新人教A版选修2高中数学课时练习-合情推理（含解析）

合情推理

基础全面练(15分钟30分)

1.下列说法正确的是()

A.由合情推理得出的结论一定是正确的

B.合情推理必须有前提有结论

C.合情推理不能猜想

D.合情推理得出的结论不能判断正误

【解析】选B.根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论.

2.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()

A.n+1B.2n

n'+n+2

D.n2+n+l

【解析】选C.1条直线将平面分成1+1个区域；2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4

个区域；3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域；……；n条直线最多可将平

面分成1+(1+2+3+…+n)=l+3^»_="+*个区域.

3.按照图①〜图③的规律，第10个图中圆点有个.

••

•・・••

•••••••....

•••••••

图①卤③

【解析】因为根据图形，第一个图有4个点，第二个图有8个点，第三个图有12个点，…，

所以第10个图有10X4=40个点.

答案：40

4.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1:4,类似地，在空

间中，若两个正四面体的棱长比为1：2,则它们的体积比为

【解析】因为两个正三角形是相似的三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方.同理，

两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1：8.

答案：1：8

5.已知在RtaABC中，人13，人(；"1)，8(：于点口,有七=七+七成立.那么在四面体A-BCD

AUADAC

中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确并给出理由.

【解析】白=点+5+畜

猜想正确.理由如下：

如图所示，连接BE,并延长交CD于F,连接AF.

因为AB_LAC,AB1AD,所以AB_L平面ACD.

而AFu平面ACD,所以AB_LAF.

在Rt/XABF中，AE1BF,

所以密=密+福-

在RtZkACD中，AF±CD,所以亲=亲+W?•

ArACAD

所以《=志+法+点’故猜想正确.

综合突破练(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.已知数列｛aj的前n项和Sn=n?・an(nN2),且a1=l,通过计算a2,a3,ai,猜想an等于

()

22

2

A，(n+1)B・n(n+1)

22

r-------n--------

2n-l2n-l

【解析】i=l,S2=22•a2=3+a2得a2=：，

o

由ada2+a3=9Xa3得a3=T，由ai+a2+a3+ai=4"•a，i得&尸上，…，猜想an=

610

2

n(n+1).

2.设aABC的周长为人△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则S=/r7,类比这个结论可

知：四面体A・BCD的表面积分别为T,内切球半径为R,体积为V,则V等于()

1

A.~RTB.-RTC.-RTD.RT

4J/

【解析】选B.4ABC的周长为/,aABC的面积为S,内切圆半径为r,

则S=2r/,类比这个结论可知：四面体A-BCD的四个面的面积为T,体积为V,内切球半

径为R,RT.

3.如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：

原点处标0,点（1,0）处标1,点（1,-1）处标2,点（0,—1）处标3,点（一1,一1）处标4,

点（一1,0）处标5,点（—1,1）处标6,点（0,1）处标7,以此类推，则标签2017的格点

的坐标为（）

A.(1009,1008)B.(1008,1007)

C.(2017,2016)D.(2016,2015)

【解析】2f(1,0),3?-(2,1),52f(3,2),所以20172f(1go%1008).

4.将正整数排列如图:

1

234

56789

10111213141516

则2018出现在（）

A.第44行第81列B.第45行第81列

C.第44行第82列D.第45行第82列

【解析】选D.由题意可知第n行有（2n—1）个数，则前n行的数的个数为1+3+5+…+（2n

-1）=/，因为442=1936,45，=2025,且1936<2018<2025,所以2018在第45行，

又第45行有2X45-1=89个数，2018-1936=82,故2018在第45行第82列.

5.已知瓜｝为等比数列,bs=2,且bbbs…凤=2".若｛a“｝为等差数列，as=2,则｛aJ的类似

结论为（）

A.at&as…ag=2'B.ai+a2+"・+a9=2'

C.aiaz…ag=2X9D.ai+a?+…+as=2X9

【解析】选D.等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得出+&+…+a,=2X9.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.如图所示，第n个图形是由正n+2边形拓展而来(n=l,2,•••),则第n—2个图形(n>2)

共有个顶点.

【解析】第1个图有3+3X3=4X3个顶点;

第2个图有4+4X4=5X4个顶点；

第3个图有5+5X5=6X5个顶点；

第4个图有6+6X6=7X6个顶点；

第n个图有(n+3)X(n+2)个顶点.

第n—2个图有(n+1)Xn=(rT'+n)个顶点.

答案：(n'+n)

7.(2021•银川高二检测)已知点A(X”x『)，B(X2,x；)是函数y=d的图象上任意不同的

两点，依据图象可知，线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的上方，因此有结论

22

x_|_x&+x\

，一2成立.运用类比思想方法可知，若点A(X”sinx,),B(xz,sinx2)是

函数y=sinx(xe(0,n))的图象上任意不同的两点，则类似地有结论成立.

【解析】根据正弦函数的性质可知：

对于函数y=sinx(xe(0,贝))的图象上任意不同的两点A(x.,sinx.),

B(x”sinx2),线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的下方，类比可知应有

sinXi+sinX2.X1+X2

2<sin-2-,

sinXi+sinx,.xi+x2

答案：-------------2<sin---

x

8.已知f(x)=73一,x20,若f己x)=f(x),fn+i(x)=f(f(x)),nEN*,则fzoiKx)的表

1+xn

达式为

X

X1+xxx

【解析】由题意，得fi（x）=f（x）='—，f（x）=-------=一0，f（x）=-7—，…,

1n+x2,xl+2x31+3x

T

1+1^+—x

X

由此归纳推理可得f2O19（x）,9mq..

XI-乙X<7X

X

答案：f2O19（X）=1+2019x

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为a,p,则cos%fcos'S=1,在

立体几何中，通过类比，给出猜想并证明.

ZX2/1\221122

【解析】如图①，在矩形ABCD中，cos2a+cos2P+（2=1=1.

于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为a,B,丫，

则cos2a+cos20+cos2y=1,

证明如下：如图②，cos，a+COS，B+cos。Y=g）+（；）+gjm+^+g_

1.

10.请认真阅读下列材料:

“杨辉三角”（1261年）是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角”（1653年）

早了300多年（如表1）.在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分

数三角形（单位分数是分子为1,分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形（如表2）

I

1一

11

।2I11

1331y上|

-

14641±4

151010511312

..................T203025T

表1…•表2……

请回答下列问题：（1）记和为表1中第n行各个数字之和，求S”S”并归纳出院；

（2）根据表2前5行的规律依次写出第6行的数.

【解析】（1）第四行的和为8,第六行的和为32,则归纳第n行的和为2"-',S,=8,S,=64,

SR，

(2)根据前5行的规律得：由已知得相邻的两个数相加等于它们所夹得上一层的数，所以第

6行的数依次是《，｝，烹，白，二•

63060604306

创新迁移练

1.中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最

晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出:

十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为"三

123456789

姐IIIIIIlliIIIIITTJ1

一=三三|-L=!=旦

横式一

1-9这9个数字的纵式与横式的数码表示如图所示，则829可用算筹表示为()

UTIIM上吐1nr=nn