦点到其准线的距离是（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知抛物线V=4x上一点〃到冗轴的距离是2,则点〃到焦点尸的距离为（）

A.V2B.2C.2&D.3

4.已知抛物线C：:/=趺的焦点为尸，点尸在抛物线上，俨口=6,则点P的横坐标为

()

A.6B.5C.4D.2

-）2

5.设6，K是双曲线?-看=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|尸制=5|尸闾，则

△「耳鸟的面积等于（）

A.24B.15夜C.126D.30

22

6.若方程上-+上=1表示的图形是双曲线，则机的取值范围是（）

m—5+4

A.7n>5B./n<-4C.机<-4或机>5D.-4<m<5

7.已知圆（X-1）2+/=4与抛物线x2=2py（p>0）的准线相切，贝ijP=（）

A.1B.2C.4D.8

8.已知抛物线丁=四，焦点的坐标为尸（0,1）,P为抛物线上的任意一点，8（2,2）,则

1「a+1尸”的最小值为（）

A.3B.4C.5D.—

2

22

9.已知双曲线C:0-方=1（"0力>0）的两个焦点分别为4（-C，。），玛（G0）,M是双曲线

2

C上一点，若叫M鸟=0,OMOF2=^C,则双曲线C的离心率为（）

A.GB.&+1C.五D.72+1

22

10.双曲线C:?-5=1,已知。是坐标原点，4是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线

2叵的交点，尸是双曲线C的右焦点，。是线段。尸的中点，若B是圆f+y2=l上的一点，

3

则△48。的面积的最大值为（）

A2应+&R2瓜+3„飞n6+1

233

二、填空题

11.已知双曲线CJJ=I（a>（U>0）过三点卜260）,（-2,2）,（4,-2）中的两点，则C的方

程为.

12.已知P为抛物线y2=4x上任意一点，F为抛物线的焦点，M（4,2）为平面内一定点，则

归产|+归河|的最小值为.

22

13.已知F为双曲线C：1•-齐=1（。>0,6>0）的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且

BF垂直于x轴，若AB的斜率为2,则C的离心率为.

14.已知抛物线。:丁=2*（0>0）的焦点尸到准线的距离为2,过点F的直线/与抛物线C交于

尸（％/）,。（七,丫2）两点，若%+%=4,则线段PQ的长度为.

三、解答题

15.己知抛物线（7:丁=2°；15>0）的焦点为尸，过点4（2,0）的直线/交C于M,N两点，当/与x

轴垂直时，|MN|=4.

（1）求（:的方程：

（2）在x轴上是否存在点P,使得/OPM=NOPN恒成立（O为坐标原点）？若存在求出坐标，

若不存在说明理由.

16.如图，直线/：y=x+机与抛物线C：x?=8y相切于点P.

y

⑴求实数”的值;

(2)求以点P为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

17.已知双曲线C:与产•=l(a>0,6>0)的一条渐近线方程为)1=2x,一个焦点到该渐近线的

a

距离为1.

(1)求C的方程；

(2)经过点”(1,4)的直线/交C于A8两点，且M为线段AB的中点，求/的方程.

22

18.已知双曲线C:「-与=1(。>0力>0)的离心率为两条准线间的距离为2夜.

ab

(1)求C的标准方程；

(2)斜率为k的直线/过点(1,0),且直线/与C的两支分别交于点A,B,

①求岫勺取值范围；

②若。是点B关于x轴的对称点，证明：直线AO过定点.

参考答案：

1.C

【解析】

【分析】

将双曲线化为标准方程，再根据渐近线的方程求解即可

【详解】

由题意，。一［=1的渐近线方程为丫=±辱=±缶

故选：c

2.A

【解析】

【分析】

求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得解；

【详解】

解：抛物线V=2x的焦点为F(g,O),准线方程为x=-；,

所以焦点到准线的距离d==l；

故选：A

3.B

【解析】

【分析】

有题意可知"(1,12),由焦点尸(L0)则可求出点M到焦点F的距离.

【详解】

M到x轴的距离是2,可得用(1,12),焦点尸(1,0)

则点M到焦点的距离为2.

故选:B.

4.C

【解析】

【分析】

根据抛物线的标准方程，确定准线方程，根据抛物线的定义计算可得；

【详解】

解：设点尸的横坐标为而，抛物线V=8x的准线方程为x=-2,

「点P在抛物线上，1比1=6,

:.x0+2=6,x0=4.

故选：C.

5.A

【解析】

【分析】

先利用题给条件及双曲线定义求得的三边长，进而求得△尸耳入的面积

【详解】

由31P周=5仍闾，可得|「用=：归身

丫2曾27

又P是是双曲线方玉=1上的一点，则网叫=才尸鸟|=4,

则|P周=6,|尸制=10,又比闾=8

则「+比周2=归耳「，则尸KJ.G6

则△尸耳鸟的面积等于g由/讣恒用=gx6x8=24

故选：A

6.D

【解析】

【分析】

由方程表示双曲线有（机-5）（"?+4）<0,即可求参数范围.

【详解】

由题设，（机-5）（"?+4）<0,可得-4<〃?<5.

故选：D

7.C

【解析】

【分析】

写出抛物线的准线方程，由圆的方程得圆心和半径，由己知得圆心到准线的距离为半径，从而

求出〃

【详解】

因为x2=2py,所以抛物线准线为），=-5

又（x—1丫+9=4,所以圆心坐标为（1,0）,半径为2

由已知得：圆心到准线的距离为半径，则与=2,所以。=4

故选：C.

8.A

【解析】

【分析】

先根据焦点坐标求出”?.结合抛物线的定义可求答案.

【详解】

因为抛物线/=小焦点的坐标为（0,1），所以£=1，解得，“=4.

记抛物线的准线为/，作7WJJ于N,作8AA/于人，则由抛物线的定义得

|PB|+|PF|=|尸B|+|PN|...|84|=3,当且仅当尸为84与抛物线的交点时，等号成立.

故选：A.

9.B

【解析】

【分析】

根据双曲线的定义及几何性质结合向量的数量积直接可得离心率.

【详解】

OMOF1耳=行）耳）=g',

则=202,

又因为岫•%=°，MFXLMF2,即|肛「+|"用'=船2,

所以|.|=6c,|摩卜c,

所以2a=|M用-|g|=gc—c,

则e=6+1,

故选：B.

10.4

【解析】

【分析】

根据是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点得到点4的坐标，再根据O是线段OF的中

点，得到D点的坐标，继而可以得到直线4。的方程，又由于点B是圆上的点，点8到直线AD距

离的最大值"max也就是圆心。到直线AD的距离d加上半径，即得解.

【详解】

根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为y=&x,尸（2石,0）

(1_组

因此点A的坐标是，点。是线段。尸的中点,

则直线40的方程为y=-2夜(x-6),

点8是圆f+丁=1上的一点,

点B到直线AD距离的最大值”2也就是圆心。到直线4。的距离”加上半径，即"+1,

”+1=网+1=半+1276+3

max

1+833

则s谢='石・2遥+3_2应+百

f\uu,।Imax232

故选:A

【解析】

【分析】

先确定卜2&,0),(4,-2)两点在双曲线上，代入双曲线方程中求得/，从，即可确定C的方程.

【详解】

根据双曲线cJJ=ig＞。")的对称性可知,

点(-20,0),(4,-2)在双曲线图像上，将其代入双曲线方程,

8

=1,

滔/=8,

所以解得，

164b2=4.

=1,

所以双曲线C：反-f=l,

84

故答案为：^-Z=i.

84

12.5

【解析】

【分析】

利用抛物线的定义，将|尸尸|转化为P到准线的距离，再由三点共线求最小值.

【详解】

由题意，抛物线的准线为x=-1,焦点坐标为尸(1,0),过点尸向准线作垂线，垂足为A,则

\PF\+\PM\^PA\+\PM\,

tv

当尸,M,A共线时，和最小：过点尸向准线作垂线，垂足为B,则

\PF\+\PM\=]PA\+\PM\>\MB\=5,所以最小值为5.

故答案为：5.

13.3

【解析】

【分析】

由双曲线的基本性质得4、8两点的坐标，利用斜率得关系式求解即可.

【详解】

/,2\

解:设双曲线焦距为2c,则尸(c,0),B\C,-,A(-a,0),因为48的斜率为2,所以

Ia7

3篇=2,整理得解得，=3。，所以占.

故答案为3

14.8

【解析】

【分析】

确定P=2,设直线方程并和抛物线方程联立，求得yj=-4,进而求出玉+々，根据抛物线

的弦长公式求得答案.

【详解】

由题意知P=2,故y2=4x,其焦点为(1,0),

设直线/的方程为》=。+1,(«#0),联立丁=4》，得:9_4收_4=0,

△=16(&2+1)>0，由于P&，X),。(孙为)，

则X+X=4氏,XY=-4,而乂+%=4,

支+迁=(%+%)2-2%必

故%十%WTO,

4444

故PQ的长为占+工2+。=6+2=8,

故答案为：8

15.(1)/=2x

(2)存在，(-2.0)

【解析】

【分析】

(1)易知|MN|=4)=4,求出。即可；

(2)设「［，()),知(与,凶)，%(乙,以)，由题可知直线/斜率不为零,

设/:x=^y+2,代入抛物线方程＞2=2x消去x,得/_2叼-4=0,

曲/0凹0=/。「'可得%m+&柳=0,利用斜率公式，根与系数的关系求解即可

(1)

当/与x轴垂直时，由题意易得|阴7|=4万，

从而4。=4,解得p=l,

所以C的方程为V=2x：

⑵

设P(x0,0),N(%,%)，由题可知直线/斜率不为零，

设/:x=my+2,代入抛物线方程y2=2x消去x,y2-2my-4=(),

从而X+%=21n，*为=Y，①

由/OPM=NOPN可得kMP+kNP=0

x,-x0x2-x0my[+2-x0my2+2—/

=2，助％+(2-4)。+%)

(孙+2-%)(切2+2-%)

--4m-2mxe八

将①代入上式，得7——o—W-O—；=0恒成立,

(my+2-x0)(my2+2-x0)

所以方=-2,

因此存在点P,且满足题意，P点坐标为(-2,0).

16.(1)"7=-2

(2)(iy+(y-2)2=16

【解析】

【分析】

(1)联立方程，利用判别式为零可求结果：

(2)先求点尸的坐标，再求圆的半径，根据圆心和半径写出圆的方程.

(1)

直线/：>=犬+"与抛物线C：V=8y相切于点P.

[y=x+m,

则2o，得X2-8X-8〃，=0，(*)

[厂=8)，

因为直线，与抛物线C相切，所以AE-gy-4x(-8〃?)=。，解得帆=-2.

(2)

由(1)可知机=-2,故方程(*)即为产-8》+16=0，解得X=4,

代入f=8y,得y=2.

故点P(4,2),

因为圆尸与抛物线C的准线相切，所以P的半径/等于圆心P到抛物线的准线y=-2的距离，

即/•=|2_(-2)|=4,

所以圆尸的方程为(x-4y+(y-2)2=16.

17.(l)^--x2=l

(2)y=X+3

【解析】

【分析】

(1)根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到：=2,再由点到线的距离公式求出C,最后

b

根据，2=/+从计算可得；

(2)设A(x「yJ,B(w，%),直线/的斜率为3利用点差法计算可得;

(1)

解：双曲线C：W-==l(“>0力>0)的渐近线为y=±。，即6土勿=0,

a2b-b

所以f=2,

b