天津市南开区2022-2023学年高一年级下册6月阶段性质量检测（期末）数学试题（含答案解析）

天津市南开区2022-2023学年高一下学期6月阶段性质量检

测（期末）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有

1个白球“，则与事件A互斥的事件是（)

A.所取的3个球中至少有一个白球B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑

球

C.所取的3个球都是黑球D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑

球

2.设复数z=l-2i,则复数Z的模为（)

A.1B.10C.3D.

3.已知W=3,W=4,且”与6的夹角6=12（）?,则Gb等于（）

A.-6B.6C.—ðʌ/ɜD.6√3

4.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对

这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图（如图所

C.0.020D.0.010

5.如图，在正三棱柱48C-ABc中，AB=2,A4,=3,则四棱锥A-BCCB的体积

是（）.

4√2

D.4√6

r

6.某校高-一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示:

编

123456789101112131415

号

身171717171716171717181617171617

高395309754285296

那么这组数据的第80百分位数是（）.

A.170B.175C.176D.176.5

7.从数字1,2,3,4中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被6整除的概率

为（）

A.—B.—C.-D.一

2545

8.已知正四面体的棱长为2,则其外接球的表面积为（）

A.4πB.6πC.8πD.10π

9.已知三条不同的直线/,犯〃和两个不同的平面α,4,下列四个命题中正确的是（）

A.若"z∕∕α,”∕∕α,则"]〃"B,若〃∕α,mua,则〃/〃？

C.若C-L£,/Uα,则D.若〃∕α,/_!_/?,则

10.已知C为ΔABC的一个内角，向量m=（2cosC-L-2）,〃=（CoSC,cosC+l）.若,

则角C=

二、填空题

11.某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取

一介容量为68的样本，则此样本中女生人数为.

12.已知i为虚数单位，复数Z=学的共轨复数为____.

2-1

试卷第2页，共4页

13.已知向量α=(1,3),b=(l,l),则°在b方向上的投影向量为.

14.已知正三棱柱A8C-A4G，。为ΛBC的外心，则异面直线ACl与08所成角的

大小为.

15.在矩形ABCZ)中，AB=I,AZ)=6，点M在对角线AC上，点N在边8上，且

AM=-AC,DN=-DC,则MMAC=______.

43

三、解答题

16.复数z=(l-i)2-3α+2+i(α∈R).

(1)若Z为纯虚数求实数。的值，及Z在复平面内对应的点的坐标；

(2)若Z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数。的取值范围.

17.甲、乙、丙三人进行投球练习，每人投球一次.已知甲命中的概率是】，甲、丙都

4

未命中的概率是W,乙、丙都命中的概率是若每人是否命中互不影响，

(1)求乙、丙两人各自命中的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率.

18.已知e∣,e?是平面内两个不共线的非零向量，AB=2ei+e2,BE=-el+Ae2,

EC=%+G,且AEC三点共线.

(1)求实数几的值；

⑵若q=(2,1),¾=(2,-2),求BC的坐标；

(3)已知。(3,5),在(2)的条件下，若四边形A8C3是平行四边形，求点A的坐标.

19.已知,MC的内角A8,C的对边分别是α,b,c,且。=1,

SinA-SinC=——(sinB-sinC).

a+c

⑴求角A；

(2)求A3C周长的取值范围.

20.如图，四棱锥P-ABCz)的底面ABC。为菱形，PB=PD,E,F分别为AB和PZ)

的中点.

(1)求证：EF〃平面PBC；

(2)求证：平面PBO，平面∕¾C.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【解析】根据互斥事件的定义即可判断.

【详解】将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑.

事件A包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥事件的定义可知，

只有事件”所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件A互斥.

故选：B.

2.D

【分析】根据复数模的定义求解即可.

22

【详解】z=l-2i,.∙.∣z∣=λ∕l+(-2)=√5.

故选：B

3.A

【分析】根据平面向量数量积的定义进行求解.

【详解】因为忖=3,W=4,且〃与b的夹角6=120?,

所以“∙b=卜M卜OSɪ20o=3×4×^-^=-6.

故选：A.

4.C

【分析】根据题意结合频率和为1列式求解.

【详解】由频率分布直方图可知：每组频率依次为01,IOa,0.45,10”,0.05,

贝I]0.1+10«+0.45+10«+0.05=20«+0.6=1,解得a=0.020.

故选：C.

5.A

【分析】利用割补法，结合柱体、锥体的体积公式运算求解.

【详解】由题意可知：正三棱柱48C-ABC的体积LCABC=3加2仓必旦=36,

ΛO<-∙Λ∣O∣VI22

三棱锥A-ABC的体积V=!仓L仓22?立√3,

∕ι∣∙/1OV322

所以四棱锥A-4GC8的体积4用CQ=心口即-%诙=36-6=26.

故选：A.

6.D

答案第1页，共9页

【分析】根据百分位数的定义运算求解.

【详解】将身高按升序排列得：168,169,169,170,172,173,173,174,175,175,175,176,177,179,182,

因为15X0.8=12,所以这组数据的第80百分位数是叫⑺=

2]765

故选：D.

7.C

【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】从数字1,2,3,4中任取三个不同的数字，方法有：1+2+3,1+2+4,1+3+4,2+3+4共

4种，

其中所抽取的三个数字之和能被6整除的有：1+2+3=6共I种，

故所求概率为

4

故选：C

8.B

【分析】由正四面体的棱长，求出正四面体的高，设外接球半径为R,利用勾股定理求出R

的值，可求外接球的表面积.

【详解】因为正四面体的棱长为2,所以底面三角形的高G，

棱锥的高为h=

设外接球半径为R,则

所以外接球的表面积为S=4πR2=4π[4J=6π.

故选：B.

9.D

【分析】根据线线、线面、面面位置关系及平行垂直性质判断逐一判断.

【详解】若应∕αW∕ɑ,可以有血/〃或。〃相交,故A错;

若I/∕a,mua,可以有/〃机或/、加异面，故B错；

若aLβ,lua,可以有/，£、/与夕斜交、l∕∕β,故C错；

过/作平面7Ia=〃，则"/〃，又得〃，nuβ,

答案第2页，共9页

所以。，夕，故D正确.

故选:D

【点睛】本题考查空间线、面的位置关系，属于基础题.

10.C

【分析】机n=0带入计算即口J.

【详解】tn±n=，九∙n=0

mn=(2cosC-l)cosC-2(cosC+l)=2cos2C-3cosC-2=0

即(2cosC+l)(cosC-2)=0=CoSC=-LnC=空,选C.

23

【点睛】本题考查向量向量垂直的坐标运算，属于基础题.

II.32

【分析】根据分层抽样的性质运算求解.

【详解】由题意可得：样本中女生人数为68χ777詈二=32.

180+160

故答案为：32.

12.Ui

55

【分析】根据复数的运算结合共轨复数的概念求解.

3+2i(3+2i)(2+i)=47.

【详解】由题意可得:2-i^(2-i)(2+i)^5+5*

-47

所以复数Z的共辄复数为Z=y-=i.

47

故答案为：---i.

13.(2,2)

【分析】先根据向量的坐标运算求M,L进而求投影向量.

【详解】由题意可得：∣ft∣=√l2+l2=√2,L⅛=1×3+1×1=4,

答案第3页，共9页

所以“在8方向上的投影向量为1爷J=2'=(2,2).

故答案为：(2,2).

14.-

2

【分析】根据异面直线夹角的定义结合线面垂直分析求解.

【详解】延长8。交AC于点M,

因为ASC为正三角形,则点M为AC的中点，可得EWLAC,

又因为AA_L平面ABC,u平面ABC,可得8例，44-

且ACCAA=A,AC,Λ4∣u平面ACGA,可得/平面ACGA,

由于AGU平面ACGA,所以BM,AC∣,即OBLAG，

所以异面直线AG与OB所成角的大小为∣∙.

故答案为：ɪ.

【分析】以｛(48,人。∖｝为基底向量表示昭UU乂U人UU。U，再根据垂直关系结合数量积的运算律运算求

解.

【详解】以｛A8,AL>｝为基底向量，

Unuι

uuDmuuιnπUulruuιruιππɜUInn7U3/Uimuunλ7≡1ɪɪɪɪ3UInn

贝IJAC=A8+AO,MN=MC+CN=-AC——AB=-AB+AD——AB=-AB+-AD

434、/3124f

,ltLL,UUUULlUl

因为AB=1,AD=y∣3f且AB_LA。，则ABAO=O，

UUirUUH(IUl»3UUlnʌ/UlmUUBl、IUIJ∏23UUil)7

所以MNAC=I五A8+qAD)(A8+Aθ)=历AB+-ΛD=-.

答案第4页，共9页

7

故答案为：y.

【解析】(1)先化简出Z的代数形式，再根据题意求实数”的值和Z在复平面内对应的点的

坐标；

(2)先化简出Z的代数形式，再根据题意建立不等式求实数”的取值范围即可.

【详解】解：因为z=(l-i)2-3n+2+i,所以z=(I-i)2-3α+2+i=(2-3a)-i

(1)若Z为纯虚数，则2-%=0,解得：a=(,

此时z=T,Z在复平面内对应的点的坐标为：(0,-1),

所以Z为纯虚数时实数Z在复平面内对应的点的坐标为：(0,-1)

(2)若Z在复平面内对应的点位于三象限，

2—3。<02

则解得a>~

-l<0

所以Z在复平面内对应的点位于第三象限，则实数〃的取值范围：g,+∞).

【点睛】本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用

复数的分类求参数的范围，是基础题.

17.(1)乙、丙两人各自命中的概率分别为：、9

ɔO

呜

【分析】(1)根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解；

(2)分甲、乙、丙三人中2人命中和甲、乙、丙三人中都命中两种情况，结合独立事件的

概率乘法公式运算求解.

【详解】(1)记“甲投球命中”为事件A,“乙投球命中”为事件B,“丙投球命中”为事件C,

则P(A)="画)=[1"(A)][I-P(C)]:口-P(C)]=:，解得P(C)=彳，

答案第5页，共9页

91o

P(BC)=P(B)P(C)=-P(B)=-,解得P(8)=∖

34«

ɔa

所以乙、丙两人各自命中的概率分别为彳、I

JO

(2)甲、乙、丙三人中2人命中的概率

I↑=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=—×-×-÷-×-×-+-×-×-=—,

48348348332

、/,3323

甲、乙、丙三人中都命中的概率鸟=P(A)P⑻P(C)=IX£§二次

15321

所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率P=P+∣H=二+==.

327Io732

18.(l)-ɪ

⑵(-7,-2)

(3)(10,7)

【分析】(1)根据题意求月E，结合向量共线的判定定理运算求解;

(2)根据题意结合向量的线性运算以及坐标运算求解；

(3)根据题意结合向量相等运算求解.

【详解】⑴由题意可得：AE=AB+BE=(2e,+e2)+(-e,+λe2)=el+(1+λ)e2,

若AE,C三点共线，则存在唯一实数k,使得AE=ZEC,

ITif/UrtΓ∖IIIr

艮IJq+(l+4)e,=k1—2q+eJ=—2kq+ke2,

∖=-2k

可得,解得

∖+λ=k

3

即实数2的值为

3

(2)由(1)可知：BE=-el--c2f

IllH

则BC=

UlJnif1Lr

因为q=(2,1),/=(2,-2),则BC=Tq-]/=(—7,—2),

所以8C的坐标为(-7,-2).

答案第6页，共9页

（3）设点A的坐标为（x,y）,则AO=（3—x,5-y）,

若四边形A8C3是平行四边形，则A。=BC,

3-x=-7X=IO

可得5,-2,解得

)=7

所以点A的坐标(10,7).

19.⑴Y

(2)(2,3]

【分析】（1）根据题意结合正、余弦定理运算求解；

⑵利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得a+"c=2sin（B+]+I,再根据三角

函数的性质运算求解.

由正弦定理可得=高（。）,

【详解】(1)因为SinA-SinC=SinB-SinC)αrb-

a+c

整理得从+/一储=反，

222

b1+c-a-be1

由余弦定理可得cos4=

2bc2bc~2

且4∈（0㈤，所以A哼

a_b_c_l_2∖[i

可得b=毡SinB,c=-^sinC，

(2)由正弦定理SinAsinBsinCʌ/ɜ3

33

T

4Rr国必,2Λ∕3.25∕3.2Λ∕3.25/3

则AβC∕∏jpcα+Z?+C=1H-------sin8H-------sinC=I-I-------sinBH-------sin(A+B)

333