2023年新高考全国Ⅰ卷-数学试卷(含答案)

2023年新高考I卷数学

2023年普通高等学校招生全国统一考试—

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1.若集M=｛-2,-L,0,l,2｝,N=[x|x2一x—620｝,则：MCN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

Z=^-,Z—7=()

2.若则

2+2z

A.-iB.iC.0D.1

3.已知向量a=（1,1）,b=(l,-l),若(。+劝+则（)

A.X+〃=1B.X+〃=—1C.=1D.4/=—1

4.设函数/（司=2十一“）在区间（0,1）上单调递减，则。的取值范围（）

A.(-oo,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D[2,+oo)

丫2。

设椭圆C1:―+/=,e2,若e?=V3q,则a=(

5.i(〃>i),c2：彳+y=1的离心率分别为包

a

A.拽

B.V2C.V3D.V6

6.过（0,-2）与圆/+廿―4%_1=0相切的两条直线的夹角为口，则sina=（）

A.1B.叵C.叵D.—

444

7.记S”为数列｛孙｝的前n项和，设甲：｛册｝为等差数列；乙:为等差数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.已知sin（a-£）=工，cosasin,贝|cos（2a+2£）=（）

1

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.有一组样本数据看,》2,…,飞，其中占是最小值，和是最大值，则（）

A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,---,x6的平均数

B.%2，%3，%4，工5的中位数等于百，％2,…，的中位数

C.工2，%3，%4,％5的标准差不小于西，工2,…，％6的标准差

D.%2，兀3，%4，％5的极差不大于和％2,…，的极差

10.噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L"=20xlg±,

PP0

其中常数吊（外>0）是听觉下限阈值，P是实际声压，下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060-90

混合动力汽车1050-60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车10m处测得实际声压分别为耳，P2,P3,

则（）

A.?!>P2B.P2>10P3C.P3=100P0D.Pi<100P2

11.已知函数〃x）的定义域为R,/3）=y2/（x）+x2〃y）,则（）

A./（0）=0B./（l）=0

C.是偶函数D.x=0为的极小值点

12.下列物体中，能被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）

内的有

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D,底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或

3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）。

2

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14.在正四棱台ABCD-AiBiCRi中，AB=2,AA1=也，则该棱台的体积为一

15.已知函数/(%)=(2055:-1(0〉0)在区间［0,2乃］,有且仅有3个零点，则0的取值范围是

16.已知双曲线C:=-1=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为耳，F2,点力在C上，点B在y轴

ab

------------2----

上，JjA±F,B,F2A=--F2B,则C的离心率为0

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知在4ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB0

(1)求sinA;

(2)设AB=5,求AB边上的高。

18.(12分)

如图，在正四棱柱ABCD—AiB[C]Di中，AB=2,AA1=4,点A2,Ba,Cz'D2分别在

棱AA-BB-CCPDDi上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3□

(1)证明：B2C2//A2D2；

(2)点P在棱BBi上，当二面角P-A2c2-口2为150°时，求B2。。

19.(12分)

已知函数/(x)=a(e*+a)-尤。

⑴讨论/(x)的单调性；

3

(2)证明：当。>0时，/(x)>2tao+jo

3

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20.(12分)

2

设等差数列｛旬｝的公差为d,且d>l，令b〃=2士，记S.，T”分别为数列｛诙｝，｛bn｝

an

的前n项和。

⑴若3a2=3%+为，S3+^=21,求｛%｝的通项公式；

⑵若｛、｝为等差数列，且S99-49=99,求d。

21.(12分)

甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则

换为对方投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率

均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5。

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

⑶已知：若随机变X,服从两点分布，且「(*,.=1)=1—区.=0)=%,/=1,2,...,〃，则

(n\n

E=£%,记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为丫，求E(Y)。

u'=l)z=l

22.(12分)

在直角坐标系中，点P到X轴的距离等于点P到点1o,£|的距离，记动点P的轨迹

为W。

(1)求W的方程；

(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3月。

4

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数学参考答案

-选择题：

1.C2.A3.D4.D5.A

6.B7.C8.B

二、选择题：

9.BD10.ACD11.ABC12.ABD

三、填空题：

3A/5

13.6414.15.[2,3)lb.------

65

四、解答题：

17.解：(1)：A+3=3C,A+B+C=〃

TT

AC=-,B=3C-A

4

又•:2sin(A-C)=sinB

.37r.37r.%

2sinAcosC-2cosAsinC=sinsin——cosA-cos——sinA

44

代入数据得41sinA-V2cosA=cosA+sinA,BP：sinA=^3LCOS4

2222

tanA=3

又sin2A+cos2A=l,0<A<»

3V10

sinA=

10

2A/5

(2)由题(1)知sinB=sin[万一(A+C)]=sin(A+C)=r

心工号…工田4日BCACAB

由正弦7E理得：----=----=----

sinAsinBsinC

、ux_3V_10

.「_AB-sinA_10反

sinCV2

故AB边上的高h=3Csin3=3V^=6

5

5

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18.⑴证明：过A作。203〃DC交CCi于D3；过A2作A2A3〃AB交BB]于A3

由已知正四棱柱知：DC〃AB,且DC=AB

02〃A2A3,。203=A2A3；即：四边形3A3A2为平行四边形

由已知得：QD3=2-1=1,B2A3=2-1=1,即：C1D3=BzA3,C]D3〃B2A3

四边形C2D3A3B2为平行四边形，即：C2B2//D3A3

(2)如图建立坐标系，设P(0,0,b),则C2(2,0,3),A2(0,2,l),D2(2,2,2)

AA2D2=(2,0,1),A2c2=(2,-2,2),A2P=(0,—2,5—1)

设二面角P—A2c2—4为a即6=150。

...面A2D2C2的法向量ni=(1,-1,-2)；面A2C2P的法向量n2=(b-3/-1,2)

则卜34=1=坪区=__________6

112同.园V6j(Z；-3)2+(b-l)2+4

即(b-2『+3=4,解得b=l或3,故|B2Pl=|2-可=1

B2P=1

19.(1)解：由题意知，f\x)=aex-l,f"(x)=aex

当oKO时，则f\x)=aex-l<0,所以/(x)在R上单调递减。

当a>0时,f"(x)=aex>Q,得一(x)在R上单调递增

6

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令/'(%)="/_]=0，贝！]x=lJ=-Ina

a

，当尤w(—oo,—ln〃)时，/(%)单调递减；

当％w(—lna,+oo)时，/,(%)>0,/(%)单调递增；

(2)由(1)知，。〉0时，/(%)在x=-Ino时取得最小值，

/('Ln='(-ln〃)=l+〃2+ln〃

令g(q)=/(_lnq)一121nq+1J=〃2_]nq_；

•*g'(a)=2a—，g"(a)=2H■——

aa

由〃〉o,得g"(〃)>o,g'S)单调递增

1/?

令g，(〃)=2a——=0,得2/一1=0,从而〃=工-(负根舍去)

当0<〃<卷-时，g<〃)<0,g(〃)单调递减；

口

当时,g'(^)>0,g(a)单调递增。

当〃=——时，gI〃)=0,g(〃)取得最小值，g——=—ln——=InV2>In1=0

2I2J2

3

・・・g(〃)>0,贝>21n〃+,

即f(x)>21na+—原题得证。

20.(1)解：由题意：3项=3〃1+。3=3(狈—〃1)=。3，〃3="l+2d,〃2-ai=d

ZZ-H]

3d=a】+2d=。[=d,BPan-nd(d>l),故b〃=-.-

—2+3+49

又<S3=的+?+的=6d,T3=----------=—

dd

Q。1

由题意得：6d+—=21n2d〜-7d+3=0,解得d=3或—(不合题意舍)

d2

:.[an]的通项公式：an=3n(nwN*)

7

2023年新高考I卷一一数学

2

（2）解：设｛、｝的公差为r,则用=2±口=历+"

+nd

Q2QQ

/.+n=（6Z+nd）（b0+nr）=drn+（d%+ra0）n+（2Z?

dr=1

故：<dbQ+ra0=1,（d〉ln0<r<l）

。0%二。

9999x100

3^・S99-4g—）:（a。+nd—Z?Q—rir）—99（—%）+（J-r）=99

n=l2

即：a0-b0+50（d-r）=1

当=0时：dbg=l,dr=1

50（d—r）=l+%n501d—力=1+150，一£/—51=0

解得：d=?或-1（舍）

50

当b0=0时：ra°=1,dr=1

a。+50（d—厂）=1n工+50（工一厂］=1n50r2+r-51=0

解得：「=1或-卫，不合题意舍除

50

综上所述，d=—

50

21.（1）P（〜乙）=P（甲乙）+P（乙乙）=gx0.4+gx0.8=0.6

（2）设第i次是甲投球的概率为P”则是乙投球的概率为1-P：P1=1

21

.*.P;+1=0.6P;+0.2（l-^）=-^+-

71

构造等比数列：PL+4=］（£+4）,解得4=-§,

即数列卜+1-共是以I为公比的等比数列。

8

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2

(3)当时,

z-1n

nin252n

E⑺I'：*I4=1-+一,〃£N*

18