2021年中考复习数学《圆的证明与计算》专项检测

专题二圆的证明与计算

类型一圆基本性质的证明与计算

1.如图，。。的半径为5,点Q在。0夕卜，交。。于A、6两点,

QC交。。于。、C两点.

(1)求证：PAPB=PDPC；

4519

(2)若%=彳，AB=^~,PD^DC+2,求点。到PC的距离.

第1题图

2.如图，△A6C是。。的内接三角形，A6=AC,点尸是⑰的中点,

连接％,PB,PC.

(1)如图①，若NBQCuGO。，求证：AC=yj3AP；

(2)如图②，若sin/^^。二方，求tanNB46的值.

第2题图

3

3.已知。。中弦A6_L弦。。于石，tanZACD=T

(1)如图①，若A6为。。的直径，BE=8,求AC的长；

(2)如图②，若A4不为。0的直径，BE=4,尸为比上一点，前=蓟),

且。广=7,求AC的长.

图①

第3题图

4.如图，△A6C中，AB=AC,以A6为直径作。。，交6c于点

交CA的延长线于点石，连接A。、DE.

(1)求证：。是的中点;

(2)若£>£=3,BD~AD=2,求。。的半径;

(3)在(2)的条件下，求弦A石的长.

第4题图

5.如图，。。的半径为1,A,P,B,。是。。上的四个点，ZAPC

=ZCPB=6G°.

⑴判断△A8C的形状：；

(2)试探究线段力，PB,尸。之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)当点？位于血的什么位置时，四边形APHC的面积最大？求出最

大面积.

类型二与切线有关的证明与计算

(|一、与三角函数结合I

1.已知：如图，在"BC中，AB=BC,。是AC中点，BE^^ZABD

交AC于点石，点。是A6上一点，。。过8、石两点，交6。于点G,

交于点E

(1)求证：AC与。。相切；

3

(2)当60=6,sinC：^时，求。。的半径.

第1题图

2.如图，AB为。0的直径，A是延长线上一点，QC切。。于点C,

CG是。。的弦，CG1AB,垂足为D

(1)求证：ZPCA=ZABC；

(2)过点A作A石〃尸C,交。。于点石，交CO于点孔连接8E若

3

sinN尸=亍CF=5,求6月的长.

第2题图

3.如图①，在。。中，直径于点石，点尸在氏4的延长线上,

且满足NAOC

⑴判断直线尸。与。。的位置关系，并说明理由；

DF

(2)延长。。交。。于"(如图②)，当"恰为比的中点时，试求诙的

值；

(3)若以=2,tanNQOA：;，求。。的半径.

|二、与相似三角形结合|

1.如图，在Rt^A6C中，ZACS=90°,石是6C的中点，以AC为直

径的。。与A6边交于点。，连接。E

(1)求证：AABCS^CBD；

(2)求证：直线。石是。。的切线.

第1题图

2.如图，。0的圆心在RtAASC的直角边AC上，QO经过C、D

两点，与斜边A6交于点石，连接60、即，BO//ED,作弦或LLAC

于G,连接。E

(1)求证：COCD=DEBO；

3

(2)若。。的半径为5,sinZDFE=^求跖的长.

第2题图

3.如图，在△ABC中，A6=AC,以AB为直径作半圆。0,交BC于

点D,连接AD,过点D作DELAC,垂足为点E,交AB的延长线

于点F.

(1)求证：即是。。的切线；

4

(2)若。。的半径为5,sinNA。石=亍求6方的长.

0BF

第3题图

4.如图，在△ABC中，ZC=90°,以A6上一点。为圆心，QA长为

半径的圆恰好与相切于点。，分别交AC、A6于点石、F.

(1)若N6=30。，求证：以A、0、D、石为顶点的四边形是菱形；

(2)若AC=6,AB=10,连接A。，求。。的半径和AO的长.

第4题图

5.已知中，A6是。0的弦，斜边AC交。。于点。，且AO

=DC,延长直交。。于点石.

(1)图①的A、B、C、D、石五个点中，是否存在某两点间的距离等于

线段的长？请说明理由；

(2)如图②，过点石作。。的切线，交AC的延长线于点E

①若=C£>时，求sinNCA6的值；

②若。尸=“。。3>0)时，试猜想sinNCAg的值.(用含Q的代数式表

示，直接写出结果)

图①

第5题图

6.已知：如图，A6是。0的直径，点。为。。上一点，于

点凡0厂延长线交。。于点石，与6C交于点〃，点。为。石的

延长线上一点，^ZODB=ZAEC.

(1)求证：是。。的切线；

(2)求证：CEi=EHEA；

3

⑶若。。的半径为5,sinA=5，求6”的长.

第6题图

7.如图①，△ABC内接于。O,N6AC的平分线交。。于点。，交BC

于点E(BE>EC),且.过点D作DF//BC,交AB的延长线

于点F.

(1)求证：为。。的切线；

(2)若N6AC=60。，DE=5,求图中阴影部分的面积；

(3)若罢=?,DF-\-BF=S,如图②，求B尸的长.

第7题图

I三、与全等三角形结合I

1.如图，已知QC平分NM/W,点。是QC上任意一点，PM与00

相切于点石，交尸。于A、6两点.

(1)求证：/W与。。相切；

(2)如果N"QC=30。，PE=2yP，求劣弧皿的长.

第1题图

2.如图，已知6C是。。的弦，A是。。外一点，

△ABC为正三角形，。为的中点，"是。。上一点，并且NRWC

=60°.

(1)求证：A6是。。的切线；

(2)若石、尸分别是边A8、AC上的两个动点，且N&5户=120。，。。

的半径为2.试问B石+。方的值是否为定值，若是，求出这个定值；若

不是，请说明理由.

第2题图

3.已知：如图，A6是。。的直径，。是。。上一点，Q3LAC于点

D,过点C作。。的切线，交。。的延长线于点石，连接AE

(1)求证：与。。相切；

(2)连接60,若即：。。=3：1,OA=9,求A石的长和tanfi的值.

第3题图

4.如图，为。。的切线，6为切点，直线R9交。。于点石、F,

过点B作P0的垂线BA,垂足为点D,交。。于点A,延长A0与。0

交于点C,连接BC,AF.

(1)求证：直线勿为。。的切线；

(2)试探究线段石方、0D、。尸之间的等量关系，并加以证明；

(3)若6C=6,tanZF=求cos/ACB的值和线段的长.

第4题图

5.如图，△A6C内接于。O,AB为。。的直径，ZACB的平分线CD

交。。于点。，过点。作。。的切线？£>,交CA的延长线于点尸，

过点A作AELCD于点E,过点B作BF±CD于点F.

(1)求证：PD//AB-,

(2)求证：DE=BF；

4

(3)若AC=6,tanZCAB=2，求线段QC的长.

第5题图

6.如图，点？是。。外一点，B4切。。于点A,A6是。。的直径，

连接。尸，过点6作6。〃。〃交。。于点C,连接AC交0Q于点D

(1)求证：QC是。。的切线；

(2)若尸。=芋，AC=8,求图中阴影部分的面积；

(3)在(2)的条件下，若点石是血的中点，连接。石，求。石的长.

第6题图

7.如图①，A6是。。的直径，OCLAB,弦CO与半径。6相交于点

F,连接6。，过圆心。作0G〃6。，过点A作。。的切线，与0G

相交于点G,连接GD,并延长与的延长线交于点£.

(1)求证：GD=GA；

(2)求证：△。跖是等腰三角形；

(3)如图②，连接BC,过点6作BHLGE,垂足为点“，若BH=9,

。。的直径是25,求ACg厂的周长.

第7题图

专题二圆的证明与计算(答案)

类型一圆基本性质的证明与计算

1.(1)证明：如解图，连接A。，BC,

二•四边形A6CO内接于。0,

：.ZFAD=ZPCB,ZPDA=ZPBC,

:.△PADS^PCB,

.PAPC

，"PD^PB,

：.PA•PB=PDPC；

(2)解：如解图，连接。。，过。点作于点石,

4519

'：PA=^-,AB=^-,PD=DC+2,

：.PB^PA-\-AB=16,PC=PD+DC=2DC+2,

'：PA•PB=PDPC,

二.?X16=(DC+2)(2DC+2),

解得DC=8或DC=-11(舍去)，

：.DE=^DC=4,

•：0D=5,

：.在RtAODE中，OE=yjOD2-DE2=3,

即点。到R?的距离为3.

2.(1)证明：:NBAC与是同弧所对的圆周角,

ZBAC=ZBPC=60°,

XVAB=AC,

.'.△ABC为等边三角形,

，ZACfi=60°,

•••点Q是窈的中点,

...中=看,

Z.ZACP=ZBCP=^ZACB=30°,

而ZAPC=ZABC=60°,

...△AQC为直角三角形，

AC

/.tanZAPC=^p,

.,.AC=APtan60°=y/3AP；

(2)解：连接AO并延长交PC于点石，交于点H过点石作

石GJ_AC于点G,连接OC,BO,如解图，

"：AB=AC,

：.AF±BC,

：.BF=CF,

•••点〃是⑰中点，

ZACP=ZPCB,第2题解图

：.EG=EF.

ZBPC=ZBAC=^ZBOC=ZFOC,

24

sinZFOC=sinZJBPC=2^>

设尸。=24a,则。。=OA=25a,

•*OF=OC2FC2=7Q,AF=25Q+7Q=32a,

在RtAAFC中，'：AC2=AF2-\-FC2,

：.AC=yj(32a)2+(24a)2=40a,

'：ZEAG=ZCAF,

.'.△A石Gs△AC/，

.EGAE

又,：EG=EF,AE=AF-EF,

.EG32a—EG

,•勾=40a，

解得石G=12a,

EF1_2Q1

在石尸中，

RtZkCtanNECTF=Ck=%24a-=32,

ZPAB=ZPCB,

tanZMS=tanZPCS=tanZ£CF=^.

3.解：(1)如解图①，连接B。，

•.•直径A3,弦CO于点石，

：.CE=DE,

'：ZACD与ZABD是同弧所对的圆周角，

ZACD=ZABD,R

3第3题解图①

，tanNABD=tanNACD=2,

.EDAE3ED_3

••饼=盛=爹m即甘=]'

：.ED=12,

：.CE=ED=12,

3

又石=]C£=18,

：.AC=yjAE2+CE2=6y[T3；

(2)连接C8,过B作b于G,如解图②,

,:斯=皿,

：.ZBCE=ZBCG,

在△。防和△CG6中

ZBCE=ZBCG

<ZBEC=ZBGC,

BC=BC

第3题解图②

：.△CEB且△CGB(AAS),

：.BE=BG=4,

丁四边形AC网内接于。O,

ZA+ZCFS=180°,

又ZCFB+ZBFG=180°,

ZBFG=ZA,

'：ZFGB=ZAEC=9Q0,

，ABFGsXCAE,

.FGAE3

，'BG^CET1,

3

•.FG=T^G=6,

：.CE=CG=13,

：.AC=y]AE2+CE2=^-^T3.

4.(1)证明：是。。的直径,

ZADB=90°,

即AD.LBC,

"：AB^AC,

，等腰△ABC,AO为BC边上的垂线，

：.BD=DC,

工。是6C的中点；

(2)解：'：AB=AC,

：.ZABC=ZC,

,/ZABC和ZAED是同弧所对的圆周角,

ZABC=ZAED,

：.ZAED=ZC,

：.CD=DE=3,

：.BD=CD=3,

'：BD-AD=2,

：.AD=1,

在Rt^ABD中，由勾股定理得A32=BD2+AD2=32+12=10,

...AB=yJ10,

/.GO的半径=%6=作；

(3)解：如解图，连接5E,

:AB=W，

.•.AC=^T0,

VZADC=ZBEA=90°,ZC=ZC,

:.△CDAs^CEB,

.ACCD第4题解图

由(2)知6。=26。=6,CD=3,

9

.'Q="TO,

.*.A£=C£-AC=|^TO-^TO=^TO.

5.解：⑴等边三角形.

【解法提示】VZAPC=ZCPB=60°,

又ZBAC和ZCPB是同弧所对的圆周角，ZABC和ZAPC是

同弧所对的圆周角，

，ZBAC=ZCPB^60°,/ABC=ZAPC=6Q°,

：.ZBAC=ZABC=60°,

：.AC=BC,

又•••有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形，

...△A6C是等边三角形.

Q)PA+PB=PC.

证明如下：如解图①，在QC上截取？£>=%,连接AO,

ZAPC=60°,

/.AMD是等边三角形，

：.PA=AD=PD,ZPAD=60°,

又NR4c=60。，

Z.ZPAB=ZDAC,

在和△D4C中，

AP=AD第5题解图①

APAB=ADAC,

AB=AC

：.AB4fi^ADAC(SAS),

:.PB=DC,

'：PD+DC=PC,

：.PA^PB=PC,

(3)当点P为⑰的中点时，四边形A尸8C的面积最大.

理由如下：如解图②，过点尸作垂足为石,

第5题解图②

过点。作垂足为尸,

••羯小=3刀•在，S©c=38・〃，

二•

,•S四边形APBC•(PE+CF).

当点尸为⑰的中点时，PE+CF=PC,QC为。。的直径,

此时四边形APBC的面积最大，

又：。。的半径为1,

•••其内接正三角形的边长,

，四边形AP8C的最大面积为:X2X^3=^.

类型二与切线有关的证明与计算

|一、与三角函数结合|

针对演练

1.(1)证明：连接。£,如解图，

'：AB=BC^D^AC中点，

：.BD±AC,

二'g石平分NA6。，

ZABE=ZDBE,

第1题解图

\'OB=OE,

：.ZOBE=ZOEB,

：.ZOEB=ZDBE,

：.OE//BD,

"：BD±AC,

：.OELAC,

月为。。半径,

...AC与。。相切;

3

(2)解：•:BD=6,sinC=5，BDLAC,

BD

=10,

sinC

：.AB^BC=10.

设。。的半径为r,则AO=10—r,

■:AB=BC,

：.ZC=ZA,

••sinA——sinC=5,

•「AC与。。相切于点石，

Z.OE±AC,

_0石_r_3

..sinA-9-5，

._15

,,r一"不,

即。。的半径是排

2.(1)证明：连接OC,如解图,

•.•尸。切。。于点C,

：.OC±PC,

：.ZPCO=90°,

Z.ZPCA+ZOCA=90°,

•「AB为。。的直径，

，ZACS=90°,

二.ZABC-\-ZOAC=90°,

"：OC=OA,

：.ZOCA=ZOAC,

：.ZPCA=ZABC；

(2W：'.,AE//PC,

：.ZPCA=ZCAF,

"：AB.LCG,

.•.At=Q

Z.ZACF=ZABC,

ZPCA=ZABC,

：.ZACF=ZCAF,

：.CF=AF,

"：CF=5,

：.AF=5,

,:AE〃PC,

；.NFAD=NP,

3

VsinZP^^,

3

/.sinNELD=5，

3

在Rt^A尸。中，AF=5,sinNE!O=5,

:.FD=3,AD=4,

：.CD=CF+FD=8,

在RtZkOCO中，设OC=r,

/.r2=(r—4)2+82,

.*.r=10,

A6=2r=20,

•「AB为。。的直径，

NAEB=90°,

3

在中，sinZEAD=

.BE_3

,,丽=s

VAfi=20,

：.BE=12.

3.解：(1)直线PO与。O相切，

理由如下：如解图①，连接。。,

ZPDA=ZADC,

：.ZPDC=2ZADC,

ZAOC=2ZADC,

：.ZPDC=ZAOC,

•.•直径ABLCO于点石，

ZAOD=ZAOC,第3题解图①

：.ZPDC=ZAOD,

ZAOD+ZODE=9Q0,

：.ZPDC+ZODE^90°,

：.OD±PD,

•.,。。是。。的半径，

...直线PO与。。相切;

(2)如解图②，连接6。,

•.."恰为比的中点，

：.ZCDM=ZBDM,

,/OD=OB,

：.ZBDM=ZDBA,

：.ZCDM=ZDBA,

•.•直线PO与。。相切，

二.ZPDA+ZADO=90°,第3题解图②

又是。。的直径，

Z.ZADB=90°,即/4。。+/3。出=90°,

，ZPDA=ZBDM,

：.ZPDA=ZDBA=ZCDM,

又,:ZPDA=ZADC,

：.ZPDM=3ZCDM=90°,

：.ZCDM=30°,

：.ZDBA=30°,

.DE

.•庭一tan30=*；

(3)如解图③,

VtanZPDA=1,ZPDA=ZADC,

•••烈即DE=2AE,

DE2

在中，设。。的半径为r,

DE2+EO2=DO2,

第3题解图③

(2AE)2+(r-AE)2=n,

解得r=^AE,

在石中，DE2+PE2=PD2,

：.(2A©2+(2+AE)2=PD2,

)•直线P£＞与。。相切，连接BO,

由(2)知N/VMu/OgA,ZP=ZP,

△PM)SXPDB,

.PDPA

••丽=PD'

：.PDi=PAPB,BPPD2=2X(2+2r),

(2AE)2+(2+AE)2=2X(2+2r),

化简得5AE2-\-4AE=4r,

r=2^E}

解得r=3.

即。。的半径为3.

|二、与相似三角形结合|

针对演练

1.证明：（1）：AC为。。的直径,

二.ZADC=90°,

：.ZCDB=90°,

又丁ZACB=90°,

Z.ZACB=ZCDB,

又,:NB=NB,

:AABCSACBD：

(2)连接。0,如解图,

第1题解图

VZBDC=90°,E为的中点,

：.DE=CE=BE,

，ZEDC=ZECD,

又「。。二0。,

：.ZODC=ZOCD,

而NOCO+ZDCE=ZACB=90°,

：.ZEDC-\-ZODC=90°,即NE。。=90°,

C.DELOD,

•：OD为OO的半径,

石与。。相切.

2.(1)证明：连接C石，如解图,

•「CO为。。的直径,

：.ZCED=90°,

,/ZBCA=9Q°,

：.ZCED=ZBCO,

":BO〃DE,第2题解图

：.ZBOC=ZCDE,

:.△CBOS^ECD,

.COBO

''DFTCD,

：.CO•CD=DEBO；

(2)解：VZDFE=ZECO,CD=2OC=10,

：.在RtACDE中，ED=CD-sinZECO=CD-sinZDFE=

10*5=6,

：.CE=yjCD2-ED2=,102—62=8,

EG3

在RtZXCEG中，E=sin/£CG=w，

CJDJ

324

.•.£6=5X8=5,

根据垂径定理得：EF=2EG=5

3.(1)证明：如解图，连接0。，

是。。的直径，

Z.ZADB=90°,

\"AB^AC,

二.AD垂直平分BC,BPDC^DB,

...0。为AR4c的中位线，第3题解图

：.0D//AC.

而DELAC,

：.0DLDE,

:。。是。。的半径，

...跖是。。的切线；

(2)解：VZDAC=ZDAB,且NAM=NA36=90°,

ZADE=ZABD,

AD4

在Rt^A£>6中，sinZADE=sinZABD=-r5=^,而A6=10,

AJDJ

：.AD=8,

AE4

在RtAADE中，sinZADE==^,

ZT1JrLXiD

32

'：0D//AE,

：.AFDOs4FEA,

.ODFO日口5_BF+5

••荏=M'即可=一方+10'

T

90

.BF=T

4.(1)证明：如解图①，连接。£＞、OE、ED.

•."C与。。相切于点。,

：.ODLBC,

：.ZODB=90°=ZC,

：.OD//AC,

"：ZB=30°,

：.NA=60°,第4题解图①

：OA=OE,

...△AO£是等边三角形，

：.AE^AO=OD,

四边形AO。石是平行四边行,

"：OA=OD,

•••平行四边形AO。石是菱形；

(2)解:设。。的半径为r.

^OD/ZAC,

.'.^OBD^AABC,

ODOB

••~Ac=-rD^n即n10=6(10—r).

/UI\.JD

解得r=^-,

的半径为争

如解图②，连接OD、DF、AD.

C

"：OD//AC,

ZDAC=ZADO,

\"OA=OD,

：.ZADO=ZDAO,

：.ZDAC=ZDAO,

•「A尸是。。的直径，

ZADF=900=ZC,

.,.AADC^AAFD,

.ADAF

•，AC=AD,

：.ADi=ACAF,

"."AC=6,AF=^X2=^-,

.*.AD2=?X6=45,

AAD=^45=3^5.（9分）

5.解：⑴存在，AE=CE.

理由如下：

如解图①，连接ED,

,「AC是△ABC的斜边，

ZABC=90°,

石为。0的直径，

，ZADE=90°,

又•。是AC的中点，

助为AC的中垂线，

：.AE=CE；

(2)①如解图②，是。。的切线,

ZAEF=90°.

由⑴可知NAO石=90°,

ZAED+ZEAD=9G°,

ZAED+ZDEF=90°,

：.ZEAD=ZDEF.

又,/ZADE=ZEDF=9G°

△AEDS^EFD,

第5题解图②

.ADED

・旬=河’

：.ED2=ADFD.

又•.•A3=r>C=CR

...EDI=2ADAD=2ADi,

在Rt^A£Z>中，

AE2=AD2+EDi=3AD2,

由(1)知=N,

又,：NCED=/CAB,

：.ZAED=ZCAB,

AD

sinZCAB=sin/AED=

②sinNCA6=W^.

一。十2

【解法提示】由(2)中的①知互>2=AD">,

•；CF=aCD(a>0),

CF=ciCD—ciAD,

：.ED2=AD-DF=AD(CD+CF)=AD(AD+aAD)=(a+1)A£)2,

在RtAA£D中,AE2=AD2+EDi=(a+2)AD2,

AD~~i__业+2

..sinNCA6=smNAED=在=

Q+2Q+2-

6.(1)证明：ZODB=ZAEC,ZAEC=ZABC,

：.ZODB=ZABC,

"：OFLBC,

，NBFD=9Q0,

：.ZODB+ZDBF=90°,

：.ZABC+ZDBF=9Q0,

即N06。=90°,

：.BD.LOB,

•「OB为。。的半径,

.,.BO是。。的切线;

(2)证明：连接AC,如解图①所示:

'：OFLBC,

:.葩=往,

二.ZECH=ZCAE,

'：ZHEC=ZCEA,

：.△CEHs^AEC,

.CEEA第6题解图①

••丽=w

:.CE2=EHEA；

(3)解：连接6石，如解图②所示：

,：AB是。。的直径，

NAEB=90°,

3

GO的半径为5,sin/BA石=5,

第6题解图②

3

：.AB=1Q,BE=AB-sinZBAE=10X6,

在RtAAEB中，EA=^ABi-BEi=7102—62=8,

,:陆二也

：.BE=CE=6,

；CE2=EHEA,

.eCE2629

,________/9-15

在中，BH=邵&+£^2=762+(Z)2=^-.

7.(1)证明：连接03,如解图①，

,：AD平分N8AC交。。于D,

ZBAD=ZCAD,

:.^b=Cb,

：.OD±BC,

'.'BC//DF,

：.OD.LDF,

第7题解图①

；.DF为。O的切线;

(2)解：连接08,连接0。交6C于P,作BHLDF于H,如解

图①，

VZBAC^60°,AO平分N3AC,

ZBAD=30°,

：.ZBOD=2ZBAD=60°,

又•：0B=0D,

...△08。为等边三角形，

：.ZODB=6G°,0B=BD=2yP，

ZBDF=30°,

"：BC//DF,

：.ZDBP=3Q°,

在中，PD=；BD=0PB=yj3PD=3,

在Rt△。石尸中，

"：PD=yP，DE=yp,

:.PE=yj~~~2~~2=2■>

'：OPLBC,

：.BP=CP=3,

：.CE=CP-PE=3-2=1,

易证得△3。石s△AC石，

.BE-DE叩5Z

,•衣—W'AE~1,

：.AE=¥.

'：BE//DF,

：.AABE^AAFD,

5/

.BEAEnr,57

,,诉=河即加=亘7触传DF=12,

在中，BH=；BD=yP，

「・S=s—s

••阴影ABDF弓形3D

・S^BDF（S扇形30。‘ABO）

1L60F・（2、乃）2,.nL

=2•12・yj3-360+4,（2^3）2

=9/—2冗；(7分)

(3)解：连接CD,如解图②,

由黑=：可设A6=4x,AC—3x,BF=y,

'：^b=Cb,

：.CD=BD=2y[3,

\'DF//BC,

：.ZF=ZABC=ZADC,

：.ZFDB=ZDBC=ADAC,

：.ABFDsACDA,第7题解图②

.BD=BF加2走=上

，"AC~CD,q3x—邓，

.".xy=4,

•Z/FDB=ZDBC=ZDAC=/FAD,

而NDF3=NA尸0,

:AFDBs&FAD,

.DFBF

•R=用'

"：DF+BF=S,

：.DF=8-BF=8-y,

.8—y_y

•・y+4x8—y，

整理得：16—4y=xy,

/.16—4y=4,解得y=3,

即BF的长为3.（10分）

三、与全等三角形结合

针对演练

1.(1)证明：连接。石，过点。作ObJ_PN,如解图所示,

与。。相切，

，OELPM,

：.ZOEP=ZOFP=90°,

•:PC平分/MPN,

：.ZEPO=ZFPO,

在△PR9和△尸厂O中，

第1题解图

ZEPO=ZFPO

<ZOEP=ZOFP,

OP=OP

二.△尸石OZ△PFO(AAS),

：.OF=OE,

.•.0分为圆O的半径且OFUN,

则7W与。。相切；

(2)解：在RtZkEPO中，ZMPC=30°,PE=2yj3,

：.ZEOP=60°,OE=PEt2Ln30°=2,

.•.ZEOS=120°,

则劣弧_屏的长为1-2:0n。八X2•=4—JI

2.(1)证明：如解图①，连接60并延长交。。于点N,连接CN,

ZBMC=60°,

：.ZBNC=60°,

'：ZBNC+ZNBC=90°,

：.ZNBC=30°,

又•••△A5C为等边三角形,

第2题解图①

Z.ZBAC=ZABC=NACB=60°,

ZABN=30°+60°=90°,

：.AB±BO,

即AB为。。的切线.

(2)解：BE+CF=yp,是定值.

理由如下：

如解图②，连接。与AC的中点P,

•.•。为6C中点，

：.AD±BC,

：.PD=PC=^AC,

又ZACB=60°,

：.PD=PC=CD=BD^AC,

第2题解图②

：.ZDPF=ZPDC=60°,

：.ZPDF+ZFDC=6G°,

又,:ZEDF=120°,

ZBDE+ZFDC=60°,

ZPDF=ZBDE,

在△3。石和△?£>尸中，

ZEBD=ZDPF

<BD=PD,

ZBDE=ZPDF

：.ABDE”APDF(ASA),

：.BE=PF,

：.BE-\-CF=PF+CF=CP=BD,

VOBLAB,ZABC=60°,

：.ZOBC=30°,

又,：0B=2,

：.BD=OB-cos30°=2X^=0

即BE+CF=0

3.(1)证明：连接OC,如解图①,

E

VOD±AC,OC=OA,

：.ZAOD=ZCOD.

在△A。石和△CO石中，

OA=OC

<ZAOE=ZCOE,

OE=OE

第3题解图①

：.△AQ£ZZ\CO£(SAS),

：.ZEAO=ZECO.

又「石。是。。的切线，

：.ZECO=90°,

：.ZEAO^90°.

...A石与。O相切;

(2)解：设。0=3则。石=3力，£0=46

在△EA。和△ADO中，

AEOA=ZAOD

ZEAO=ZADO,

：./\EAO^AADO,

.AOEO日口9_今

即/一g，

9

・"=2，即nnEO=18.

:.AE=yEO2-AO2=y182—92=9/；

延长交于点孔过。作OG〃A石交于点G,

如解图②，

*.•OG//AE,

：.ZFED=ZGOD

又•:ZEDF=ZODG,

：.AEFD^AOGD,

.EFED3

••中=7TH=T，nnEF=3G0.

ULJUU1

又是A6的中点，第3题解图②

：.AF=2G0,

：.AE^AF-\-FE=5G0,

：.5GO=90

“智，

.AF、设

..tanfi=^=5-

4.(1)证明：如解图，连接。8,

・二形是。。的切线，

ZPBO=90°,

'：OA=OB,gALPO于点。，

：.AD=BD,ZPOA=ZPOB,

又，：PO=PO,

：.△必。且△JR6Q(SAS),

ZmO=ZPBO^90°,

：.OALPA,

直线勿为。。的切线；

(2)解：线段所、OD、0P之间的等量关系为所2=4ODOP

证明：VZFAO=ZPDA=90°,

Z.ZOAD+ZAOD=90°,ZOPA+ZAOP=90°,

：.ZOAD=ZOPA,

：./\OAD^/\OPA,

ODOA口口

..sp0A2=0D0P,

X'.'EF=20A,

：.EF2=4ODOP；

(3)解：'：OA=OC,AD=BD,BC=6,

**,OD=C=3>

设A£)=x,

,•*tanN尸=2，

：.FD=2x,OA=OF=FD—OD=2x—3,

在Rt^AOO中，由勾股定理，得(2x—3)2=%2+32,

解之得，4=4,Z=。(不合题意，舍去)，

.,.AD=4,OA=2%—3=5,

是。。直径，

ZABC=90°,

63

又•..AC=2OA=10,6C=6,cosZAC5=

OA2=OD-OP,

，3(尸石+5)=25,

5.(1)证明：连接0。，如解图，

为。。的直径，

ZACS=90°,

,/ZACB的平分线交。O于点D,

：.ZACD=ZBCD=45°,

：.ZDAB=ZABD=45°,

第5题解图

为等腰直角三角形，

：.DO±AB,

•.•尸。为。。的切线，

：.OD±PD,

J.PD//AB；

(2)证明：石，于点石，班LLC。于点尸,

J.AE//BF,

，ZFBO=ZEAO,

•.•△/MB为等腰直角三角形,

Z.ZEDA+ZFDB=90°,

ZFBD+/FDB=90°,

：.ZFBD=ZEDA,

在△FB。和中，

ZBFD=ZDEA

<ZFBD=ZEDA,

BD=DA

：.△尸瓦注△£D4(AAS),

：.DE=BF；

(3)解:在中,

4

•AC=6,tanNCAB=4,

4

..fiC=6X5=8,

：.AB=7AC2+BC2=#2+82=10,

•••ADAB为等腰直角三角形，

：.AD=^=5yP，

,：AE.LCD,

.•.△ACS为等腰直角三角形,

AC6

:.AE=CE=《=娘=3p

在RtAAED中，DE=^ADi-AEi=(5^2)2-(3^2)2=

KP，

：.CD=CE+DE=3yP+4&=7平,

'.,AB//PD,

ZPDA=ZDAB=45°,

：.ZPDA=ZPCD,

又，:ZDPA=ACPD,

二.APDAs丛PCD,

.PDPAADSyp._5

••朴=PD=DT=7；/2=7，

57

：.PA=^PD,PC=^PD,

又•.•％=%+AC,

5735

/.yPD+6=5PD,解得尸。=4,

.〃5-5、，35—25”49

•.PC=JPD~\~6=JX6=-^--l-6=-^-.

6.(1)证明：如解图①，连接0C,

•.•力切。。于点A,

ZB46)=90°,

'.,BC//OP,

：.ZAOP