2023年新高考全国Ⅱ卷数学

2023年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国n卷）

数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.在复平面内，（1+九）GT对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为（l+3i）（3—i）=3+8i—3i?=6+8i,

则所求复数对应的点为（6,8）,位于第一象限.

故选：A.

2.设集合A={0,—。},B={l,a-2,2a-2],若贝ij〃=（）.

A.2B.1C.-D.-1

3

【答案】B

【解析】

【分析】根据包含关系分a-2=0和2a-2=0两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为则有：

若a—2=0,解得a=2,此时A={0,—2},3={1,0,2},不符合题意；

若2a—2=0,解得a=l,此时A={0,—1},B={l,-l,0},符合题意；

综上所述：a=\.

故选：B

3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高

中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有

（）.

2040

A.C%C之种DB.JC400-JC200T种T

4020种

c种D。C400-=C2004甲

【答案】D

【解析】

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60x——=40人，高中部共抽取60x——=20,

600600

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有c%c鼠种.

故选：D.

2r-l

4若/(X)=(x+a)ln2,十]为偶函数,则。=().

A.-1B.OC.1D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出。值，再检验即可.

【详解】因为/&)为偶函数,则/(I)=/(-I)，(l+a)ln|=(-l+a)ln3,解得a=0,

当a=0时，f(x)=xln^^-,(2x-l)(2x+l)>0,解得尤>；或》<—!，

2x+122

则其定义域为或X<-关于原点对称.

/(-x)=(—x)ln|^*=(一==/(x),

故此时了(%)为偶函数.

故选：B.

5.已知椭圆C:[■+/=1的左、右焦点分别为《，工，直线y=与C交于A,2两点，若△EA3

面积是△643面积的2倍，则机=().

A20后二

3333

【答案】C

【解析】

【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用△>€),求出加范围，再根据三角形面积比得到关于加的方

程，解出即可.

y=x+m

【详解】将直线与椭圆联立《x2，消去,可得4工2+6mx+3＞一3=0,

—+y9=1

13,

因为直线与椭圆相交于A3点，则A=36，/—4x4(3■—3)>0,解得—2<加<2,

设F]到AB的距离4,F2到AB距离d],易知片(-72,0),F,(A/2,0),

I|-V2+m|\^2+m\

则飘=^~

I-\/2+m|_

SA/2_I_A/2+I_々刀4曰亚—crr+、

F{AB_o

T=—F=解得加=-----或一（舍去）,

~S=2,3^/2

F2AB\y/2+m\IV2+m|3

6.已知函数/(x)=ae，—Inx在区间(1,2)上单调递增，则°的最小值为(）.

A./B.eC.e-1D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据/■'(%)=ae'-工20(1,2)上恒成立，再根据分参求最值即可求出.

【详解】依题可知，/'(x)=ae£—工之0在(1,2)上恒成立，显然a>0,所以xe'2L

XCl

设g(x)=*,xe(l,2),所以g[x)=(x+l)e，>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增，

g(x)>g(l)=e,故即a2，=eT,即a的最小值为e^.

ae

故选：c.

7.己知a为锐角，cosa=55,则sin^=().

42

.3—y/5„—1+y/5„3—y/5c—1+y/5

--------D.---------c.--------u.---------

8844

【答案】D

【解析】

【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出.

【详解】因为cosa=l_2sin24=2史，而a为锐角，

24

8.记S“为等比数列｛4｝的前〃项和，若“=—5,七=21邑，则项=（）.

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：根据等比数列的前〃项和公式求出公比，再根据$4,凡的关系即可解出;

方法二：根据等比数列的前〃项和的性质求解.

【详解】方法一：设等比数列｛4｝的公比为4,首项为4,

若q=l,则"=6%=3x2%=3s2,与题意不符，所以qwl；

由$4=-5,$6=2152可得，业9=—5,"1—力=2/4（J"①,

］一,］—qq

由①可得，1+/+/=21,解得:/=4,

所以$8=%,—4）=♦）x（］+q4）=_5><a+16）=_85.

故选：c.

方法二：设等比数列｛%｝的公比为4,

因为§4=一5,S6=21S2,所以qw-1,否则$4=0,

从而，S?,S4—S2,S6—,Sg—£成等比数列,

95

所以有，(―5—S2y=S?(2电+5),解得：s?=-1或S2=「

当邑=—1时，S2,S4—S2,S6—S4,Ss—S6,即为—1,—4,—16,工+21,

易知，Ss+21——64,HPSs——85；

当S?=：时，=6+W+/+。4=(。1+引(1+/)=(1+/)S2>0，

与〃=-5矛盾，舍去.

故选：C.

【点睛】本题主要考查等比数列的前“项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握反,国的关

系，从而减少相关量的求解，简化运算.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,A8为底面直径，ZAPB=120°,K4=2,点C在底面圆周上，

且二面角P—AC—O为45。，贝U().

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为4

C.AC=242D.△P4C的面积为若

【答案】AC

【解析】

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.

【详解】依题意，ZAPB=120°,PA=2,所以OP=LQA=O3=JL

A选项，圆锥的体积为gxjix(石)xl=7i,A选项正确；

B选项，圆锥的侧面积为兀xgx2=28兀，B选项错误；

C选项，设。是AC的中点，连接。。,尸£),

则AC±OD,AC±PD,所以ZPDO是二面角P—AC—O的平面角，

则NPDO=45°,所以OP=OD=1,

故AD=CD=y/^l=立,则AC=20，C选项正确；

D选项，PD=&2+]2=也,所以SPA。=5乂2,2、J2=2,D选项错误.

故选：AC.

p

10.设O为坐标原点，直线y=—1）过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点，且与C交于N两点,

/为C的准线，则（）.

Q

A.p=2B.\MN\^-

C.以MN为直径的圆与/相切D.OMV为等腰三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】先求得焦点坐标，从而求得0,根据弦长公式求得|用附，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答

案.

【详解】A选项：直线y=—1）过点（1,0）,所以抛物线C:y2=2pM〃>0）的焦点厂（1,0）,

所以_|=l,p=2,2p=4,则A选项正确，且抛物线C的方程为V=4%.

B选项：设

由卜2=_6（xT）消去y并化简得31—10%+3=（%—3）（3》—1）=0,

y=4x

iiizr

解得Xj=3,,所以/V|=再+%+P=3+§+2=,B选项错误.

C选项：设MN的中点为A,〃,N,A到直线/的距离分别为4，4,d,

因为d=g（4+&）=g（|MF|+|N可）=g|MN|,

即A到直线/的距离等于MN的一半，所以以为直径的圆与直线/相切，C选项正确.

D选项：直线y=—6（x—1）,即氐+y-石=0,

。到直线收x+y-6=0的距离为d=3，

所以三角形OMN的面积为工x3x，3=述,

2323

由上述分析可知y=—G(3-1)=-2下),%=-下)

所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误.

故选：AC.

11.若函数/(x)=Mnx+2+4(awO)既有极大值也有极小值，贝U().

XX

A.bc>0B.ab>0C.b1+8tzc>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函数,⑴的导数f(x),由已知可得/(X)在(0,+8)上有两个变号零点，转化为一元二次方

程有两个不等的正根判断作答.

【详解】函数/(x)=alnx+9+1的定义域为(0,+s),求导得r(x)=3-4=以——J—2c,

XXXXXX

因为函数人幻既有极大值也有极小值，则函数/'⑴在(0,+8)上有两个变号零点，而。。0,

因此方程ox?—打―2o=0有两个不等的正根玉,42,

A=/+Sac>0

b

于是《%+/=一>。即有/+8ac>0，ab>0,ac<0,显然"bcvo，即bc<0,A错误，BCD

a

2c

=----->0

a

正确.

故选：BCD

12.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为。(0＜。＜1),收到0的概

率为1—夕；发送1时，收到0的概率为分(0＜/?＜1),收到1的概率为l-/.考虑两种传输方案：单次传

输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需

要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即

为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1).

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-0(1-/)2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为，(1-")2

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为，(1-/)2+(1-尸)3

D.当0＜夕＜0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概

率

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求

出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.

【详解】对于A,依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送。接收0、发送1

接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1—")(1—a)(l—")=(1—。)(1—")2,A正确；

对于B,三次传输，发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到1,0,1的事件，

是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1—£＞0(1—£)=以1—0。B正确;

对于C,三次传输，发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件

和,

它们互斥，由选项B知,所以所求的概率为C»(l—/)2+(1—/)3=(1—/)2(1+2，)，C错误；

对于D,由选项C知，三次传输，发送0,则译码为0的概率P=(l—a)2(l+2a),

单次传输发送0,则译码为0的概率尸'=1—1，而0<夕<0.5,

因止匕P—P=(l—a)2(l+2a)—(1—a)=a(l—a)(l—2a)>0,即户，D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，

相互独立事件的积是解题的关键.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a,方满足"一同=若，卜+方卜忸一网,则忖=.

【答案】目

【解析】

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令:=5_),结合数量积的运算

律运算求解.

【详解】法一：因为卜+川=|2。—可，即=(2a—q，

r?rrr?r?rrr?.

则a+2a・b+b=4a—4a・b+bf整理得。9-2a-b=09

又因为卜一W二G,即(〃一b)=3,

^a-2a-b+b2=b=3>所以小技

L1|1|rrrrrrrr

法二：设°=三一/?,则H=+6=c+2b,2a—Z?=2c+Z?,

r\2/r「r?rrr?

由题思可得：(c+2Z?)=(2c+b),则0+4c-Z?+4Z?=4c+4c・Z?+b'

整理得：皆=:2,即I=,=G.

故答案为：拒.

14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥，所

得棱台的体积为.

【答案】28

【解析】

【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体

的体积公式直接运算求解.

21

【详解】方法一：由于一=—,而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

42

所以正四棱锥的体积为:x（4x4）x6=32,

截去的正四棱锥的体积为|x（2x2）x3=4,

所以棱台的体积为32—4=28.

方法二：棱台的体积为gx3x（16+4+J16x4）=28.

故答案为：28.

8

15.已知直线/：%—冲+1=0与cC：（x—1）9一+/=4交于A,B两点,写出满足“ABC面积为的优

的一个值______.

【答案】2（2,-2-,—工中任意一个皆可以）

22

【解析】

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长仙可，以及点C到直线A3的距离，结合面积公式即可解出.

【详解】设点C到直线的距离为d,由弦长公式得<耳=2"—『，

所以％ABc='dx2j4—蕾=§,解得：仁店或d二正,

2555

11+11224出22出1

由d=—=I,所以一=----或/==-----,解得：加=±2或加=±彳.

vl+m2Vl+m211+m25<1+府52

故答案为：2（2,—2,工,—工中任意一个皆可以）.

22

1JT

16.已知函数/(£)=sin®x+o),如图A,2是直线y=—与曲线y=/(x)的两个交点，若悄用=—,

则/（兀）=

【解析】

【分析】设A［XI，5；B［X2,5兀12兀

,依题可得，%2-%1=-,结合sinx=5的解可得，®(x2-X］)=—

从而得到①的值，再根据兀)=0以及/(。)<0,即可得/(x)=sin\x—1兀)，进而求得/(兀).

［详解］设人人,/),"々,/)，由|AB|=£■可得%2_玉=~，

I兀3兀

由sinl=—可知，%=—+24兀或％=---\-2kn,keZ,由图可知，

266

CDX?~\~（p-（①玉+夕）=%兀———j即69（九2一%）=§，'.,.69—4.

.r8兀）八8兀8

因为了sm§+9=0,所以《-+/=%兀，即0=一］■兀+左兀keZ.

4x--Ti+kn]=sm\4x--2Ti+kTi\,

所以/（x）=sin

3JI3J

所以/（x）=sin卜》_：2兀［或〃x）=—sin卜x—gj,

3

又因为/（0）<0,所以/（x）=sin|4x—!■",/（兀）=sin,兀—2_A/3

—71=

3一2

故答案为一手

【点睛】本题主要考查根据图象求出①以及函数/(x)的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质,

以及特殊角的三角函数值是解题关键.

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知的面积为石，D为中点，且AD=L

兀

(1)右ZADC=—,求tanB；

3

(2)若》2+02=8,求瓦C.

【答案】(1)走；

5

(2)b=c=2.

【解析】

【分析】(1)方法1,利用三角形面积公式求出。，再利用余弦定理求解作答；方法2,利用三角形面积公

式求出。，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.

(2)方法1,利用余弦定理求出“，再利用三角形面积公式求出NAOC即可求解作答；方法2,利用向量

运算律建立关系求出a,再利用三角形面积公式求出ZAOC即可求解作答.

【小问1详解】

JT

方法1：在A5C中，因为。为中点，ZADC=-,AD=1,

3

则S=-AD-DCsinZADC=2a，SJ,解得a=4,

ADnCc2222旦8旦22

2兀

在△A3。中，ZADB=—,由余弦定理得°?uEy+AoZ—ZBDAOcosNADB，

,1厂7+4-15J7

即02=4+i—2x2xlx(——)=7,解得c=V7,则cosB=*

2277x214

sinB=A/1-COS2B=l-(^-)2=叵，

V1414

sin5^3

所以tanB=

cosB5

TT

方法2：在」45c中，因为。为5。中点，ZADC=~,AD=1,

3

]

则sAnr=~AD-DCsinZADC=-xlx-ax^-=—a=-S,„r=—>解得a=4,

ABC2222822

在，ACD中，由余弦定理得b2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADB，

即廿=4+1—2x2xlx；=3,解得5=6,有AC2+A£)2=4=。2,则/CW,,

C=~,过A作于E，于是CE=ACcosC=』,AE=ACsinC=走，BE=^,

6222

AE

所以tanB=

BE~5

【小问2详解】

1,1

=—a+l-2x2〃xlxcos(兀一/ADC)

方法1：在△•£）与AGO中,由余弦定理得<

11

b2=—a9+l-2x—4/xlxcosZADC

42

整理得ga2+2=b2+c2,而b2+c2=8,贝I]q=26，

又S=Lx6xlxsinNADC=走，解得sin/ADC=l,而°<NADC<7i，于是NA℃=百，

ADC222

所以z?=c==2•

方法2：在ABC中，因为。为BC中点，则2AD=AB+AC，又CB=A3—AC，

于是4AD2+CB2=(AB+AC)2+(AB—AC)?=2(/+C2)=16,即4+储=16,解得a=2退,

乂SAM=1x6xlxsinNADC=走，解得sinNADC=1,而°<NADC<7i，于是NAOC='，

ADC222

所以/,=<=Ja/y+ap=2.

r「a,,-6,九为奇数r、，、

18.｛4｝为等差数列，"=/4佃册，记S〃，7,分别为数列｛4｝,也｝的前w项和，邑=32,

[2%,"为偶数

（1）求｛%｝的通项公式;

（2）证明：当〃>5时，Tn>Sn.

【答案】（1）4=2〃+3；

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）设等差数列｛4｝的公差为d,用表示S“及7“，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的结论求出，bn,再分奇偶结合分组求和法求出T“，并与S”作差比较作答；方

法2,利用（1）的结论求出S”，bn,再分奇偶借助等差数列前〃项和公式求出7,，并与5”作差比较作答.

【小问1详解】

,、一6,n=2k—1

设等差数列｛4｝的公差为d,而；，左eN*,

则=4—6,b2=2a2=2q+2d,&=q—6=%+2d_6,

S=4a+6d=32

于4,解得。[=5,d=2,%=q+(〃—l)d=2〃+3,

4=4q+4d—12=16

所以数列｛«„｝的通项公式是a“=2〃+3.

【小问2详解】

、、上,/、心C〃(5+2〃+3)2472n—3,n=2k-l

万法1：由(1)知，S=--------------=n2+34n,b=<kN*,

nn4〃+6,〃=2左

当〃为偶数时，2T+bn=2(〃—1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6n+l)〃327

-------L—=—n+—n,

n2222

371

2

当〃>5时，Tn-Sn=(-+-n)-(H+4n)=-n(«-1)>0,因此工,〉色,

3735

22

当“为奇数时，7；,=7；+1-^+1=-(M+l)+-(H+l)-[4(H+l)+6]=-n+-zi-5,

351

22

当〃>5时，7；,-5„=(-zi+-7i-5)-(n+4/z)=-(«+2)(H-5)>0,因此

所以当〃〉5时，Tn>Sn.

、、上।jc〃(5+2〃+3)2472n-3,n=2k-1

万法2：由(1)知，S=--------------=2+4n,b“=<kN*,

nn4〃+6,〃=2左

当〃为偶数时,

-1+2(〃-1)-3n14+4〃+6〃327

北=(。+。+…+2_])+(。+〃+・+〃)--------------------+----------------=—n+—n,

222222

371

当〃>5时，7；-=(-n2+-n)-(n2+4n)=-n[n-1)>0,因止匕《〉5”,

当〃为奇数时，若〃之3,则

—1+2〃—3n+114+4(>—1)+6n—1

1=(4+4+,•+2)+电+“+•+2_1)=

22-22

3535

=-rr+-n-5,显然=-1满足上式，因此当九为奇数时，^=-^+-71-5,

2222

3S1

当〃>5时，7；-S„=(-H2+-n-5)-(n2+4n)=-(H+2)(H-5)>0,因此

所以当〃>5时，T”>S”.

19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得

到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

■，，.二•c^^

x

0.040...........................^u8

ao6

0.036...........................o4

0034...........................o.

0.012...................

0.010

0.002—T---指标0.002

<^95100105110115120125130O

她加N去..也俄K

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值C,将该指标大于C的人判定为阳性，小于或等于C的人判

定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为2(C)；误诊率是将未患病者判定为阳

性的概率，记为冢C).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率〃(c)=0.5%时，求临界值C和误诊率q(c)；

(2)设函数/(c)=Mc)+q(c),当ce［95,105］时，求/(c)的解析式,并求/(c)在区间［95,105］的最

小值.

【答案】(1)c=97.5,

-0.008c+0.82,95<c<100

⑵/(c)=,最小值为0.02.

0.01c-0.98,100<c<105

【解析】

【分析】(1)根据题意由第一个图可先求出C,再根据第二个图求出97.5的矩形面积即可解出；

(2)根据题意确定分段点100,即可得出/'(c)的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出.

【小问1详解】

依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c—95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01x(97.5—95)+5x0.002=0.035=3.5%.

【小问2详解】

当ce［95,100］时，

/(c)=Me)+q(c)=(c-95)x0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0.82>0,02；

当ce(100,105］时，

/(c)=Me)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0,02,

-0.008c+0.82,95<c<100

故/(c)=<,

［0.01c-0.98,100<c<105

所以〃c)在区间［95,105］的最小值为0.02.

20.如图，三棱锥A—BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB=ZADC=60，E为BC的中点.

(2)点尸满足"=ZM，求二面角O—AB—F的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵色

3

【解析】

【分析】(1)根据题意易证3cl平面ADE,从而证得BCLZM；

(2)由题可证平面BCD,所以以点E为原点，ED,EB,E4所在直线分别为苍％z轴，建立空间直

角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出.

【小问1详解】

连接因为E为BC中点，DB=DC,所以。5c①,

因为ZMuDBuDC,ZADB^ZADC=60，所以八AC。与△A3。均为等边三角形,

:.AC=AB,从而AELBC②，由①②，AEDE=E,AE,DEu平面ADE，

所以，3cl平面ADE,而ADu平面ADE，所以5CLZM.

【小问2详解】

不妨设加=。5=。。=2,BD±CD,:.BC=2y/2,DE^AE=y/2.

.•.4石2+。£2=4=32,...至，。石，又|AE_L3C,DEBC=E,£>E,5Cu平面5C。AE_L

平面5co.

以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为苍yz轴，建立空间直角坐标系，如图所示:

设D(A/2,0,0),A(0,0,JI),3(0,A/2,0),E(0,0,0),

设平面ZMB与平面AB厂的一个法向量分别为%=(%,%=(々,％★2),

二面角D-AB-F平面角为a而=(0,、历,-虚卜

因为石尸=ZM=(-72,0,72),所以歹(—0,0,0),即有AF=(—0,0,01

.•欣一届=。’取2'所以

应为-Viz,=0

丁■，取y,=1,所以巧=(0,1,1),

-信=0

所以，|cose|=~i=—产=――，从而sin0—

V3xV23

所以二面角O—A5—F的正弦值为且

3

21.己知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2逐,0),离心率为逐.

(1)求C的方程;

(2)记C的左、右顶点分别为4，4,过点(T,o)的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二象限,

直线与N&交于点P.证明:点P在定直线上.

22

【答案】(1)土-匕=1

416

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)由题意求得的值即可确定双曲线方程;

(2)设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线血4与N4的方程，联立直线方程,

九+21

消去y,结合韦达定理计算可得——=-一，即交点的横坐标为定值，据此可证得点尸在定直线％=-1上.

x-23

【小问1详解】

设双曲线方程为三-1=l(a>0,b>0),由焦点坐标可知c=2百,

则由e=£=J^可得。=2,b=\lc2-a2=4，

a

22

双曲线方程为土—L=l.

416

【小问2详解】

由⑴可得A(-2,0),4(2,0),设%),'(%,%)，

显然直线的斜率不为0,所以设直线的方程为了=阳-4,月,<口<工，

22

22

与？啧=1联立可得(4病-1)/-32my+48=0,且△=64(4疗+3)〉0,

直线”4的方程为1也（x+2）,直线N4的方程为

%2-2

联立直线MA与直线N4的方程可得:

%+2=%a+2）=%。孙-2）=冲1%-2（%+%）+2%

x—2%（々-2）乂（7盯2—6）myly2-6y1

48-32m.-16m.

m-——5------2-------——+2y—5—+2/

4疗一]47n2—14帆2]1

48~48m,3

mx——------6y…—6%

4m2-1%

龙+2I

由----=---可得％=—1,即Xp=-1,

x—23

据此可得点P在定直线x=-1上运动.

【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力,

其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.

22.（1）证明：当0<x<l时，x—x2<sinx<x\

⑵已知函数〃x）=c