新高考数学二轮总复习 数列小题专项练学案（含解析）

专题四数列

从2020年新高考全国卷和2020年山东新高考模拟卷对数列的考查来看，数列在高

考中考查的力度在增强.这是由于新高考试题删除了选做题,使数列成为新高考六大解答

考题的必选内容，高考对数列命题的“一大一小或一大”的趋势比较明显，数列题和三角函数

情及解三角形题会交替处在解答题的第一题或第二题的位置上，考查难度处在中等，这两个

分题目会有一道题设计成是“结构不良”试题，这种新题型的条件具有开放性,给考生以更多

析的选择性.数列题考查的重点仍是等差、等比数列的基本内容以及数列的通项、求和.在

核心素养考查上主要是逻辑推理和数学运算.

4.1数列小题专项练

必备知识精要梳理

1.数列的本质:定义域为N*(或它的有限子集｛1,2,…川)的函数.

2.设数列｛斯｝的前n项和为S",则如求＞9

3.等差数列

(1)等差数列的通项an=a\+(.n-\)d,

通项的推广l:an=ani+(n-in)d,

通项的推广24=2.

(2)等差数列的前n项和S产出手=〃，“+彎旦/.

(3)等差数列的性质:若m+〃=p+g,则ain+a„=ap+aq.

4.等比数列

(1)等比数列的通项an=a\q"',

nm

通项的推广1■.an=amq',

通项的推广2:〃"=詈.

(na^q=1,

(2)等比数列的S“=卜式/)=

(1-ql-q,q41.

(3)等比数列的性质:若加+〃=p+q,则am-an=ap-aq.

考向训练限时通关

考向数列及与其有

一关的概念

1.（2020河北武邑校级联考，理4）大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之

数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极

衍生过程中曾经经历的两仪数量总和.已知数列前10项是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则大衍数

列中奇数项的通项公式为（）

2.（2020辽宁大连24中一模,8）数列｛斯｝满足对任意的"GN",均有知+斯+|+%+2为定值.若

47=2,“9=3,a98=4,则数列｛斯｝的前100项的和Sioo=（）

A.132B.299C.68D.99

3.（2020山东烟台一模,14）已知数列｛斯｝的前n项和公式为5“=2/一〃+1,则数列｛斯｝的通项公式

为.

4.（2020全国/,文16）数歹U｛斯｝满足%+2+（-1）"斯=3〃-1,前16项和为540,则由=.

等差数列的基

本运算

5.（2020北京人大附中二模,6）记5„为等差数列｛斯｝的前“项和.已知54=0,的=5,则（）

A.a”=2〃-5B.«„=3n-10

C.5„=2n2-8n

（2020全国〃，理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块

圆形石板（称为天心石）,环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下

一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下

层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699块B.3474块

C.3402块D.3339块

7.（多选）下列关于等差数列的命题中正确的有（）

A.若a,b,c成等差数列，则〃力2丄2一定成等差数列

B.若a,h,c成等差数列，则2”,2”。可能成等差数列

C.若a,b,c成等差数列，则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列

D.若a,b,c成等差数列，则丄可能成等差数列

abc

8.（2020北京,8）在等差数列｛〃”｝中,。1=・9,。5=・1.记刀尸〃口25=12…）,则数列｛乙｝（）

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

9.（2020全国〃，文14）记S”为等差数列｛斯｝的前n项和.若卬=-2,〃2+〃6=2,则Sio=.

考向等比数列的基

本运算

10.（2020辽宁锦州一模,7）已知等比数列｛斯｝中，若恁+。7=8,则。4m6+2為）+。3m的值为（）

A.128B.64C.16D.8

11.（2020全国〃，文6）记Sn为等比数列｛斯｝的前n项和.若〃5-。3=12,46・44=24,则&=（）

an

A.2M-IB.2-2,H

C.2-2"-'D.2ln-1

12.（多选）数列｛”“｝满足斯=q"（q>0,〃GN*）,则以下结论正确的是（）

A."｝是等比数列B.｛J不是等比数列

C.｛lga“｝不是等差数列D.｛lg磋｝是等差数列

13.（2020山东淄博一模,14）记S,,为数列㈤的前n项和，若y豹，则$7=.

考向等差、等比数列

四的综合

14.（2020河南郑州二模,10）已知等差数列｛斯｝的公差存0,且3,俏,03成等比数列，若0=1$为

数列｛斯｝的前〃项和，则注的最小值为（）

A.4B.3C.2V3-2D.2

15.（2020江苏,11）设｛斯｝是公差为d的等差数列,｛仇｝是公比为q的等比数列.已知数列｛斯+/%｝

的前n项和S“=〃2-"+2"-l（〃eN*）,则d+q的值是.

16.（多选）（2020山东青岛5月模拟,10）已知等差数列｛斯｝的前n项和为S”（〃GN*）,公差

存0,S6=90,47是。3与。9的等比中项，则下列选项正确的是（）

A.〃i=22

B.d=-2

C.w=10或"=11时上取得最大值

D.当S„>0时,”的最大值为20

专题四数列

4.1数列小题专项练

考向训练•限时通关

1.B解析由数列的第一项为0,可知D错;因为数列的第三项为4,将〃=3代入选项A,得到3,

故A错;将"=3代入选项C,得到2,故C错;将〃=3代入选项B,得到4,故B正确.

2.B解析对任意的〃GN*,均有斯+如+1+“”+2为定值，•：（。"+|+如+2+4"+3）-（如+4”+1+如+2）=0,故

斯+3=%,•：｛小｝是以3为周期的数列，

故0="7=2,42=498=4,的=.9=3,

,：Sioo=3i+他+。3）+…+（。97+。98+。99）+。100=33（。1+。2+的）+。1=33x（2+4+3）+2=299.

3.斯=6^；J,9解析由题意知，当n=］时,0=Si=2;

当时，斯=S〃$/=2/-〃-2（小1）2+〃-1=4〃-3.

又因为4|=1不满足0尸4/2-3,所以。〃=｛豐3~九；12

4.7解析当n为偶数时，有斯+2+知=3〃-1,则

（〃2+。4）+（。6+。8）+（。10+。12）+314+。16）=5+17+29+41=92,

因为前16项和为540,所以+43+05+07+例+。11+。13+。15=448.

当n为奇数时，有。〃+2s由累加法得斯+2-〃I=3（1+3+5+…+办扌=所以

244

321

加2=_疗+〃+—+〃1,

44

所以〃］+（。x12+1+丄+〃J+（。X32+3+-+6/Ix52+5+工+〃］）+（。X72+7+丄+〃I）+（

44444444

-x9^+9+-+tz1^+^-xlP+ll+工+0）+（三x13~+13+-+6fi=448,解得a\=7.

444444

5.A解析由题知J4=4O1+|X4X3=0,

la5=%+4d=5,

解得佇二,3八斯=2〃-5,故选A.

（d=2,

6.C解析由题意可知，从上到下,从内至U外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的

等差数列，设为｛a“）.

设上层有"环，则上层扇面形石板总数为中层扇面形石板总数为S2"S”下层扇面形石

板总数为S3"-S加三层扇面形石板总数为S3”.因为｛%｝为等差数列，所以S",S2"$,S3"$”构成等

差数歹山公差为9〃2.因为下层比中层多729块，所以9〃2=729,解得〃=9.所以

S3”=$27=27x9+2^x9=3402.故选C.

7.BCD解析对于A,取〃=l,b=2,c=3,得层=1,从=4,<?=9,所以a2,62,c2不成等差数列，故A错；

对于B,取a=8=c,可得2a=2忆2。,故B正确；

对于C,由题意a+c=26,所以（hi+2）+（Rc+2）=Zc（a+c）+4=2（姉+2）,即ka+2,kb+2,kc+2成等

差数列，故C正确；

对于D,取“斗="0,可得工=<=:故D正确.

abc

8.B解析由题意公差公旳-出_:1±2=2,则a-a\+（n-1）J=-9+（n-1）x2=2??-11,

5-15-1n

由通项知。1<。2<〃3<〃4<45<0<〃6=1<〃7<…，且由厶<0可知,7]<0（，26/WN）,由

4=a>l（i27」£N）可知数列｛丁〃｝不存在最小项，由于。|=・9,〃2=-7,〃3=-5,44=・3,〃5=・1。6=1,故

Ti-i

数列｛厶｝中的正项只有有限项,72=63,0=63x15=945.故数列｛〃｝中存在最大项，且最大项为

爲.故选B.

9.25解析设等差数列｛斯｝的公差为d.

:0=-2,.：〃2+。6=〃1+d+〃i+5d=2〃i+6d=・4+6d=2,解得d=l.

・：Sio=lO0+芋"-20+45=25.

10.B解析。4（。6+2。8）+。3。】1=。4。6+2。4。8+。3。11=。2+2。5。7+誇=35+。7）2=64.故选B.

11.B解析设等比数列｛〃〃｝的公比为q.

:%5-。3-12&-。4二24,

二

q=2.

旳口3

又^5-^3-ci।q4-a1^r2=11=12,

•：aI=1.・：斯=41=2””,

Qi(i-q")1><(1-2与

=2〃-L

l-q1-2

.Sn_2叫1]_〃

nl

一an-222n-i22.

故选B.

12.AD解析如=q"(q>0,〃GN*),故匂=/,&!_=嗚=况故A正确;

a2n-2q

=；，则t｝是等比数列，故B不正确;

lg%=Ig/="lgq,故lg“"-lga"-i="lgq-（"-l）lgq=lgq,则｛IgaQ是等差数列，故C不正确;

lgW=lgq2"=2Mg%故IgW-lg碌1=2〃怆〃-2（”-1）皿=2怆4，故D正确.

13.-254解析由已知知=筝1,得&$-1=筝1,所以S「2=2（S,N-2）（〃》2）.又0=*1,即

Si=-25-2=-4,所以｛S,「2｝是以-4为首项,2为公比的等比数列，

8

所以S.-2=-4x2叫即S”=2-2"+）所以S7=2-2=-254.

14.D解析由题意M,“3,a13成等比数列，则试=a।七13,

.：（1+24=1+12”.得（1-2或"=0（舍去），.：斯=2〃-1,.：S”=""+；""=武