全国1-8届大学生数学竞赛真题试题(非数学类)汇编

20XX年全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题(每小题5分，共20分)

(x+y)ln(l+—)

1.计算一'xdxdy=_________其中区域。由直线x+y=l与两坐

1]一x_y

标轴所围成三角形区域.

2.设/(幻是连续函数，且满足/。)=3/一J；/(x)dx-2,贝U/(x)=.

2

X2

3.曲面z=^+y2-2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是.

4.设函数y=y(x)由方程xe"»=e，ln29确定，其中/具有二阶导数，且/'声1,则

虫=

dx2

x.2x..fix£

二、(5分)求极限Iim(----------——)"其中〃是给定的正整数

三、(15分)设函数/(x)连续，g(x)=「/(⑼山，且=A为常数，求g'(x)

J0A->0X

并讨论g'(x)在X=0处的连续性.

四、(15分)已知平面区域O={(x,y)|0WxK7r,04yW7},L为。的正向边界，试

证：

(1)Jxesinydy-ye-sin'dx=1^-sinydy-ye^nxdx；

LL

(2)fx*ydy-ye-sin'dr>-n2.

,2

2t

五、(10分)已知弘=xe'+e?*,y2=xe*+,%=xe、+e-e-'是某二阶常系数

线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

六、(10分)设抛物线.丫=。无2+bx+21nc过原点.当OWxWl时,yNO,又已知该抛物线

与x轴及直线尤=1所围图形的面积为试确定c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋

转体的体积最小.

七、(15分)已知”"(x)满足〃：(x)=〃.(x)+x"Te，5=i,2「.)，且M,<1)=£,求函数项

n

级数之和.

71=1

八、(10分)求xf「时，与£>”2等价的无穷大量

71=0

2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、(25分，每小题5分)

⑴设X”=(1+。)(1+。2).(1+/'),其中|4|<1,求1而天.

H-XC

(2)求。

*廿1X)

⑶设s>0,求/=公(〃=1,2,)。

设函数/(/)有二阶连续导数，r=旧+儿g(x,y)=/(J)e2g,a2g

a70

x-y=0r—2v—•1z—3

（5）求直线:与直线，2：==三=一的距离。

z=04-2-1

二、（15分）设函数/（x）在（—，物）上具有二阶导数，并且

f\x）>0,limf\x）=«>0,limf\x）=为<0,且存在一点x0,使得f（x0）<0,

x=21+厂

三、（15分）设函数y=/（x）由参数方程4«>-1）所确定，其中〃⑺具有二

）=次）

ft223

阶导数，曲线y=〃⑺与""而+『在f=l出相切，求函数〃⑺。

Jiyp

四、（15分）设4>0总=£q,证明：

k=\

当£>1时，级数叁收敛；

⑴£

Ea

⑵当。《1且5,f8（〃―8）时，级数工湛发散。

〃=15〃

五、（15分）设/是过原点、方向为（名£,/）,（其中。2+夕+尸=1）的直线，均匀椭

球

X2

其中（0<c<0<a,密度为1）绕/旋转。

（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向（%£,/）的最大值和最小值。

六、(15分)设函数0(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线。上，曲线

r2xydx+(p(x)dy

积分|41的值为吊数。

eX+r

(1)设L为正向闭曲线(x—2)2+y2=l,证明J型华野=0;

：-V+/

(2)求函数0(x)；

(3)设。是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求绰)小‘。

JYaA/

2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

-.计算下列各题(本题共3小题，每小题各5分，共15分)

I

(sin%y-cosx

⑴.求hm------；

3(X)

111

⑵球lim-、

----------1------------1...H

n—>con+1n+2n+n

x=ln(l+/z)求屋y

（3）已知

=7-arctanddx”

~.（本题10分）求方程（21+y一4）〃¥+（1+丁-1）由;=0的通解。

三.（本题15分）设函数f（x）在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且

/（0）,/'（0）,/''（0）均不为0,证明：存在唯一一组实数人，《，&，使得

HmW）+《“2/z）+&/（3/7）T（0）=0

20h2

xyz.7„

四.（本题17分）设心:—7H—r—~=1，其中。＞。＞。＞0,

abc

222

Z2:z=x+y,「为心与%的交线，求椭球面弓在「上各点的切平面到原点

距离的最大值和最小值。

2

%+3/=1

五.（本题16分）已知S是空间曲线j0，绕y轴旋转形成的椭球面的上半部

分（z2。）取上侧，口是s在P（%,y,z）点处的切平面，夕（x,y,z）是原点到切平

面n的距离，几,u表示s的正法向的方向余弦。计算：

（1）jj—―——-dS；（2）jjz^x+3/Liy+vz）dS

s夕s

六.（本题12分）设耳X）是在（-8,+8）内的可微函数，且矿（X）,其中

0<m<l,任取实数。0,定义。〃=ln/（a,i）,〃=L2,…，证明：

00

Z（4-%）绝对收敛。

n=\

七.（本题15分）是否存在区间［0,2］上的连续可微函数f（x）,满足/（0）=/（2）=1,

|/'（x）|<1,^f^x）dx<1?请说明理由。

2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、（本大题共5小题，每小题6分共30分）解答下列个体（要求写出要求写

出重要步骤）

I

（）求极限

1〃T8

（2）求通过直线x+广产+2：°的两个互相垂直的平面町和町，使其中一

［5x+5j-4z+3=0

个平面过点（4,-3,1）0

分2

⑶已知函数7="(孙力63”且丹-=0。确定常数n和方，使函数z=z(x,y)

oxoy

e0七环d2zdzdz,„

；两足方程—-——+z=0

oxoyoxoy

⑷设函数w=w(x)连续可微，W(2)=1,且J(x+2y)wJx+(x+〃3)〃dy在右半平

面与路径无关，求〃(x,y)。

⑸求极限limVxfJ+，,S*n^dt

XT+8JXy/t+COSt

二、(本题10分)计算J；e-2x|sinx|rfx

三、求方程x2sinL=2x-501的近似解，精确至U0.001.

x

四、(本题12分)设函数y=/(x)二阶可导，且尸(x)>0,/(0)=0,r(0)=0,

求lim咎斗,其中“是曲线y=f(x)上点尸(x,/(*))处的切线在x轴

go/(x)sinu

上的截距。

五、(本题12分)求最小实数C,使得满足依=1的连续函数/(*)都有

j'f(Jx)dx<lC

六、(本题12分)设了(X)为连续函数，，>0。区域。是由抛物面Z=/+y2

22

和球面x+/+z=e(z>0)所围起来的部分。定义三重积分

22

F(Z)=Jffn/(x+/+z)Jv

求尸⑺的导数尸”⑺

七、(本题14分)设石明与£%为正项级数，证明：

〃=1〃=1

(1)若lim(—%二-)>0,则级数£%收敛；

〃T0°nun+luhn"h〃+1"=1

⑵若痴（气-^-）

<o,且级数发散，则级数发散。

〃->8uftn+\unn"h〃+1n-l般=1

2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、解答下列各题(每小题6分共24分，要求写出重要步骤)

1.求极限lim(l+sing/1+4/).

n->oo\)

+00•

2.证明广义积分J出苣公不是绝对收敛的

0x

3.设函数y=y(x)由d+B/y-2y3=2确定，求y(x)的极值。

4.过曲线y=也(%20)上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的

3

面积为一，求点A的坐标。

4

二、(满分12)计算定积分厂厂――%

-Jn1+cosX

三、(满分12分)设在x=()处存在二阶导数/(0),且理率=0。

证明：级数收敛。

四、(满分12分)设归乃,，证明Jsin/(x)dx<—

五、(满分14分)设Z是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二

353

型的曲面积分/=JJ(X-x)dydz+(2y-y)dzdx+(3z-z)dxdyo试确定曲面

s,使积分I的值最小，并求该最小值。

六、(满分14分)设/，⑺=］替卷,其中。为常数，曲线c为椭

2

圆Y+孙+y2=r,取正向。求极限limIa（r）

oo1,+1~+H-1

七（满分14分）判断级数工厂事一^的敛散性，若收敛，求其和。

仁（〃+1）（〃+2）

2014年全国大学生数学竞赛预赛试题

-、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）

1.已知y=e'和弘=xe*是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是一

2.设有曲面S:z=V+2/和平面L：2x+2y+z=0。则与L平行的S的切平面方程是

3.设函数y=y（x）由方程x=「sin2但］力所确定。求半=_____________

}

'UJdxx=0

4.

设/4壮记则吧力

贝眄幺¥=_________________

・I。X

计算,工Wk。

（本题12分）设〃为正整数,

（本题14分）设函数/（x）在［0J上有二阶导数，且有正常数A3使得

If'W区3。证明：对任意Xe[0,1],有|(x)|<2/l+|o

四、(本题14分)(1)设一球缺高为〃，所在球半径为R。证明该球缺体积为

g(3R-/z)『。球冠面积为2成〃;(2)设球体(x—+(y—1了+(z—I)?412被

平面P:x+y+z=6所截得小球缺为。，记球冠为E,方向指向球外。求第二型

曲面积分

/=jjxdydz+ydzdx+zdxdy

五、(本题15分)设/在3,加上非负连续，严格单增，且存在X.使得

"区)「=」一["*)]"公。求limx”

b-aJa00

六、(本题15分)设+

n2+ln2+22

2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题(每小题6分，共5小题，满分30分)

sin万

(1)极限则〃泮+*+-+

n2+n

zz\/、

(2)设函数z=z(x,y)由方程/x+—,y+—=0所决定，其中b(",u)具有连续偏导

Vy%7

aa

数，且xf；+，门,#0。贝+=

oxoy

(3)曲面z=x2+y2+l在点M(l,-1,3)的切平面与曲面所围区域的体积

是.

3,xe-5,0,1

(4)函数/(%)=<:、,在(一5,5的傅立叶级数在x=0收敛的值

O.xe0,5)'」

是•

(3)设区间(0,”)上的函数“(x)定义域为的,则“(x)的初等函数表

达式是.

二、(12分)设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。

三、(12分)设/(X)在(。⑼内二次可导，且存在常数。,万，使得对于Vxe(aS),有

r(x)=a/(x)+/7/(x),则〃x)在(a㈤内无穷次可导。

〃+2

四、(14分)求事级数Z前(1)”的收敛域，及其和函数。

〃=0

五、(16分)设函数“X)在［0』上连续，且办:=(),£.叶(x)办:=1。试证：

(1)出0目0』使|/(七)|>4

⑵孙40,1］使|/(')|=4

六、（16分）设在f+y2<i上有连续的二阶偏导数，且#+2疗+

若

/（0,0）=0,力（0,0）=<（0,0）=0,证明：JJf（x,y）dxdy<^^a

2016年第八届全国大学生数学竞赛

一、填空题（每小题5分，满