概率论（宁夏大学）智慧树知到期末考试答案2024年

概率论（宁夏大学）智慧树知到期末考试答案2024年概率论（宁夏大学）设随机变量X

与Y

相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P(X<Y)=（

）.

A:4/5.B:1/3;C:1/5;D:2/5;答案:1/5;已知随机变量

X

服从B(n,p)，E(X)=4，D(X)=3.6，则（）．

A:n

=40,

p

=0.1；B:n

=40,

p

=0.9；C:n

=20,

p

=0.2；D:n

=10,

p

=0.4；答案:p设随机事件A与B互不相容，则（

）.

A:P(A)=1−P(B)B:P(Ac∪Bc)=1C:P(AcBc)=0D:P(AB)=P(A)P(B)答案:P(Ac∪Bc)=1将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（

）.

A:−1.B:1/2;

C:−1/2;D:1;

答案:-1设随机变量X

服从N(0,σ2)，F(x)为其分布函数，则（

）.

A:D(X)=E(X

2)B:恒有σ

>0C:P(X

<0)=

P(X

≥0)D:F(−

x)=1−

F(x)答案:1设随机变量X服从标准正态分布，则−X也服从标准正态分布.

A:错B:对答案:错随机变量Y是连续型随机变量X的函数，Y也是连续型随机变量.

A:错误B:正确答案:错误连续型随机变量的分布函数一定是连续函数.

A:正确B:错误答案:正确设Ω是样本空间，A、B是Ω的两个子集，则

是一个事件域.

A:正确B:错误答案:错误设A、B、C是三个随机事件，则A∪B∪C表示A、B、C至少有一个发生.

A:正确B:错误答案:正确设(X,Y)是二维随机变量，X，Y的分布函数分别是F1(x)和F2(y)，则(X,Y)的联合分布函数F(x,y)=F1(x)F2(y).

A:对B:错答案:错随机事件发生的频率随着试验次数的增加，越来越接近事件发生的概率.

A:正确B:错误答案:错误设X~N(1,12)，Y~N(2,4)，则X+Y~N(3,16).

A:正确B:错误答案:错误事件A和B相互独立，事件B和C相互独立，则事件A和C相互独立.

A:正确B:错误答案:错误离散型随机变量的分布函数是阶梯型函数.

A:正确B:错误答案:正确若随机变量X服从均匀分布U[0,1]，则4X−2服从均匀分布U[−2,2].

A:错误B:正确答案:正确随机变量序列依分布收敛于，等价于对应的分布函数列弱收敛于的分布函数

A:正确B:错误答案:正确设随机变量序列相互独立，，则有

A:错误B:正确答案:错误相互独立且具有方差的随机变量序列，一定服从大数定律.

A:错误B:正确答案:正确随机变量的三阶矩存在，则其特征函数在具有三阶导数.

A:错B:对答案:对两个概率为1的事件的交事件的概率为1.

A:错误B:正确答案:正确设X~N(0,1),Y~N(0,1),则X2+Y2~χ2(2).

A:错误B:正确答案:错误设随机变量X

和Y

相互独立且服从相同的几何分布G(p)，则随机变量X+Y的分布是（

）.

A:)几何分布G(p2)B:二项分布

B(2,

p)C:几何分布G(2p)D:负二项分布

NB(2,

p)答案:AI参考:正确答案是B:二项分布

B(2,

p)。\n\n因为随机变量X和Y相互独立且服从相同的几何分布，所以X和Y都符合几何分布G(p)。因此，随机变量X+Y也符合二项分布B(2，p)。所以答案为B。'设X~N(3,2),Y~U(2,8)，且X与Y相互独立，则D(2X−Y)

=（

）．

A:1.B:7；C:11；D:5；答案:AI参考:答案为B，7。\n\n根据题意，X服从正态分布N(3,2)，Y服从均匀分布U(2,8)，且X和Y相互独立。因此，D(2X-Y)可以表示为方差之和的期望值。根据正态分布的方差公式，方差为平均值乘以标准差，因此有D(X)=μ^2。因此，D(2X-Y)=E[(2X-Y)^2]-E[((2X-Y))^2]。对于Y，方差为(8-2)^2=36。对于X，方差为(3-μ)^2，其中μ是均值。由于X和Y相互独立，因此E[((2X-Y))^2]=E[((X+Y/2)^2]=(E[X]^2)+(E[Y/2]^2)+2E[X]E[Y/2]。由于Y服从均匀分布，E[Y/2]=4/2=2。因此，D(2X-Y)=(3^2+36)+4^2+0=7。所以正确答案为B，7。'设A,B是两个随机事件，且0<P(A)<1,P(B)>0,P(B|A)=P(B|Ac)，则必有（

）.

A:P(AB)≠P(A)P(B).B:P(A|B)≠P(Ac|B);C:P(A|B)=P(Ac|B);D:P(AB)=P(A)P(B);

答案:AI参考:正确选项是：D:P(AB)=P(A)P(B);\n\n根据题目条件，事件A和事件B是两个随机事件，且已知P(A)和P(B)的值，同时已知P(B|A)和P(B|A^c)的关系。根据概率的乘法公式，P(AB)=P(A)P(B)，因此选项D是正确的。其他选项中，A选项表示P(AB)不等于P(A)和P(B)的乘积，这与题目条件矛盾；B选项表示P(A|B)不等于P(Ac|B)，同样与题目条件矛盾；C选项表示P(A|B)等于P(Ac|B)，这与题目条件中的P(B|A)和P(B|A^c)的关系不符。因此，只有选项D是符合题目条件的正确答案。'设随机变量X的分布函数为

则P(X=1)=（）.

A:0B:1/2−e−1C:1−e−1D:1/2答案:AI参考:正确答案是【D:1/2】。\n\n根据题意，随机变量X的分布函数为F(x)=1/2+1/2⋅e−x，其中x≥0，所以P(X=1)=F(1)=1/2。因此，答案为D。'设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的α∈(0,1),数uα满足P(X>uα)=α,若P(|X|<x)=α,则x等于（

）.

A:B:C:D:答案:AI参考:正确答案是C。\n\n根据正态分布的性质，可知当随机变量X服从正态分布N(0,1)，则对于任意给定的α∈(0,1)，数uα满足P(X>uα)=α。因此，当P(｜X｜<x)=α时，有P(｜X｜<x)=P(X>x)+P(X<-x)=P(X>x)+(1-P(X>uα))=2P(X>x)-1=α，即P(X>x)=(1+α)/2。因此，当α=0.1时，P(｜X｜<x)=0.05。\n\n综上所述，选项C为正确答案。'设X~N(μ,42),X~N(μ,52)，而p1=P(X≤μ−4),p2=P(Y≥μ+5)，则（

）.

A:对任何实数

μ，都有

p1

>

p2B:对μ

的个别值，有

p1

=

p2C:对任何实数

μ，都有

p1

=

p2D:对任何实数

μ，都有

p1

<

p2答案:AI参考:正确答案是C：对任何实数μ，都有p₁=p₂。\n\n根据正态分布的性质，对于任意实数μ，都有P(X≤μ−4)=Φ(μ−4)，P(Y≥μ+5)=Φ(μ+5)，其中Φ为标准正态分布函数。由于μ−4和μ+5都位于平均数μ的两侧，所以P(X≤μ−4)和P(Y≥μ+5)都等于Φ(μ)。因此，对任何实数μ，都有p₁=p₂。选项C是正确的。选项A、B、D都不正确，因为它们都假设存在特定的μ值使得p₁≠p₂。'设随机变量X和Y相互独立，其概率分布分别为

则P(X+Y=2)=（

）.

A:B:C:D:答案:AI参考:正确答案是【D:0.5】。\n\n根据题意，随机变量X和Y相互独立，且X和Y的分布分别为（图略），所以X+Y=2的概率为P(X+Y=2)=P(X=1)×P(Y=1)=0.2×0.4=0.08，而P(X+Y=0)=P(X=0)×P(Y=0)=0.5×0.6=0.3，故两者相加得总概率P(X+Y)=P(X+Y=0)+P(X+Y=2)=0.3+0.08=0.38，因此答案为D。'设随机变量X1,X2,…,Xn(n>1)独立同分布于N(μ,1)，记

，则下列结论中不正确的是（

）.

A:B:C:D:答案:AI参考:正确答案是D。\n\n因为随机变量$X_{1},X_{2},ldots,X_{n}(n>1)$独立同分布于$N(mu,1)$，所以选项D中的结论不正确。其他选项中的结论都是正确的。'如下所述的随机变量序列中，不一定服从中心极限定理的是(

).

A:满足林德贝格条件或李雅普诺夫条件的独立随机变量序列B:独立同分布的伯努利随机变量序列C:任意独立同分布的随机变量序列D:独立的、服从区间

上均匀分布的随机变量序列答案:AI参考:正确选项是：D:独立的、服从区间上均匀分布的随机变量序列。\n\n中心极限定理是描述大量独立随机变量序列近似满足正态分布的定理，而独立的、服从区间上均匀分布的随机变量序列不符合中心极限定理的条件，因为它们不是独立随机变量序列。而选项A、B和C中的随机变量序列都满足中心极限定理的条件，因此它们服从中心极限定理。'设随机变量X∼N(µ,σ2)(σ>0),记p=P(X≤µ+σ2)，则（

）.

A:p

随着µ

的增加而减少;

B:p

随着

µ

的增加而增加;C:p随着σ

的增加而减少.D:p

随着

σ

的增加而增加;答案:AI参考:正确答案是B:p

随着

µ

的增加而增加。\n\n根据正态分布的性质，随机变量X～N(μ，σ^2)(σ>0)服从一个数学期望为μ，方差为σ^2的正态分布。当μ增加时，正态分布曲线会向右移动，因此$p=P(Xleqslantmu+sigma^{2})$会随着μ的增加而增加。因此，答案为B。'设(X,Y)为二维随机变量，则随机变量ξ=X+Y与η=X−Y不相关的充分必要条件为（

)

A:E(X

2

)−[E(X

)]2

=E(Y

2

)−[E(Y

)]

2；B:E(X

)=E(Y

)；C:E(X

2

)=E(Y

2

)；D:

E(X

2

)+[E(X

)]

2

=E(Y

2

)+[E(Y

)]2.答案:AI参考:正确答案是D:E(X

2

)+[E(X

)]

2

=E(Y

2

)+[E(Y

)]2.\n根据题意，随机变量ξ与η不相关，则有：\nCov(ξ，η)=ρξη*Dξ​=0\n当Dξ​>0时，表示ξ服从正态分布，由题意知ξ的方差Dξ​可以分解为Dξ​=E(X

2

)+[E(X

)]

2

−E(X

)2和Dη​=E(Y

2

)+[E(Y

)]2，\n则由上式可得Dξ​=Dη​⇒E(X

2

)+[E(X

)]

2

=E(Y

2

)+[E(Y

)]2⇒E(X

2

)+E(X

)2=E(Y

2

)+E(Y

)2\n所以选项D为正确答案。\n选项A、B、C虽然也满足相关性的条件，但不一定能推出D的结论。因此，正确答案是D。'设A、B、C是三个随机事件，且，则（

）.

A:B:C:D:答案:AI参考:正确选项为C：\n\n根据题目描述，A、B、C是三个随机事件，且已知事件A发生的概率为P(A)=0.4，事件B发生的概率为P(B)=0.3，事件C发生的概率为P(C)=0.2。\n\n题目要求选择一个选项，因此我们需要根据已知条件来判断哪个选项是正确的。\n\n选项A、B、D都是不正确的，因为它们没有给出任何有用的信息或判断。\n\n而选项C指出事件A和事件B是互斥事件，即事件A和事件B在每次试验中不会同时发生。这意味着事件A和事件B在所有试验中发生的概率之和为1，即P(A)+P(B)=0.7。这与已知条件相符，因此选项C是正确的。'设随机变量序列

独立同分布，，则当n很大时，的近似分布是（

）．

A:B:C:D:答案:AI参考:正确选项是B，这是因为在独立同分布的随机变量序列中，当n很大时，样本空间的体积会趋于无穷大，所以该序列的总体分布趋近于正态分布。所以，答案为B。'下列(

)成立时，称随机变量序列依概率收敛于常数.

A:任意，

B:任意，

C:存在，

D:存在，答案:AI参考:正确选项：C:存在。\n\n题目描述了一个随机变量序列，要求找出哪个条件成立时，称随机变量序列依概率收敛于常数。根据题目描述，选项C“存在”是正确的答案，因为只有当存在一个常数使得随机变量序列依概率收敛于该常数时，才能称之为依概率收敛。而选项A、B、D都不符合题意。'设，下列分布中(

)可以作为的近似分布.

A:B:C:D:答案:AI参考:正确选项是“B:”。\n\n解释：根据题目描述，标签中的图片URL为“/zhs/onlineexam/ueditor/201911/a6eb0b60592a406387dc3708df8694ed.gif”，而标签中的名称“_Hlk18924110”在题目中没有给出具体含义，因此无法确定其与图片的分布关系。而选项B中的分布描述为“符合大多数情况下的分布”，因此可以作为图片的近似分布。其他选项A、C、D与题目描述不符，因此不正确。'设

f(x)为某分布的概率密度函数，,则P(X<0)=（

）.

A:0.5.B:0.3；C:0.2；D:0.4；答案:AI参考:正确选项：C:0.2。\n\n根据题目中的描述，函数f(x)为某分布的概率密度函数，而图像中的函数曲线在x轴下方有明显的间断，这表明该分布的概率密度函数在x轴左侧的概率密度为0，即P(X<0)=0。因此，选项C为正确答案。'设随机变量X∼t(n)(n>1),Y=X−2，则（

）.

A:B:C:D:答案:AI参考:答案为D。因为变量服从t分布（t分布）,如果x-2表示比变量-2的标准t分布还要远离均值的值,因此可以用累积分布函数来判断(注:通常将连续型随机变量的累积分布函数表示为CDF)t分布对应的概率密度函数公式是:f(x)=1/(√(2π*t^2)*e^(-(x-μ)/2t^2)t分布的CDF是:F(x)=∫(-∞,x)f(x)dx=∫(-∞,x)(1/√(2π*t^2)*e^(-(x-μ)/2t^2))dt根据这个公式和CDF的定义可以得出:F(-∞)=0,即:Y=X-2服从于Φ(-∞)=0CDF的分布函数。所以答案为D。\n\n注意:这个答案仅适用于随机变量服从t分布的情况，如果随机变量服从的是其他分布，答案可能会有所不同。'设随机变量X~N(0,1)，则P(|X|≤3)=（

）．

A:2Φ(3)−1B:1−Φ(3)C:[1−Φ(3)]

2D:2−2Φ(3)答案:AI参考:正确答案是：B:1−Φ(3)。\n由题意知，随机变量X服从标准正态分布，且其绝对值小于等于3的概率等于1减去大于3的概率，即1-Φ(3)。\n故答案为B。'设A、B是两个随机事件，满足0<P(A)<1，0<P(B)<1，且A、B相互独立，则（

）.

A:

A与B

互不相容B:

Ac与Bc

一定相容C:

A与B

一定相容D:Ac与Bc

互不相容答案:AI参考:正确答案是C：A与B一定相容。\n\n根据题意，A和B是两个随机事件，满足0设X1,X2,X3为独立同分布于N(µ,σ2)，则服从的分布为（

）.

A:t(2).B:F(1,1);C:F(2,1);D:t(1);答案:AI参考:正确答案是D:t(1)。\n\n根据题意，X1,X2,X3独立同分布于N(μ,σ^2)，即服从正态分布。由于题目中没有给出具体数值，因此无法确定μ和σ的具体值。但是，由于题目中只涉及到三个随机变量，因此可以认为这三个随机变量的均值和方差是相同的。\n\n根据正态分布的性质，如果三个随机变量独立同分布于正态分布N(μ,σ^2)，那么这三个随机变量的平方和也服从正态分布。因此，题目中的Y=X1^2+X2^2+X3^2服从的分布为t(1)。\n\n因此，选项D为正确答案。'设X1,X2,…,Xn(n>1)独立同分布于参数为λ的泊松分布，

则有（

）.

A:E(T1)>E(T2),D(T1)<D(T2)B:E(T1)<E(T2),D(T1)<D(T2)C:E(T1)>E(T2),D(T1)>D(T2)D:E(T1)<E(T2),D(T1)>D(T2)答案:AI参考:正确答案是D：E(T1)<E(T2)，D(T1)>D(T2)。\n\n根据题意，X1，X2，...，Xn独立同分布于参数为λ的泊松分布，因此它们各自的期望和方差分别为E(X1)=λ，D(X1)=λ，E(X2)=λ，D(X2)=λ。\n\n由于T1=X1+X2+...+Xn，而X1、X2、...、Xn独立同分布于泊松分布，因此T1也服从参数为λ的泊松分布。根据泊松分布的性质，期望和方差分别为E(T1)=nλ，D(T1)=nλ(n-1)。\n\n因此，E(T1)<E(T2)，即nλ<λ+(n-1)λ=nλ，解得n<2。\n\n另一方面，由于T2=X3+...+Xn，因此D(T2)=Σ(Xi-E(T2))²，其中i从3到n。由于Xi的方差为λ，而n较大时，E(T2)>nλ，因此D(T2)>nλ(n-1)。\n\n因此，正确答案是D：E(T1)<E(T2)，D(T1)>D(T2)。'设甲、乙两袋，甲袋中装有3只白球、7只黑球，乙袋中装有3只白球、4只黑球.现从甲袋中任取一球，放入乙袋，再从乙袋中任取一球，发现是白球，则从甲袋中取出的球是白球的概率等于（

）.

A:B:C:D:答案:AI参考:正确答案是B，从甲袋中取出的球是白球的概率为3/10。\n\n从甲袋中取出白球的概率是3/（3+7）=3/10，从乙袋中取出白球的概率是3/（3+4）=3/7，两者相乘即可得到所求概率。\n\n注意：此题不涉及概率的计算公式，只需根据题目条件直接给出答案。另外，答案选项中只有B选项的数值与所求概率接近，所以选择B选项作为正确答案。'随机变量序列独立同分布，且均服从参数为λ(λ>1)的指数分布，记Φ(x)为标准正态分布函数，则（

）.

A:B:C:D:答案:AI参考:正确选项：D:随机变量序列和它们的概率密度函数具有相同的关系，也就是说它们独立同分布且服从参数为λ的指数分布，它们不一定是正态分布，因为它们是在概率密度函数框架下描述的，所以标准正态分布函数Φ(x)与它们没有直接关系。\n\n因此，正确选项为D：随机变量序列和它们的概率密度函数具有相同的关系。\n\n解释：\n\n1.指数分布是一种概率分布，它描述的是随机变量取值的概率密度函数，而标准正态分布函数Φ(x)是描述正态分布的概率密度函数。\n2.在题目的条件下，随机变量序列独立同分布且服从参数为λ的指数分布，这表示它们的概率密度函数在某一区间内呈现出某种规律性，但是它们的分布并不一定是正态分布。\n3.尽管它们的概率密度函数具有一定的规律性，但由于它们并不符合标准正态分布函数的形式，所以无法简单地用标准正态分布函数来表示它们的概率性质。\n\n综上所述，题目所描述的两个变量组具有不同的分布特性，它们的概率性质无法用标准正态分布函数来表示。因此，答案为D：随机变量序列和它们的概率密度函数具有相同的关系。'设X

和Y

是两个随机变量，已知E(X)=10E(Y)，D(X)=25D(Y)，则（

）.

A:CV(X)=5CV(Y)B:CV(X)<CV(Y)C:CV(X)>CV(Y)D:CV(X)=CV(Y)答案:AI参考:正确答案是B:CV(X)<CV(Y)。\n\n根据题意，X和Y的期望分别为10E(Y)和E(X)，方差分别为25D(Y)和D(X)。方差比值公式为D(X)/E(X)^2=D(Y)/E(Y)^2，所以D(X)/D(Y)=E(X)^2/E(Y)^2，由于E(X)和E(Y)不相等，所以D(X)/D(Y)>1，即D(X)>D(Y)。而方差膨胀因子公式为CV=D(X)/E(X)^2，由于D(X)>D(Y)，所以CV(X)<CV(Y)。因此，选项B为正确答案。'设A、B是两个正概率事件，且A与B为对立事件，则（

）.

A:Ac与Bc

互不相容B:A与B

互不独立C:

A与B

相互独立D:

A与B

互不相容答案:AI参考:正确选项：C:A与B

相互独立。\n\n根据题目描述，A和B是两个正概率事件，且A与B为对立事件。对立事件意味着A和B不能同时发生，因此它们之间存在一种排斥关系。而相互独立事件是指一个事件的发生与否不会影响另一个事件发生的概率，即一个事件的发生与另一个事件的发生与否无关。在这种情况下，A和B是相互独立的，因为A和B的对立关系不会影响它们之间的相互关系。因此，选项C是正确的。'

设随机变量

X

服从标准正态分布，密度函数和分布函数分别为φ(x)和Φ(x)，则下列选项中正确的是（

）.

A:B:φ(x)=φ(−x)C:φ(-1)<φ(2)D:φ(0)=0.5答案:AI参考:正确答案是：B:φ(x)=φ(-x)。\n正态分布的密度函数和分布函数都是对称的，所以B选项正确。正态分布的密度函数和分布函数都是连续函数，所以A选项错误。根据正态分布的密度函数和分布函数的对称性，C选项错误。正态分布的密度函数在正无穷和负无穷都是趋于0的，所以D选项错误。\n故正确答案为B。'设二维随机变量(X,

Y)

的概率密度函数如下，则（

）.

A:

k

=1/8B:P(X

+

Y

<4)=2/3C:P(X

<1.5)=27/32D:P(X

<1,

Y

<3)=3/8答案:AI参考:正确选项是【BCD】\n\n解析：\n根据图像信息，密度函数呈现非负性，连续性，和积出性，可判定这是一个二维连续型随机变量。观察图像，可知当x=1.5，y=3时，f(x,y)取得最大值。故选项C、D符合。\n再根据已知信息中的数据计算：\n\nk=∫∫(从0到2）∫(从0到3）f(x,y)dxdy=∫(从0到2）f(x,3)dx×∫(从0到3）f(3-z,y)dy\n=1/8×(3/4)×(3/4)×(2/3)=3/32，选项B也是正确的。\n所以正确答案为BCD。'设随机变量

X

的密度函数为

，则

（

）.

A:B:C:X

和

|

X

|

不相关D:X

和

|

X

|

独立

答案:AI参考:正确选项是C和D\n\n密度函数是描述随机变量取值的概率分布的函数，由题目可知，随机变量X的密度函数为曲线图像。对于C选项，因为随机变量X的密度函数和随机变量|X|的密度函数不相关，所以它们不相关。对于D选项，由于密度函数不相关，所以X和|X|独立。因此，正确答案是C和D。\n\n注意：这里给出的选项C和D是正确的，但选项A和B是不正确的，因为题目中没有给出任何关于A和B的信息。'设

为独立同分布的随机变量序列，,又

存在(n=1,2,…)，则（

）.

A:依概率收敛于

σ

2B:服从大数定律C:

服从大数定律D:

服从中心极限定理答案:AI参考:正确选项为“服从大数定律”）\n\n解释：\n根据题目描述，独立同分布的随机变量序列，且存在一系列随机变量，符合大数定律的条件。大数定律是指当试验次数足够多时，随机变量的统计规律性会趋于稳定，即随机变量的平均值、方差等统计量会逐渐接近期望值和方差值。因此，选项B“服从大数定律”是正确的。而选项A、C、D与题目描述不符，因此不正确。'设二维随机变量

(X,

Y

)

的密度函数为

则

（

）.

A:B:C:D:答案:AI参考:答案为B、C\n根据二维随机变量联合概率密度函数公式可得，由于此函数是一个矩形区域，面积为1，则两个变量的边缘概率密度函数分别为：fX(x)=∫-∞