2023年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（含答案）

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学

一、选择题

L设集合A={R尤=3Z+1,AeZ},8={x∣x=3人+2,左∈Z},U为整数集，⅛(^Uδ)=(

A.(x∖x-3k,k≡Z}B.{Λ∣x=3k-l,kwZ}

C.{J<∖x=3k-2,k.eZ}D.0

2.若复数（。+。（1一曲）=2,。£区，则α=（）

3.执行下面的程序框遇，输出的3=（）

（开始）

n=∖,A=],B=2

工是

A=A+B

B=A+B

n=n+↑

/输出〃

Iʌ

（结束）

4.向置44∙=l,∣c∣=\/2,且a+》+。=。，则CoS〈a-c,。一c〉=()

5.已知正项等比数歹∣J｛〃〃｝中，M=LS为｛〃〃｝前〃项和，55=553-4,则S4=（）

6.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球

俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）

A.0.8B.O.4C.0.2D.0.1

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7.“sin2α+si∏2华1”是“sina+cos任0”的()

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

其中一条渐近线与圆（22=交于

8.已知双曲线frImo,h0）的离心率为7,x—+—4,

A庐=>>J52）（y3）1

8两点，则IA3∣=（）

A1B.ʃC.孳D,”

9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连

续参加两天服务的选择种数为（）

A.120B.60C.40D.30

10.已知/（X）为函数y=cos∣2x+6I向左平移6个单位所得函数，则y=∕（χ）与y=2%-2的交点个

数为（）

A.1B.2C.3D.4

11.在四棱锥PTIBCo中，底面ABC。为正方形，AB=4,PC=PO=3,NPCA=45。，则4PBC的面

积为（）

A.B.3√2C.4、伤D.5d

2v,2

22_3

己知椭圆X+yF,F为两个焦点,。为原点，为椭圆上一点，cosZFPF

12.P=则IPoI=

I12I

9625

)

2∙37

A.c.2D.左

552

二、填空题

(∖

13.若y=(x-l>+αx+sin'x+π'为偶函数，则α=

[2J------------

-2x+3y≤3

14.设X,y满足约束条件■3x-2y≤3,设z=3x+2y,则Z的最大值为

χ+y≥1

15.在正方体ABa）—A∣8G。中，E,F分别为CD,AbBl的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条

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棱的交点总数为.

16.在AABC中，AB=2,ABAC=60o,BC=√6.。为BC上一点，AO为NBAC的平分线，则

AD=.

三、解答题

17.已知数列｛〃”｝中，。2=1,设S为｛呢｝前"项和，2S“=na”.

（1）求｛&｝的通项公式；

（2）求数列J""+"'的前〃项和7.

IIn

1J

18.在三棱柱ABC-A8G中，AAi=2,ACj_底面ABC,NACB=90。，Al到平面BCGBI的距离为L

Bl

（1）求证：AC=AiC；

（2）若直线AA与BBl距离为2,求ABl与平面BCG瓦所成角的正弦值.

19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组

（加药物）.

（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X,求X的分布列和数学期望；

（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）

对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2x2列联表：

<m≥m

对照组

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实验组

(ii)根据2x2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作

用.参考数据：

0.100.050.010

pg≥k)2.7063.8416.635

20.已知直线％-2)，+1=0与抛物线(：：V=2庶(0>0)交于4,3两点，且IABI=4｛话.

(1)求P；

(2)设C的焦点为F,M,N为C上两点，MF∙NF=0,求面积的最小值.

21.已知/(X)=依-Sin/(

cos：eu,2

(1)若a=8,讨论/(χ)的单调性；

(2)若/(x)<sin2尤恒成立，求。的取值范围.

四、选做题

IX=2+/cosa

22.己知P(2,l),直线/：〈,.C为参数)，α为/的倾斜角，/与X轴，y轴正半轴交于A,B两

[y=l+rsιnα

点，IPAI∙∣P8∣=4.

(1)求α的值；

(2)以原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求/的极坐标方程.

23.已知f(x)=2∖c-a∖-a,a>0.

(1)求不等式/(x)<x的解集；

(2)若曲线y=∕(x)与坐标轴所围成的图形的面积为2,求0.

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2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)

理科数学

一、选择题

L设集合A={Rx=3A+l,Z∈Z},8={XlX=3A+2,A∈Z},U为整数集，⅝(^UB)=()

A.{x∣x=3Z,Z∈Z}B.[x∖X=3k-l,keZ}

C.x=3k-2,keZ}D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出.

【详解】因为整数集Z={x|x=3Z,ZeZ}U{x|x=3A:+l,左∈Z}U{x∣x=3Z+2,keZ},U=Z,所

以，⅝(AU3)={x∣x=3女,Z∈Z}.

故选：A.

2.若复数(4+i)(l-αi)=2,αeR,则α=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.

【详解】因为(α+i)(l-0i)=α—α勺+i+α=2。+(1-ɑɔi=2,

f2α=2

所以彳，，八，解得：a=↑.

[l-a^=0

故选：C.

3.执行下面的程序框遇，输出的B=()

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（开始）

w=l,∕4=l,5=2

A=A+B

B=A+B

（

-----n=n+}

/输出〃

（3E）

A.21B.34C.55D.89

【答案】B

【解析】

【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出.

【详解】当〃=1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，A=l+2=3,8=3+2=5,〃=1+1=2；

当"=2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A=3+5=8,8=8+5=13,«=2+1=3；

当〃=3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A=8+13=21,3=21+13=34,〃=3+1=4；

当〃=4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出B=34.

故选：B.

_一____

4.向≡j4=|∕τ∣=l,∣c∣=J2,且a+〃+c=O，则COS〈a=（）

224

A__1B.——C._D.一

5555

【答案】D

【解析】

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为--,所以「r,

6z+⅛+c=0a+b=-C

即-22--2,即r,所以一.

Cl+b+2a∙b=c1+1+2。∙A=2a∙b=0

如图,设QA=a,03=力,OC=2,

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C

由题知,Q4=08=∖,0C=v2,∆0ΛB是等腰直角三角形,

AB边上的高Oo=WLA。=显，

22

所以Co=CO+oo=√∑+贝

22

AD1..〃八ɔ

tanZACD=___=,cosZACD=

CD3√Tθ

cos｛d-c,b-c)-cosZACB=cosIZACD-2cos2ZACD-I

故选:D.

5.已知正项等比数列｛呢｝中，αι=l,S,为｛m｝前〃项和，S5=5S∙3-4,贝∣JS4=()

A7B.9C.15D.30

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意列出关于9的方程,计算出名即可求出54.

【详解】由题知l+q+q2+q3+q4=5（^+q+c^^.4,

即qi+q4=4q+4/,即q3+q2-4q-4=O,即（夕-2）（、+l）（q+2）=O.

由题知4>0,所以4=2.

所以S4=1+2+4+8=15.

故选:C.

6.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球

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俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

【答案】A

【解析】

【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件概

率的知识求解.

【详解】报名两个俱乐部的人数为50+60-70ɪ40,

记“某人报足球俱乐部”为事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B,

,505404

则P(A~)=_=_,P(AB)=_=_,

707707

4

所以P(BlA)=PS®=L=0.8.

P(A)5

7

故选:A.

7.“522+0也2代1”是“5吊£+85隹0”的()

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.

TT

【详解】当sii?。+sin2住1时，例如gQo但SinCIH∙cos∕⅛0,

2

即sin2α+sin2β=1推不出Sina+cosβ=0；

当Sin跺COSP=O时，sin2o÷sin2β=(-cos+sin2∕⅛=1,

即sinα+COSβ=0能推出sin2α+sin2β=1.

综上可知，sin2α+sin2β=1是Sina+cosβ=0成立的必要不充分条件.

故选：B

8,已知双曲线工_丈=1("0力＞0)的离心率为石，其中一条渐近线与圆(X—2；+([3；=不于4

B两点,贝IllABl=()

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A.1B.2C.学D.竽

【答案】D

【解析】

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

7c2a2+b2,,b1S

【详解】由e=J5,则r=—―=1+—=5,

a2Ora

解得*=2,

所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x,

∣2×2-3∣5

则圆心(2,3)到渐近线的距离d=,=≤±

√277Γ5

所以弦长IABI=2√r2-J2=2

故选：D

9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有I人连

续参加两天服务的选择种数为()

A.120B.60C.40D.30

【答案】B

【解析】

【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.

【详解】不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e,

假设。连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A>12

种方法，

同理："C,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，

所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5x12=60种.

故选：B.

10.已知f(χ)为函数y=cosf2x+向左平移π个单位所得函数，则y=/(*)与y=18—1的交点个

<τ622

数为()

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A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】先利用三角函数平移的性质求得/(x)=-sin2x,再作出/(χ)与y=lχ-1的部分大致图像,

22

二的大小关系，从而精确图像，由此得解.

考虑特殊点处/(X)与y三IXɪ

,22

吟TT

【详解】因为y=co12x+向左平移个单位所得函数为

「'兀、π]

y=

COSI2Ix+气I=COjl2x+I=-sinIx,所以/(X)=-sinIx,

LI1

而y=，x—』显然过「0,成In与(1,0)两点,

作出/(X)与y三IX=I的部分大致图像如下,

3π3兀,X三7π处/(X)与」Lv-1的大小关系,

,x三

22244422

兀、

=-加时，C3π1./3兀、1/313π+41

当Xf—=—sin—=-1,y=×--=-<-1；

422428

3π.J.3⅛ιJ13π1×3πʌ4

当X=4时，=-Sin2I，y=2泡2=8<1I；

7π,.7兀17兀17兀-41

当X=4时，二-sin2=1，y=2M-1=8>1；

所以由图可知，/(X)与y三1九二I的交点个数为3.

22

故选：C.

11.在四棱锥PTlBCZ)中，底面ABCo为正方形，AB=4,PC=PD=3,NPCA=45°,则APBC的面

积为()

A.2√2B.ɜjɪC.4\5D.5√2

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【答案】C

【解析】

【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得APoo=APC。，APDB*PCA,从而彳尊IJPA=PB,

再在△/¾C中利用余弦定理求得PA=Jvi,从而求得PB=J万，由此在APBC中利用余弦定理与三角形

面积公式即可得解；

法二：先在4P4C中利用余弦定理求得PA=FoSNPCB=ɪ,从而求得PA-PC=-3，再利用空

间向量的数量积运算与余弦定理得到关于PB,NBPD的方程组，从而求得PB=JU由此在APBC中利用余

弦定理与三角形面积公式即可得解.

【详解】法一：

连结AC,8。交于0,连结PO,则。为AC,B。的中点，如图，

因为底面ABCD为正方形，45=4,所以AC=8。=G，则DO=CO=X∙'2，

又PC=PD=3,PO=OP,所以APD0三APC0,则NPQ0=NPC0,

又PC=PD=3,ACBD4/2，所以APOBHAPCA,则PA=PB,

在4R4C中，PC=3,AC=4j?NPC4=45。，

则由余弦定理可得PA2ɪAC2+PC2-2AC-PCcosZPCAɪ32+9-2×43×3x土=17,

2

故PA=JT7,则P8=√T7,

故在APBC中，PC=3,PBjf7BC=4，

所以c。SNPCB=〜七丝1="H=1，

IPCBC2×3×43

又0<∕PCB<π,所以SinZPCB=√l-cos2ZPCB=ʌ-,

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I1ɔδ"

所以APBC的面积为S=-PC∙BCSinNPCB=_x3x4x_^=4、，.

223

法二：

连结AC,8。交于O,连结PO,则。为AC,BO的中点，如图，

因为底面ABef）为正方形，AB=4,所以AC=Bo=42，

在aPAC中，PC=3,NPG4=45°,

则由余弦定理可得242=4。2+尸。2一24。・「。（305/2。4=32+9-2*4273乂正=17，故

2

PA=UT7，

一，PA1+PC2-AC217+9-32

所以cosZAPC=---------------------

2PAPC2×xjf7×317

PA-^PC=∣Λ4∣jpCFOSZAPC=Ia3χ∣-g（ʃ-3

不妨记PB=m,ZBPD=θ,

.ɪ--..ɪ..，.2..2

因为Po=3（PA+PC）=］（PB+P0）,所以（PA+PC）=（PB+PD）,

即PA+PC+IPAPC=PB+PD+2PB-PD'

则17+9+2X（-3）=m2+9+2×3×mcosθ,整理得nr+6mCoSe-Il=O①,

又在APBO中，BD?=PB;PD?-2PBpDCOSNBPD，即32=加?+9—6mcos。，则

m2-6mcos23=0②，

两式相加得2，层-34=0，故PB=tn=E，

故在APBC中，PC=3,PB^V7^,BC=4,

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所以c。SNPCB=PC一P4=9+1677=1

IPC-BC2×3x43

_________95"

又0<ZPCB<π,所以SinNPcB=√l-cos2ZPCB=-

3

119fΓ

所以^PBC的面积为S=-PCBCSinZPCB=-×3×4×_2_=4,2

223

故选：C.

27

己知椭圆厂+y3

12.尸，尸为两个焦点，0为原点，尸为椭圆上一点，cosZFPF=',则IPoI=

I2

965

()

2B.a3

A.C._DÆ

525'F

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点尸的坐标，从而得HlOP的

值;

方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出甲J产，再结合中线的向量公式以及数量积

即可求出;

方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出∣P<1+f尸J0，即可根据中线定理求出・

Tt/FPF

【详解】方法一：设NFPb=2。0<&,所以Sb1tan12=b1tanθ,

'22,FA2

cos2^-sin2^1-tan2θ31

由CoSZF1PF2=cos2θ=----------------≡-------,--解--得--:tan0——,

cos2sin21+tan2。52

由椭圆方程可知,a2=9,h2=6,c2=a-h2=3，

)χ2Bχ∣y∣=6χ∣

所以，SK白牛，,解得:ν=3,

△Pg2P2P

39,_7τ.3∩

即⅛=9×(1-,因此OP=--------3+"L=≥{2-

6.12II

故选：B.

方法二：因为I为+「叫2”6①，:2产P~∕f∖

第13页/共28页

而不d=；(丽+丽)所以,P口而卜;玩+港I

1I--------3-⅛30-

即而|=；|羸+港阿西.丽+行；『=_/21+2×-X—=

IgYf+22V522

故选：B.

2

方法三：因为IPq+产"。=6①，F2f∕γ∣—2FFnFP仁Fg

BIJIPFI2I^∣2-∣华卡『12②，联立①②，解得：俨］+俨∣-=21,

由中线定理可知，(2「「『+『尸j=24尸;/+产j)=42,易矢,邙=2、后，解得:oq=^-

2

故选：B.

【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常

规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难

度不是很大.

二、填空题

(πλ

13.若y=(x-l)2+&v+sin'x+'为偶函数，贝IJa=

【答案】2

【解析】

【分析】利用偶函数的性质得到,从而求得α=2,再检验即可得解.

【详解】囚为丁一/(X)=(X-Iy+αχ+sin［x+兀］=(无一I?+&x+cosx为偶函数，定义域为R,

2

，兀、(兀Yππ

12八2J22

=2兀，故。=2,

此时/(x)=(x-l)2+2x+cosx=x2+l+Cosx，

第14页/共28页

所以/(T)-(T)2+l+cos(-x)=x2+1+COSX=/(X),

又定义域为R,故/(尢)为偶函数，

所以4=2.

故答案为：2.

一2X+3y≤3

14.设JGy满足约束条件b%-2y≤3,设z=3%+2y,则Z的最大值为____________.

∖χ+y≥i

【答案】15

【解析】

【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.

【详解】作出可行域，如图，

斗、、3x]y=3

3Z

由图可知，当目标函数y=4x「过点A时，Z有最大值，

22

f-2x+3y=3CX=3

由;可得，即A(3,3),

[3x-2γ=31y=3

所以Zmax=3×3+2×3=15.

故答案为：15

15.在正方体ABCO-48Gn中，E,F分别为CD,A8的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条

棱的交点总数为.

【答案】12

【解析】

【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.

【详解】不妨设正方体棱长为2,EF中点为。，取43,中点G,M,侧面仍IGC的中心为N,连

接FG,EGQM,ON,MN,如图，

第15页/共28页

由题意可知，。为球心，在正方体中，EFɪ√FG2+EG2ɪ√22+22=2√2>

即R=G，

则球心。到BBl的距离为OM=SN2+MN2=『=J2,

所以球。与棱Bg相切，球面与棱BBI只有1个交点，

同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，

所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.

故答案为：12

16.在A4BC中，AB=2,ZBAC=60o,BC=√6,D为BC上一点,AO为NBAC的平分线，则

AO=.

【答案】2

【解析】

【分析】方法一：利用余弦定理求出AC,再根据等面积法求出AO；

方法二：利用余弦定理求出AC,再根据正弦定理求出B,C,即可根据三角形的特征求出.

如图所示：记AB=C,AC=A,BC=。，

方法一：由余弦定理可得，2?+/?2-2×2×∕7×cos600=6，

因为b>o,解得：人=1+、，3，

由SAABC=SqRBD+SAAeD可得,

第16页/共28页

_x2x〃×sin60°=_×2×AD×sin30°+_×AD×h×sin30',

222

02式1+力

解得：AD=v=---ʃ=-=2.

1+23+3

2

故答案为：2.

方法二：由余弦定理可得，2?+〃-2χ2χ"xcos60°=6,因为b>0,解得：匕=1+、石，

由正弦定理可得，\二一—2解得:SinB=叵匕0，SinC=0，

sin600sinBsinC42

因为1+J5>√7>应，所以C=45°,8=180°—60—45°=75°，

又NBAO=30"，所以NAoB=75°，即Az）=AB=2.

故答案为：2.

【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义

结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规.

三、解答题

17.已知数列｛④｝中，42=1,设S为｛或｝前"项和，2Sn=nan.

（1）求｛。"｝的通项公式；

（2）求数列J"""'的前"项和T.

IIn

【答案】（1）an=n-I

/、门Y

2-（2+）『J

⑵Tlt

【解析】

［分析］(I)1≡α=∫S,"=1即可求出;

2,Fz≥2

（2）根据错位相减法即可解出.

【小问1详解】

因为2S“=na”,

当〃=1时，2αι="ι,即α∣=0；

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当〃=3时，2(1+。3)=3。3，即«3=2,

当〃≥2时，2S,ι=("l)α,ι,所以2(S“-Si)="%-(〃T)%=2%，

化简得：(n-2)a=(n-l)a,当〃23时，上=%_=…=2=1,即a=〃—1,

"1o≡Fn≡22n

当〃=1,2,3时都满足上式，所以4=〃一1(〃GN*).

【小问2详解】

1(∖、2∏γπτ

产=bV+2X.+...+(K"+叫小

√

两式相减得,

Z1λzlλ11(IY1

J］、2,,

HI叫

+_∙+田f∣-43y=2⅛1--√1/Iɪ⑶ɔ

1^2

18.在三棱柱ABC-ABG中，AAi=2,ACj_底面48(7,NACB=90。，AI到平面BeGBl的距离为1.

（2）若直线M1与BB1距离为2,求ABI与平面BCC1B1所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）、

13

【解析】

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【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得AO，平面8CC∣q,再由勾股定理求出。为

中点，即可得证；

（2）利用直角三角形求出ABl的长及点A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.

【小问1详解】

如图，

Bl

VA1Cl底面ABC,BC<z≡ABC,

.∙.ACLBC,又3CLAC,AC,ACu平面ACG4，AlCnACɪC,

.∙.Be，平面ACC1A1,又BCT面BCCtBl,

平面ACClAl_L平面BCCiBi,

过AI作A0_LCG交CG于0,又平面AcGAln平面BCGBl=CG,AloU平面ACG4,

.∙.Aloj.平面BCGBl

∙∙∙A到平面BCGBl的距离为1,ΛA1O=I,

在RtZ∖4Cel中，AlCj_AG,CCι=A4ι=2,

设C0=x,则C∣0=2-x,

•••△AOC,^AOG,aACG为直角三角形，且CG=2,

CO2+AO2=AC2,AO2+OC2=CA2,AC2+AC1=CC1,

1ɪɪI1111ɪI

Λl+x2+l+(2-x)2=4,解得X=I,

AC—A1C=AIG=<2,

AC=A1C

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【小问2详解】

.∙ACAιC∖,BC1A↑C,BCLAC,

：.Rt∆ACB^Rt∆ACB

：.BA=BAi,

过8作BO∙LA4∣,交A4∣于。，则。为A4∣中点，

由直线AA1与BBl距离为2,所以BQ=2

'∙'A1D=1,BD=2,A1B-AB='5,

在Rt∆ABC,.∙.BC=AB2-AC2=J3，

延长AC,使AC=CM,连接GM,

由CM〃劣GCM=A∣G知四边形AlCMG为平行四边形，

CtM/∕AlC,.∙.ClM1平面ABC，又AMU平面ABC,

.∙.C1MIAM

22

则在RtZXAGM中，AM=2AC,GM=AC,.∙,AC1ɪy∣(,2AC)+AiC.

22

在RtAABC中，AG=λ∕(2AC)+AC,B1C1=BC-=J3，

5

AB}=7(2J)+(2√+(ɜ)ʃ≈B,

又A到平面BCGg距离也为I.

所以AB与平面BCCB所成角的正弦值为1_7函

'''√13^^13^'

19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将4（）只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组

（加药物）.

（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X,求X的分布列和数学期望；

（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）

对照组：17,318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

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(i)求40只小鼠体重的中位数〃i,并完成下面2x2列联表:

<m≥m

对照组

实验组

(ii)根据2x2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作

用.参考数据：

⅜0.100.050.010

Pgk)2.7063.8416.635

【答案】(D分布列见解析，E(X)=I

(2)(i)m=23.4；列联表见解析，(ii)能

【解析】

【分析】(1)利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望;

(2)(i)根据中位数的定义即可求得m=23.4,从而求得列联表；

(ii)利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.

【小问1详解】

依题意，X的可能取值为0,1,2,

C0,C⅛19C1C,'20C⅛19

则P(X=O)=2"°=,P(X=I)=92g0=,p(χ=2)=2>°=,

第。78C；39178

所以X的分布列为：

X012

192019

P

783978

1o201Q

故E(X)=OJ+1—+2x=1.

783978

【小问2详解】

(i)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据

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的平均数，

由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，

可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…,

故第20位为23.2,第21位数据为23.6,

23.2+23.6”，

所以m-=23.4,

2

故列联表为：

<m≥m合计

对照组61420

实验组14620

合计202040

40×(6×6-14×14)2

(ii)由G)可得，K=------------------------=6.400>3.841.

20×20×20X20

所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

20.已知直线x-2y+l=0与抛物线Uy2=2pχ（p>0）交于A,8两点，且IABl=4、记.

（1）求P；

（2）设C的焦点为F,M,N为C上两点，MF∙NF=O,求面积的最小值.

【答案】（1）P=I

（2）12-8

【解析】

【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出P；

（2）设直线MN:X=my+n,M（x∣,y）,N（九2,必），利用MF∙Nf=0，找到加，〃的关系，以及^MNF

的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值.

【小问1详解】

设A（XA,w）,B（xβ,yβ）,

[x-2y+l-0

由可得，V-4py+2p=0,所以y+y=4p,yy=2p,

]2ɔABAB

Iy=2pχ

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所以同=八-%)+,24、记，

IAJ(Z-XB)2+(>2=^\yA-yβ∣=^×√(Λ>B)-X^=4

即2fΓ-p-6=0,因为P>O,解得：P=2.

【小问2详解】

因为尸(1,0),显然直线MN的斜率不可能为零，

设直线MN：x=my+n,M(xl,γ1),jV(x2,γ2),

fy2-4x

由<可得，y2-4my-4H=0.所以，y∖+y2=Am,y∖yι=-An,

∖x=my÷n

Δ=16m2+16π>0=>m2+>0，

因为MF-NF=Q,所以(XIT)(X2—l)+yi”=0,

即(myι+n-l'∖(my2+"T)+y1y2=0,

亦即(机2i+