山东省新高考联合质量测评2022-2023学年高二年级下册3月月考数学 含解析

高二下学期质量测评3月联考试题

数学试卷

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.

I卷

一、单项选择题：本题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

（4916

1.数列‘3'寸7'的第8项是（）

,64326432

A.—B.—C.—D.yr-

15131315

【答案】A

【解析】

【分析】观察，将1看为;，找到分子分母各自的规律即可.

【详解】观察1,；4卷9,1与6，可看为14916

3571357

64

分母是2〃-1,分子为故第8项为5,

故选：A.

2.已知甲盒中有2只红球，6只白球；乙盒中有5只红球，3只白球，则随机选一盒，再从该盒中随机取

一球，该球是白球的概率为（）

3।39

A.-B.-C.—D.—

421616

【答案】D

【解析】

【分析】由全概率公式结合条件即得.

【详解】由题意得，P=-x-+ix-=9

二-----,

282816

故选：D.

3.若离散型随机变量X的分布列如下图，则常数c的值为（）

X01

P9c2-c3-8c

1

C.-D.1

3

【答案】C

【解析】

【分析】由分布列中所有概率和为1可得，注意概率为正.

1

【详解】由题意《9c92-c>0,解得c=-.

3

3-8c>0

故选C.

【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，掌握分布列的性质是解题基础.分布列中所有概率之和为1.

4.甲、乙两人进行射击比赛，他们击中目标的概率分别为;和:（两人是否击中目标相互独立），若两人

各射击2次，则两人击中目标的次数相等的概率为（）

713〃134

A.—B.—C.—D.一

3636189

【答案】B

【解析】

【分析】利用互斥事件的概率公式，相互独立事件的概率公式，独立重复试验的概率公式求解即可.

[详解】设两人都没击中目标记作事件A,两人都击中目标1次记作事件B，两人都击中目标2次记作事件

C,

由己知可知，甲没击中目标的概率为[1一；）=；,乙没击中目标的概率为C；（|）[1一|）=|

因为两人是否击中目标相互独立，所以^（/^二:乂入二不，

4936

2V4

甲击中目标1次的概率为cjL]fi-->!=，，乙击中目标1次的概率为fi-

3-9-

12乂222匕只7

142

-X-

因为两人是否击中目标相互独立,2-9-9-

门、2（11（7V

甲击中目标2次的概率为C；上1--=乙，乙击中目标2次的概率为C：*4

\\.2）4-⑴9

141

因为两人是否击中目标相互独立,4-9-9-

1O11Q

因为事件互斥，所以尸（AU3UC）=尸（4）+尸（8）+尸（。）=盘+,+联=茱，

故选：B.

5.已知随机变量服J从正态分布N（2,"）,且P（《<4）=0.8,则P（0<』<2）=（）

A0.3B.0.4C.0.5D.0.6

【答案】A

【解析】

【分析】根据随机变量服从正态分布NR,。?），求得其图象的对称轴》=2,再根据曲线的对称性，即

可求解答案.

【详解】由题意，随机变量服从正态分布"（工。?），所以〃=2,

即图象的对称轴为x=2,又由P（J<4）=0.8,

P（0<^<2）=P（2<^<4）=P（^<4）-P（^<2）=0.8-0.5=0.3.

故选：A.

24G

6.某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，

从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若尸（X>0）=T，则该社团的人数

为（）

A.5B.6C.7D.10

【答案】C

【分析】设该社团共有人数为〃人，先计算尸（X=0）=$,再根据P（X=O）=1-P（X〉O）=',

C„21

求解即可.

【详解】设该社团共有人数为〃人,

C2

P(X=O)=-^=(及一2)("-3)

n(n-l)

P(X=O)=1—尸(X>0)=—,

Q-2)("3)

,即(11〃—18)(〃—7)=0,

n(rt-l)

又因为〃eN*,解得〃=7.

故选：C

7.假设第一次感染新冠病毒并且康复后3个月内二次感染的概率大约是0.03,在半年内二次感染的概率

是0.5.若某人第一次感染新冠病毒康复后，己经过去了三个月一直身体健康，在未来三个月内此人二次感

染的概率是（）

A.0.45B.0.48.C.0.49D.0.47.

【答案】B

【解析】

【分析】理解题意，康复后半年内感染的概率为康复后三个月感染的概率和康复后前三个月健康而未来三

个月感染的概率之和，建立方程式解出即可.

【详解】令康复后前三个月健康而未来三个月内二次感染的概率为

则可得：0.5=0.03+0.97兄,

解得％〜0.48；

故选：B.

8.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列A={q,%,%,…}重新编辑，编辑新

序列为A*幺,.，它的第〃项为也，若序列（A*）*的所有项都是3,且生=1，

a,a,da„\'

-27

11

A-C二

9-

2781

【答案】A

【解析】

【分析】根据新定义判断出A*是公比为3的等比数列，再利用迭乘法得到?=用吁；吟"，最后根据

%=1和％,=27,联立方程组求解即可.

【详解】令〃产"1,即4*=他也也,,｝，贝U（A*）…”

册Hi4%.

由已知得今=今=/=~=*=3,所以数列｛2｝为公比为3的等比数列，

设则&•=4=机，—=b-,=3m,…，==3"'・m,

4%%,

当几22时,累乘可得冬■.&.&----=m-3m3”-2m=mn~l31+2+3+'"+（M~^,

a\a2“3an-l

n（"-2）（"-l）

即A=/〃"T32,

%

当”=5时，一=mA36,当〃=6时，—=阳、3'°,解得相=1,。］=’,

4439

故选：A.

二、多项选择题：本题共4题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的是（）

本题可参考独立性检验临界值表：

2

p(x>k)0.1000.0500.0250.0100.001

k2.7063.8415.0246.63510.828

A.在线性回归模型中，六越接近于1,表示回归效果越好

B.在回归直线方程f=-O.6x+3中，当变量x每减少一个单位时，变量»增加0.6个单位

C.在一个2x2列联表中，由计算得/=8.879.则认为这两个变量有关系犯错误的概率不超过0。1

D.己知随机变量X服从正态分布N（4,1）,且P（3«X45）=0.683,则P（X>5）=0.317

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据相关系数的平方，回归直线方程，独立性检验，正态分布曲线的对称性依次求解.

【详解】对于选项A,在线性回归模型中，R2越接近于1,表示回归效果越好，故A正确；

对于选项B,因为回归直线方程»=-0.6x+3的斜率为-0.6,所以当变量x每减少一个单位时，变量£增

加0.6个单位，故B正确；

对于选项C,在一个2x2列联表中，由计算可知/=8.879>6.635,则认为这两个变量有关系犯错误的

概率不超过0.01，故C正确；

对于选项D,由已知得P(3«XW5)=1—P(X>5)—P(X<3)=1—2P(X>5),

解得「(乂>5)=0.1585,故口错误；

故选：ABC.

(1\i0

10.as[x+—(a>0)的展开式的各项系数之和为1024,则展开式中()

I)

A.奇数项的二项式系数和为256B.第6项的系数最大

C.存在常数项D.有理项共有6项

【答案】BCD

【解析】

【分析】令x=l即可求出〃的值，再写出展开式的通项，再一一判断.

【详解】解：令x=l,得(a+l)'°=1024,则。=1或。=一3(舍去).

•••(五+J)的展开式的通项7；用=C；。

对于A,；©+/++啕f2〜⑵故A错误;

对于B,由题设展开式共11项，第6项的系数最大，故B正确；

对于C,令5-1厂=0,解得厂=2,故存在常数项为第三项，故C正确；

对于D,当r=0,2,4,6,8,10时，为有理项，故有理项共有6项，故D正确.

故选：BCD.

11.设。<?<1,已知随机变量J的分布列如下表，则下列结论正确的是()

4012

P2p-p2P11-2〃

A.P（J=2）的值最大B.P(J=0)>P(J=l)

jZ：O

C.E（J）随着P的增大而减小D.当p=§时，£>(《)=wj

【答案】BCD

【解析】

【分析】令〃=3,判断PC=l）,Pe=2）、PC=O）,PC=1）的大小，即可判断选项A、B；由题推导

出E（J）=p2+2-4P,0<〃<1,从而E©随着P的增大而减小判定选项C;取p=；将其代入,

直接利用均值和方差的定义求解即可得出D正确.

【详解】当时，尸（。=2）=0,2（。=1）=；,尸（4=1）>尸（4=2）,故A错误；

pC=O）-P（-p-p2_p2=2p_2pl>0,

••.q，=0）>「e=1）故8正确；

E©=/?2+2-4p,0</?<l

AEC）随着P的增大而减小，故C正确；

当p二工时，

3

J012

52

p

993

5117

E(a=0x-+lx-+2x-=-,

9939

c/G27丫5f,7丫I(7丫I68“一咨

£>(4)=0——x—+1——x—+2——x—=一，故D正确.

19)919J919j381

故选:BCD.

12.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（)

3

A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是m

4

B.从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为一

3

2

C.现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为不

D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为fl

【答案】ABD

【解析】

【分析】

A.由古典概型的概率求解判断；B.根据取到红球次数X〜再利用方差公式求解判断；C.设4=

p(AcB)

｛第一次取到红球｝,8=｛第二次取到红球｝.由P(8|A)=求解判断；D.易得每次取到红球的概

尸⑷

2

率P=：,然后再利用对立事件求解判断.

2

r'r3

【详解】A.恰有一个白球的概率。=3^­,故A正确;

a

B.每次任取一球，取到红球次数X〜8(6彳)，其方差为6xgx(l-g)=g,故B正确；

94x32

C.设4=｛第一次取到红球｝,8=｛第二次取到红球｝.则P(A)=,，p(ADB)=--=-,所以P(8|A)=

36x55

等产”c错误；

D.每次取到红球的概率P=2,所以至少有一次取到红球的概率为1-11-2]=—,故D正确.

3I3)27

故选：ABD

n卷

三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.

13.已知数列｛%｝的前"项和S,=〃2一3〃一1,则q+4=.

【答案】-1

【解析】

【分析】根据凡与S”的关系运算求解.

【详解］由题意可得：«2=^-5,=(22-3X2-1)-(1-3-1)=0,

所以q+4=S3—a2=(^2—3x3—1)—0=—1.

故答案为：T.

14己知随机变量XB(3,p),0<p<l,则E(3X+2)+"取最小值时，D(3X+1)=.

【答案】6

【解析】

【分析】根据二项分布的期望与方差公式，再利用基本不等式求最值，结合二项分布的期望与方差的性质

即可求解.

【详解】由题意可知,X~B(3,p),所以E(X)=3p,D(X)=3p(l—p),

所以E(3X+2)=3E(X)+2=3x3〃+2=9p+2,

所以E(3x+2)H—=9pT---F2>2\/9+2=8

PP

当且仅当9。=/,即时，等号成立，

所以E(3X+2)+^的最小值为8,

P

此时D(X)=3p(l-p)=3xgx(l)=g,

,2

所以D(3X+1)=32XD(X)=9X-=6.

故答案为:6.

15.我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概

率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量丫~8(〃,〃)，当〃充分大

时，二项随机变量y可以由正态随机变量x来近似，且正态随机变量x的期望和方差与二项随机变量y

的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了2=，的特殊情形.1812年，拉普拉斯对一般的P进行了证明.

2

现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过60次的概率为

(附：若XN(〃,cr2),则WXW/z+cr)QO.683,P^ju-2(y<X<//+2cr)«0.954,

P(/z-3cr<X</./+3cr)«0.997)

【答案】0.977

【解析】

【分析】利用二项分布的期望和方差的公式以及正态分布的3cr原则求解即可.

【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面朝上次数为X,则X

故E(X)=100xg=50,0(X)=100xgx(l-g)=25,

由已知得XN(〃,4),且"=E(X)=50,"=£>(X)=25,

因为P(40WXW60卜0.954,

所以P(4OWXW60)=1-P(X<40)-P(X>60)=1-2P(X>60),解得P(X>60)=0.023,

所以P(XW60)=l-P(X>60)=1-0.023=0.977,

故答案为：0.977.

16.在数列｛a“｝中，q=1,a“+]=〃,"eN*,则/=；｛a“｝的前40项和为.

【答案】①.0②.420

【解析】

【分析】由卬=1和递推式求出的，再可求出?，再对"分别取奇偶数，得到两组等式，利用累加法可求

出｛4｝的前40项和

H

【详解】因为q=l,all+i+(-l)a„=/?,«GN",所以得％=2,

所以4+〃2=2,所以%=2-g=0，

因为4+i+(-1)〃牝N*,

所以〃3+4=2,%+%=4,a7+a6=69.......,a39+d38=38,a4]+«40=40,①

20x42

所以%+%+“4+°5+,■•+々38+。39+。40+“41=2+4+6+*,,+38+40=———=420,(2)

aa=39

因a2-ax=1,/_/=3,0-%=5,.......,4o-39»③

所以—(q+H--h/9)+(。2+/----------%0)=1+3+5H----------h39=———=400,④

由①③得4+。3=1,。5+。7=1，…，。37+。39=1，所以4+%+…+/9=1。

②式减去④式得2+/H---1-弓9)+41—4=20,

所以。41=4，

所以q+a,+。3+。4+。5---------。38+°39+。40=420,

故答案为：0,420

【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的项与前〃项的和，解题的关键是对〃分别取奇偶

数，得到两组等式，再由这两组等式作加减运算可得结果，考查数学计算能力，属于较难题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.己知(1+rnx)")=4+++q0父°中，/”H0，且4+14。3=0.

⑴求m；

(2)求/+%+4+4+4().

【答案】(1)m=-2(2)29524

【解析】

【分析】(1)由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得加；

(2)令x=l得所有项系数和，令x=-l得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项

系数和，&是常数项易求，从而可得为+%+%+%+4o，

【详解】(1)因为q=Co加，，=1,2,3…10,

八八一.00x9x8x7a,10x9x8、八

依题意得：Cm4-14Cm=0,m—―---——m+14——--=0

[O10(4x3x2xl3x2x1J

因为〃2W0,所以机3=—8,得m=-2.

/c、c、1。210

(2)=a0+atx+a2x+a1()x

令x=l得：%+4+生+/+4+%+6+%+6+%+4o=(1—2)")=1•①

令x=—1得：％—。]+%一%+/―〃5+06—%+“8-%+4。=(1+2)=31°•②

由①+②得：2(4+。2+。4+。6+6+。10)=1+31°，

1+310

即+凡+%+&+/+4()=--------

又%=《(—2)°1,

、1+3103,°-1

所以。)+%+。6+=----------129524

2

【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思

想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.

18.某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从男女同学中各随机抽取80人，其中喜欢足

球的学生占总数的80%,女同学中不喜欢足球的人数是男同学中不喜欢足球人数的3倍.

(1)完成下列2x2列联表，并依据小概率值a=0.005的独立性检验推断喜欢足球与性别是否有关联?

喜欢不喜欢总计

男同学

女同学

总计

(2)对160人中不喜欢足球的同学采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中

随机抽取3人，用X表示随机抽取的3人中女同学的人数，求X的分布列及数学期望.

附:

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

n(ad-bc}

Z27---77---77---w---7，n=a+b+c+d

【答案】(1)列联表见解析，有关

9

(2)分布列见解析，一

4

【解析】

【分析】(1)根据题意完善列联表，计算％2,并与临界值对比分析;

（2）根据分层抽样求各层人数，再结合超几何分布求分布列和期望.

【小问1详解】

男女同学共160人，喜欢足球的学生占总数的80%,即128人，有32人不喜欢足球，

其中女同学是男同学的3倍，可知女同学不喜欢足球的24人，男同学不喜欢足球的8人,

所以男同学喜欢足球的72人，女同学喜欢足球的56人，

可得2x2列联表

喜欢不喜欢总计

男同学72880

女同学562480

总计12832160

根据表中数据，计算得到/2=160x（72x24-56x8）-=胎＞7879=

80x80x128x320005

根据小概率值a=0.005的独立性检验，可以推断喜欢足球与性别有关联；

【小问2详解】

按分层抽样，设女同学x人，男同学y人，则三===三，解得x=6,y=2,

24832

即从不喜欢足球的同学中抽取6名女同学，2名男同学.

X的可能取值为1，2,3,贝也

P（X=1）=*=二，P（X=2）=*=»,P（X=3）晨=9

I/C；28I/《28C；14

所以随机变量X的分布列如下表所示:

X123

3155

P

282814

故E（X）==1XA+2X15+3XA=9

2828144

19.“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两

组，讨论学习.甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3

人，现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.

（1）设事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，

求事件A发生的概率；

（2）用X表示抽取的4人中乙组女生的人数，求随机变量X的分布列和期望

24

【答案】（I）—；（II）分布列见解析，一.

73

【解析】

【分析】（I）直接利用古典概型概率公式求月（4）：61与旦=或=].（II）先由题得x可能取

Q1267

值为0,1,2,3,再求X的分布列和期望.

【详解】（1）尸（4）=^^=哉=,

C9120/

（II）X可能取值为0,1,2,为

P（x=°）=甘喂唉

C912o42

1）=WJO

（X一）一c；一126-21'

P&0，"；=45=5

（一）一C；"126"14'

P（X=3）=晔」」，

、712621

X的分布列为

X0123

51051

p

422114

”c5,10c5cl4

EX—Ox-----F1x----F2x----F3x—=_.

422114213

【点睛】本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知

识的理解掌握水平和分析推理能力.

20.为贯彻中共中央、国务院2023年一号文件，某单位在当地定点帮扶某村种植一种樱桃，并把这种露

天种植的樱桃搬到了大棚里，收到了很好的经济效益.根据资料显示，产出的樱桃的箱数x（单位：箱）

与成本y（单位：千元）的关系如下：

y与x可用回归方程j;=31gx+2（其中4,右为常数）进行模拟.

（1）若农户卖出的该樱桃的价格为100元/箱，试预测该水果200箱的利润是多少元.（利润=售价-成本）

（2）据统计，1月份的连续30天中农户每天为甲地可配送的该水果的箱数的频率分布直方图如图，用这

30天的情况来估计相应的概率，一个运输户拟购置〃辆小货车专门运输农户为甲地配送的该水果，一辆

货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该水果，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆

车每趟可获利520元；若未发车，则每辆车每天平均亏损220元.试比较〃=3和〃=4时，此项业务每天

的利润平均值的大小.

频率

组距

320

O4080120160200箱数

参考数据与公式：设，=lgx,则X。-亍)(%-歹)1.53,)2=045

/=11=1

X6-可(％-y)

£=1

【答案】（1）7216元

（2）购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值

【解析】

【分析】（1）由参考数据及公式利用最小二乘法求出线性回归直线方程，再将x=200代入即可.

（2）根据题意设运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为X，八元，列出分布列，由分布列求出均

值.

【小问1详解】

5+6.5+7+75+8-Igl+lg3+lg4+lg6+lg7lg504..

根据题意，歹=------------------------=o.o,i------------------------------------=---------=nu.oq

5

F

.EU-）（x-y）.53

人------------=2=3.4,

045

i=\

所以&=9—=6.8—3.4x0.54=4.964,

所以9=34+4.964,又r=lgx,所以9=3.41gx+4.964,

所以x=200时，$=3.4x2.3+4.964=12.784（千元），

即该水果200箱的成本为12784元，

故该水果200箱的利润20000—12784=7216（元）.

【小问2详解】

根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该水果的箱数的概率分布表为：

箱数[40,80）[80,120）[120,160）[160,200]

2

P

8428

设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为K,丫?元

则X的可能取值为1560,820,80,其分布列为：

156082080

5]_1

P

848

故凤毛）="560+$820+卜80=1190,

丫2的可能取值为2080,1340,600,-140.其分布列为：

丫220801340600-140

2J_

P

8248

故E（X）="x2080+gxl340+；x600+"x（—140）=1062.5,

•••E（X）＞E化）

即购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值.

21.(1)已知数列也｝的前〃项和是S,,且25“=/+〃，求｛%｝的通项公式.

(2)已知正项数列｛&｝的前〃项和S,,满足=2an-2,求数列｛%｝的通项公式.

【答案】(1)%,=〃(2)an=2"

【解析】

【分析】(1)由数列的前九项和公式求通项公式即可得出结论；

(2)由凡与S“关系求通项公式即可得出结论：

2

【详解】(1)由2S“=〃2+〃可得s

"2

当〃=1时，q=1,

・••经验证，当胃=1时也成立.

所以4=〃.

⑵・・・S“=2%-2①

/.4=S]=2〃]-2,得4=2.

••S,[+]=2。〃+]—2②

②一①得：«n+l=2aM-2%，,«„+1=2%即?=2,

an

・a=2&=2幺=22=2

a\a2an-\

**,an=2"•

经验证，当〃=1时也成立.

所以/=2".

22.2021年新高考数学试卷中对每道多选题的得分规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错

的得。分.小明在做多选题的第11题、第12题时通常有两种策略：

策略A：